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人教版（2024）八年级下学期期中模拟考试数学试题
一．选择题（共10小题，满分30，每小题3分）
1．（3分）二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x 1 B．x ﹣1 C．﹣1 x 1 D．x＜1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解答．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：3，故选项A正确，符合题意；
24，故选项B错误，不符合题意；
23不能合并，故选项C错误，不符合题意；
无意义，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
3．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2， C．，3 D．3，5，6
【分析】求出较小的两条边的平方和，将其与最大的边的平方比较，选其不等的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴长为3，4，5的三边能组成直角三角形，不符合题意；
B、∵12+22＝5，（）2＝5，
∴12+22＝（）2，
∴长为1，2，的三边能组成直角三角形，不符合题意；
C、∵22+（）2＝9，32＝9，
∴22+（）2＝32，
∴长为2，，3的三边能组成直角三角形，不符合题意；
D、∵32＝9，52＝25，62＝36，
∴32+52≠62，
∴长为3，5，6的三边不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长是无理数的边数有（ ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC5，边长是有理数，不符合题意；
BC，是无理数，符合题意；
AB，是无理数，符合题意；
综上所述，网格上的△ABC三边中，边长为无理数的边数有2条．
故选：C．
5．（3分）矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．每一条对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
【分析】根据矩形、菱形和正方形的性质即可求解．
【解答】解：矩形、菱形和正方形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：A．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再求出CD，然后根据数轴解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
∴AB，
由题意可知，BD＝AB，
∴CD＝BD﹣BC2，
∵点B对应的数为1，
∴点D表示的数是﹣（2+1），即1，
故选：A．
7．（3分）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12m B．13m C．15m D．24m
【分析】首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
【解答】解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：B．
8．（3分）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：B．
9．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（ ）
A．2 B．2.3 C．2.5 D．21
【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB＝∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF＝3，还可证明FG＝4，由勾股定理得EG＝5，则求得CE的长为2.3．
【解答】解：延长AF至BC延长线上交于G点，
∵AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵AF⊥AB，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，∠BAE+∠EAG＝90°，
∴∠AGB＝∠EAG，
∴∠ABE＝∠AGE，
∴AE＝EG，
∴GE＝BE，
∴E为BG中点，
∴EF是△ABG的中位线，
故可得：EFAB＝3，FG＝AF＝4，
∴AG＝8，
∴BG＝10，
∴EG＝5，
∵AF⊥AB，AE＝BE，
∴点E是BG的中点，
∴EG＝BE＝5，
∴可得△EFG为直角三角形，
∴CE＝EG﹣CG＝EG﹣AD＝5﹣2.7＝2.3．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8，则四边形AJKL的面积是 320 ．
【分析】作DM⊥CI交CI的延长线于点M，作FN⊥CI于点N，依次证明△CDM≌△ACJ（AAS），△CNF≌△BJC，△DIM≌△FIN（AAS），△ACB≌△DCF（SAS），设CM＝AJ＝x，根据全等三角形的性质表示出相关线段的长度，最后用勾股定理解Rt△INF求出x的值，即可求解．
【解答】解：过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8，
作DM⊥CI交CI的延长线于点M，作FN⊥CI于点N，
∵DM⊥CI，CJ⊥AB，
∴∠DMC＝∠CJA＝90°，
∴∠DCA＝90°，CA＝CD，
∴∠DCM+∠ACJ＝90°，
∵∠DCM+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠ACJ，
在△CDM和△ACJ中，
，
∴△CDM≌△ACJ（AAS），
∴DM＝CJ＝8，CM＝AJ；
同理△CNF≌△BJC，
∴CN＝BJ，NF＝CJ＝8，
∴DM＝FN，
在△DIM和△FIN中，
，
∴△DIM≌△FIN（AAS），
∴，；
在△ACB和△DCF中，
，
∴△ACB≌△DCF（SAS），
∴DF＝AB；
设CM＝AJ＝x，则NI＝MI＝CM﹣CI＝x﹣10，
∴BJ＝CN＝CI﹣NI＝10﹣（x﹣10）＝20﹣x，
∴AB＝AJ+BJ＝x+（20﹣x）＝20，
∴DF＝AB＝20，
∴，
NI2+NF2＝FI2，
∴（x﹣10）2+82＝102，
∴x＝16，
∴AJ＝16，
∵AL＝AB＝20，
∴四边形AJKL的面积＝AJ AL＝16×20＝320，
故答案为：320．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分） 2 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：2．
故答案为：2．
12．（3分）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），则线段OA的长为 ．
【分析】过A作AB⊥x轴于B，直接根据勾股定理计算即可．
【解答】解：过A作AB⊥x轴于B，
∵A（2，﹣3），
∴OB＝2，AB＝3，
∴OA．
故答案为：．
13．（3分）计算： 30 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：根据二次根式的运算法则可得：
．
故答案为：30．
14．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为x2+62＝（10﹣x）2 ．
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．
故答案为：x2+62＝（10﹣x）2．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．
【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图1，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45°，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图2，根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，
∴，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
∵，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，
∵△CD′E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
∴，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
∵D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF，连接AE，AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG＝4，则FG＝ 4 ．
【分析】由正方形的性质得到AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，求出∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，得到∠ABE＝∠ADF，即可证明△ABE≌△ADF（SAS），得到AF＝AE，∠BAE＝∠DAF，由∠BAE+∠DAE＝90°，推出∠FAG＝90°，由直角三角形斜边中线的性质得到BGAE，求出AG＝BG＝4，AE＝2BG＝8，由勾股定理求出FG4．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵BE＝DF，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AF＝AE，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴DAF+∠DAE＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∵∠ABE＝90°，G是AE中点，
∴BGAE，
∴AG＝BG＝4，AE＝2BG＝8，
∴AF＝AE＝8，
∴FG4．
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝223
；
（2）原式＝3﹣22﹣（6﹣1）
＝5﹣25
＝﹣2．
18．（8分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．
【分析】根据勾股定理即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b
∴每一个直角三角形的面积为：ab
∴4ab+（a﹣b）2＝13
∴2ab+a2﹣2ab+b2＝13
∴a2+b2＝13，
∴a2+2ab+b2＝21，
∴ab＝4
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣8＝5
∴a﹣b
19．（8分）如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？
【分析】根据题意，AC＝CD，∠ABD＝90°，由AB、AD的长易求BD，设CD＝x米，则AC＝x，BC＝BD﹣x．在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解．
【解答】解：根据题意得：AC＝CD，∠ABD＝90°．
在直角三角形ABD中，
∵AB＝3000，AD＝5000，
∴BD4000（m），
设CD＝AC＝x米，BC＝4000﹣x（米），
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
即x2＝30002+（4000﹣x）2
解得：x＝3125，
答：该超市与车站D的距离是3125米．
20．（8分）如图， ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及 ABCD的面积．
【分析】直接利用平行四边形对边相等得出BC＝AD＝8，再利用勾股定理得出AC的长，结合平行四边形对角线互相平分以及利用平行四边形面积公式求出即可．
【解答】解：∵ ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，
∴BC＝8，则AC6，
∴AO＝CO＝3，
∴ ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，P，B三点均为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）画△ABC，使AC＝5，；
（2）在AC上画点Q，使PQ∥BC；
（3）在BC上画点D，使；
（4）作点D关于AC的对称点E．
【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）取点J，连接JP交AC于点Q，点Q即为所求；
（3）取BC的中点D，连接DQ即可（连接BQ，可以证明BQ⊥AC，可得结论）；
（4）取点K，连接DK，取格点K，W，T，连接KW交网格线于点R，作直线TR，交DK于点E，点E即为所求（利用平行线等分线段定理判断即可）．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；
（2）如图点Q即为所求；
（3）如图，点D即为所求；
（4）如图，点E即为所求．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，可说明△BEC为直角三角形；
（2）根据平行四边形的性质与判定可证明四边形EFPH为矩形；
（3）易证四边形EFPH为矩形，利用勾股定理分别求解EP，PH的长，即可求解四边形EFPH的面积．
【解答】解：（1）△BEC为直角三角形．
理由：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE＝BP＝1，
∴AE＝5﹣1＝4，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，
∴BE2+CE2＝25，
∵BC2＝52＝25，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC为直角三角形；
（2）四边形EFPH为矩形．
证明：∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1，
∴AE＝PC，
∴四边形APCE，四边形DEBP均为平行四边形，
∴BE∥PD，AP∥CF，
∴四边形EFPH为平行四边形，
∵∠BEC＝90°，
∴四边形EFPH为矩形；
（3）∵四边形EFPH为平行四边形，∠BEC＝90°，
∴四边形EFPH为矩形，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝1，
∴AP，
∴BH，
在Rt△ABP中，AB＝2，AE＝4，
∴BE
∴EH＝BE﹣BH，
在Rt△HBP中，BH，BP＝1，
∴PH，
∴S四边形EFPH＝EH PH．
23．（10分）如图1所示，在等腰Rt△ABC中，点M是斜边AB中点，D是AB边上一动点，ED⊥CD于点D，EF⊥AB交AB于点F，且CD＝ED．
（1）求证：ACDF；
（2）如图2所示，若ED⊥CD于点D，且ED＝CD，点E在AC的左侧，其它条件不变，连接AE，求证：AE∥BC；
（3）在（2）中，若AD，则BC﹣AE＝ ．（直接写出结果即可，不书写解答过程）
【分析】（1）连接CM，求出△DCM≌△EDF，推出DF＝CM，根据勾股定理求出即可．
（2）过E作EF⊥AB交BA延长线于F，根据△DCM≌△EDF，推出EF＝DM，DF＝CM，CM＝AM，求出DF＝AM，求出AF＝EF，求出∠FAE＝∠B即可．
（3）设AF＝EF＝DM＝x，则AEx，BCCMAM（x），再求出答案即可．
【解答】（1）证明：
连接CM，
∵△ACB是等腰直角三角形，M为AB中点，
∴AM＝CM＝BM，CM⊥AB，
∵EF⊥AB，CD⊥DE，
∴∠CMD＝∠DFE＝∠CDE＝90°，
∴∠CDM+∠EDF＝90°，∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠DCM＝∠EDF，
在△DCM和△EDF中
∴△DCM≌△EDF（AAS），
∴DF＝CM，
∵△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠CMA＝90°，AM＝CM，由勾股定理得：ACCM，
∴ACDF．
（2）
证明：过E作EF⊥AB交BA延长线于F，
∵由（1）知：△DCM≌△EDF，
∴EF＝DM，DF＝CM，CM＝AM，
∴DF＝AM，
∴DF﹣AD＝AM﹣AD，
∴AF＝DM，
∴AF＝EF，
∵∠F＝90°，
∴∠FAE＝∠FEA＝45°，
∵∠B＝45°，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC；
（3）解：BC﹣AE，
理由是：设AF＝EF＝DM＝x，则AEx，
∵AD，AM＝CM＝BM，
BCCMAM（x），
∴BC﹣AE（x）x，
故答案为：．
24．（12分）如图：矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（a，b）．
（1）若a、b满足：，直接写出点B的坐标 （8，6） ；
（2）已知：EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，连CE并延长交边AB于点F，若点F为边AB中点，求的值；
（3）点M、D分别在边AB、y轴上，CM、BD相交于N，点B的坐标为（3，b），BM＝1，若∠BNM＝45°，求CD的长．
【分析】（1）根据非负数的性质求出ab值即可知道点B坐标；
（2）过点E分别作OC、OA的平行线HG、MN、分别与OC、AB、CB、OA交于点M、N、H、G，利用中位线性质列出OC＝OM+CM，即b整理得到结果即可；
（3）①作BK⊥CM，垂足为K，分别求出线段CM、BK、NM、CN长，利用△CND∽△MNB，得到比例关系，代入数据求出CD即可．②当点D在OC延长线上时，作BH⊥CN，CT⊥BD，垂足分别为H、T，设DT＝x，根据CT2+DT2+DC2，DB2﹣BC2＝CD2列出关于x的方程求出x值，继而求出线段CD长．
【解答】解：（1）∵，
∴a﹣8＝0，6﹣b＝0，
∴a＝8，b＝6，
∴B（8，6）．
故答案为：（8，6）．
（2）过点E分别作OC、OA的平行线HG、MN、分别与OC、AB、CB、OA交于点M、N、H、G，
∵EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，
∴OM＝EGAO，HE是△CBF的中位线，
∵F点是AB的中点，
∴HE＝BN＝CMABb，
∴OC＝OM+CM，即b，
∴，
∴．
（3）如图，作BK⊥CM，垂足为K，
∵点B的坐标为（3，b），BM＝1，
∴CM，
∵BC BM＝CM BK，
∴BK，
∵∠BNM＝45°，
∴NK＝BK，
∴BN BK，
在Rt△BMK中，KM，
∴NM＝NK+MK，
∴CN＝CM﹣NM，
∵AB∥CD，
∴△CND∽△MNB，
∴，即，
∴CD．
当点D在OC延长线上时，作BH⊥CN，CT⊥BD，垂足分别为H、T，CM，BH，
∵∠N＝45°，
∴BH＝HN，BN，
在Rt△CBH 中，CH，CN＝CH+NH，
CT＝NT，BT＝TN﹣BN，
设DT＝x，CT2+DT2+DC2，DB2﹣BC2＝CD2，
∴（）2+x2＝（x）2﹣32，
解得x，
∴BD＝3，CD＝6．
综上分析，CD为或6．中小学教育资源及组卷应用平台
人教版（2024）八年级下学期期中模拟考试数学试题
（时间：120分钟 满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x 1 B．x ﹣1 C．﹣1 x 1 D．x＜1
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2， C．，3 D．3，5，6
4．（3分）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长是无理数的边数有（ ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（3分）矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．每一条对角线平分一组对角
D．对角线互相垂直
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12m B．13m C．15m D．24m
8．（3分）如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）
A．7m B．8m C．9m D．10m
9．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6，则CE的长为（ ）
A．2 B．2.3 C．2.5 D．21
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝10，CJ＝8，则四边形AJKL的面积是 ．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分） ．
12．（3分）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣3），则线段OA的长为 ．
13．（3分）计算： ．
14．（3分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，且BE＝DF，连接AE，AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG＝4，则FG＝ ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，求小正方形的边长．
19．（8分）如图，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米，现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？
20．（8分）如图， ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及 ABCD的面积．
21．（8分）如图，是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，P，B三点均为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）画△ABC，使AC＝5，；
（2）在AC上画点Q，使PQ∥BC；
（3）在BC上画点D，使；
（4）作点D关于AC的对称点E．
22．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
23．（10分）如图1所示，在等腰Rt△ABC中，点M是斜边AB中点，D是AB边上一动点，ED⊥CD于点D，EF⊥AB交AB于点F，且CD＝ED．
（1）求证：ACDF；
（2）如图2所示，若ED⊥CD于点D，且ED＝CD，点E在AC的左侧，其它条件不变，连接AE，求证：AE∥BC；
（3）在（2）中，若AD，则BC﹣AE＝ ．（直接写出结果即可，不书写解答过程）
24．（12分）如图：矩形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（a，b）．
（1）若a、b满足：，直接写出点B的坐标 ；
（2）已知：EO、EA分别平分∠COA、∠BAO，连CE并延长交边AB于点F，若点F为边AB中点，求的值；
（3）点M、D分别在边AB、y轴上，CM、BD相交于N，点B的坐标为（3，b），BM＝1，若∠BNM＝45°，求CD的长．
