《学霸笔记 同步精讲》第1章2.1 第2课时 等差数列的性质及等差中项 -试卷（教师版）高中数学北师大版选择性必修2

第2课时　等差数列的性质及等差中项
课后训练巩固提升
A组
1.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若“数列{an}为等差数列”成立,必有“2a2=a1+a3”,而仅有“2a2=a1+a3”成立,不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任何的n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.
答案:B
2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=(　　).
A.12 B.16 C.20 D.24
解析:因为数列{an}是等差数列,
所以a2+a10=a4+a8=16.
答案:B
3.(多选题)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法,正确的是(　　).
A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列
解析:A项中,∵{an}是等差数列,且d>0,
∴an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,
∴{an}是递增数列,故A正确;
B项中,nan=na1+n(n-1)d=dn2+(a1-d)n.
不一定为递增数列,
如当a1=-3,d=1时,
nan=n2-4n,2a2=-4<-3=a1,
∴{nan}不是递增数列,∴B错误;
C项中,=d+,当a1-d>0时,为递减数列,C错误;
D项中,an+3nd=4nd+a1-d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,D正确.故选AD.
答案:AD
4.在等差数列{an}中,a1·a3=8,a2=3,则公差d的值为(　　).
A.1 B.-1
C.±1 D.±2
解析:∵a2=3,∴a1+a3=6,
∵a1·a3=8,
∴
∴d=±1.
答案:C
5. 在等差数列{an}中,a3=13,a13=33,则数列{an}的公差为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:等差数列{an}的公差d==2,故选B.
答案:B
6.若一个三角形的三个内角∠A,∠B,∠C成等差数列,则tan(A+C)=　　　　　.
解析:∵∠A,∠B,∠C成等差数列,
∴2∠B=∠A+∠C.
又∠A+∠B+∠C=π,
∴3∠B=π,∴∠B=.
∴∠A+∠C=.
∴tan(A+C)=tan=-.
答案:-
7.在等差数列{an}中,若a3-a4+a5-a6+a7=100,则a5=　　　　　.
解析:∵a3+a7=a4+a6,∴a3-a4+a5-a6+a7=(a3+a7)-(a4+a6)+a5=a5=100.
答案:100
8.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　　.
解析:设这三个数分别为a-d,a,a+d,
由题意得
解得所以这三个数分别为-1,3,7或7,3,-1.它们的积为-21.
答案:-21
9.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,求m和n的等差中项.
解:由题意得
①+②,得3(m+n)=18,
∴m+n=6,
∴m和n的等差中项为=3.
10.在等差数列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求该数列的通项公式.
解:∵a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,
a2+a8=a3+a7=2a5,
∴a5=3.
(方法一)∴a3+a7=2a5=6,①
a3·a7=-7,②
由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1.
当a3=-1时,d=2;当a3=7时,d=-2.
由an=a3+(n-3)d,
得an=2n-7或an=-2n+13.
(方法二)∴a3·a7=-7,
∴(a5-2d)(a5+2d)=-7,
∴(3-2d)(3+2d)=-7,解得d=±2.
若d=2,则an=a5+(n-5)d=3+2(n-5)=2n-7;
若d=-2,则an=a5+(n-5)d=3-2(n-5)=13-2n.
∴an=2n-7或an=-2n+13.
B组
1.下列说法正确的个数是(　　).
①若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;
②若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列;
③若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;
④若a,b,c成等差数列,则可能成等差数列.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:对于①,取a=1,b=2,c=3 a2=1,b2=4,c2=9,①错误.
对于②,a=b=c 2a=2b=2c,②正确.
对于③,∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),③正确.
对于④,a=b=c≠0 ,
④正确.综上可知选B.
答案:B
2.已知数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N+).若b3=-2,b10=12,则a8=(　　).
A.0 B.3 C.8 D.11
解析:设数列{bn}的首项为b1,公差为d.
由b3=-2,b10=12,
得解得
所以bn=-6+2(n-1)=2n-8.
因为bn=an+1-an,
所以a8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=b7+b6+b5+…+b1+a1=(6+4+2+0-2-4-6)+3=3.
答案:B
3. 在下面表格中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果表格中所有数之和等于63,那么a52=(　　).
a41 a42 a43
a51 a52 a53
a61 a62 a63
A.2 B.8 C.7 D.4
解析　因为第一行三个数成等差数列,
所以a41+a42+a43=3a42,
同理,a51+a52+a53=3a52,a61+a62+a63=3a62,
又每列也成等差数列,所以a42+a52+a62=3a52,
所以a41+a42+a43+a51+a52+a53+a61+a62+a63=3a42+3a52+3a62=3×3a52=63,
所以a52=7,故选C.
答案　C
4.在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B等于　　　　　,ac与b2的大小关系是　　　　　.
解析:由已知得B=,解得B=.
在△ABC中,b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac,
所以b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac.
答案:　b2≥ac
5.在等差数列{an}中,已知a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=　　　　　.
解析:由题意,知a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根,则a1+a99=10.
又因为{an}是等差数列,
所以a50==5,
故a50+a20+a80=a50=×5=.
答案:
6.已知5个数成等差数列,它们的和为25,它们的平方和为165,求这5个数.
解:设这5个数依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
由题意可得(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=25,(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=165,解得a=5,d=±2.
所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.
7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列 若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,
∴当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.
∴a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在实数λ使数列{an}为等差数列.
理由如下:∵a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
∴a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)·(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
∴(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
∴a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾,
∴不存在λ使{an}是等差数列.
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