《学霸笔记 同步精讲》第1章2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质 -试卷（教师版）高中数学北师大版选择性必修2

第2课时　等差数列前n项和的性质
课后训练巩固提升
A组
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=(　　).
A.7 B.6 C.3 D.2
解析:∵S4-S2=a3+a4=20-4=16,S2=a1+a2,
∴(a3+a4)-(a1+a2)=16-4=4d,∴d=3.
答案:C
2.已知数列{an}是等差数列,且a2=-8,a15=5,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　).
A.S10=S11 B.S10>S11 C.S9=S10 D.S9解析:∵d==1,∴an=n-10.
令an=0,得n=10,即a10=0.∴S9=S10.
由d=1,得a11=1,故S11>S10.
答案:C
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(　　).
A.63 B.45 C.36 D.27
解析:∵数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,
∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.
∵S3=9,S6-S3=27,∴S9-S6=45.
∵a7+a8+a9=S9-S6,∴a7+a8+a9=45.
答案:B
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18=　　　　　.
解析:∵S3=a1+a2+a3=-6,
S18-S15=a18+a17+a16=18,
∴(a1+a18)+(a2+a17)+(a3+a16)=12.
即a1+a18=4,∴S18==36.
答案:36
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=0,S15=25,则Sn的最小值为　　　　　.
解析　由Sn=na1+d得
解得∴Sn=-3n+(n2-10n)=(n-5)2-.
∴当n=5时,Sn有最小值-.
答案:-
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26,记Tn=,若存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn≤M都成立,则M的最小值是　　　　　.
解析:∵a4-a2=8,∴a5-a3=8.
又a3+a5=26,∴a3=9,a5=17.
∴an=4n-3,Sn==n(2n-1).
∴=2-,∴Tn=2-<2.
∴M≥2,∴M的最小值为2.
答案:2
7.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
解:(1)设{an}的首项、公差分别为a1,d.
则解得
∴an=3n-12.
(2)Sn=(3n2-21n)=n-2-,当n=3或n=4时,前n项的和取得最小值,且最小值为-18.
8.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75.
(1) 求{an}的通项公式及前n项和Sn;
(2)求|a1|+|a2|+…+|a14|的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴an=3n-23,Sn=n2-n.
(2)由an=3n-23,得
当n≤7时,an<0,当n>7时,an>0,
∴|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.
B组
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=-2n+1,则数列的前11项和为(　　).
A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
解析:∵Sn==-n2,∴=-n,其前11项和为=-66,
∴的前11项和为-66.
答案:D
2.已知{an}为等差数列,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=(　　).
A.11 B.19 C.17 D.21
解析:∵Sn有最大值,∴{an}的公差d<0.
∵<-1,∴a11<0,a10>0,∴a10+a11<0.
∴S20==10(a10+a11)<0,S19==19a10>0.
∴当Sn取最小正值时,n=19.
答案:B
3.若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是(　　).
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
解析:由an=解得an=
所以an=5-4n,所以na1=n,nan=5n-4n2.
因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0,Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,所以na1>Sn>nan.
答案:C
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(　　).
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,
S4=a1+a2+a3+a4=40,
所以4(a1+an)=120,即a1+an=30,
由Sn==210,得n=14.
答案:B
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=　　　　　;Sn的最小值为　　　　　.
解析:设首项为a1,公差为d,
由题意得解得
所以a5=a1+4d=0.
an=a1+(n-1)d=n-5.
令an≤0,则n≤5,即数列{an}中前4项为负,a5=0,第6项及以后的项为正.
故Sn的最小值为S4=S5=-10.
答案:0　-10
6.已知首项为正数的等差数列的前n项和为Sn,且S3=S8,当n=　　　　　时,Sn取到最大值.
解析:∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0.
∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.
故当n=5或n=6时,Sn最大.
答案:5或6
7. 已知项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
解:设等差数列共(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第n+1项,记为an+1,设公差为d,
则
∴S奇-S偶=a1+nd=an+1=11,
即中间项an+1=11.
又S2n+1=S奇+S偶=77,
∴=77,
∴(2n+1)×11=77,∴2n+1=7,
即数列的中间项为11,这个数列共7项.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.
(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;
(2)分别求使Sn单调递增、单调递减的n的取值范围,并求Sn的最大(或最小)的项;
(3){Sn}有多少项大于零
解:(1)Sn=na1+d=12n+×(-2)=-n2+13n.图象如图.
(第8题)
(2)∵Sn=-n2+13n=-,n∈N+,
∴当n=6或7时,Sn最大;当1≤n≤6时,Sn单调递增;当n≥7时,Sn单调递减.
Sn有最大值,最大项是S6,S7,S6=S7=42.
(3)由图象得{Sn}中有12项大于零.
6