《学霸笔记 同步精讲》第1章3.1 第2课时 等比中项及等比数列的性质 -试卷（教师版）高中数学北师大版选择性必修2

第2课时　等比中项及等比数列的性质
课后训练巩固提升
A组
1.在正项等比数列{an}中,若log2(a2a98)=4,则a40a60等于(　　).
A.4 B.8 C.16 D.32
解析:在正项等比数列{an}中,a2a98=a40a60,
所以由log2(a2a98)=4,得a2a98=24=16,
即a40a60=16.故选C.
答案:C
2.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则a7=(　　).
A. B.
C. D.
解析:在等比数列{an}中,=a3a5,
又a4=a3a5,所以a4=1,故q=,所以a7=.
答案:B
3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7=(　　).
A.4 B.6 C.8 D.8-4
解析:a3+a5=-1++1=2,
故+2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=8,选C.
答案:C
4.在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,则=(　　).
A.3 B.-
C.3或 D.-3或-
解析:因为在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,
所以由等比数列的性质得,
化简得,3q20-10q10+3=0,解得q10=3或q10=,
即=q10=3,或,故选C.
答案:C
5.已知1是a2与b2的等比中项,又是的等差中项,则的值是(　　).
A.1或 B.1或-
C.1或 D.1或-
解析:∵a2b2=1,=2,∴=2,
∴=4,
∴a2+b2=4-2ab,
又a+b=2ab,∴.
由a2b2=1知ab=±1,∴=1或-.
答案:D
6.在等比数列{an}中,若a1·a2·a3·a4=1,a13·a14·a15·a16=8,则a41·a42·a43·a44=　　　　　.
解析:a1·a2·a3·a4=a1·a1q·a1q2·a1q3=·q6=1,①
a13·a14·a15·a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=·q54=8,②
由②÷①,得=q48=8 q16=2.
又a41·a42·a43·a44=a1q40·a1q41·a1q42·a1q43=·q166=·q6·q160=(·q6)·(q16)10=1·210=1 024.
答案:1 024
7.在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a3a7=　　　　　;a5的值是　　　　　.
解析:根据根与系数的关系得a3+a7=-4,a3a7=2,
由a3+a7=-4<0,a3a7>0,得a3<0,a7<0,故a5<0.
由a3a7=,得a5=-=-.
答案:2　-
8.三个互不相等的数成等差数列,适当排列这三个数后,又可成为等比数列,已知这三个数的和为6,求这三个数.
解:设这三个数分别为a-d,a,a+d,
则a-d+a+a+d=6,得a=2,
即这三个数为2-d,2,2+d.
①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(舍).
此时三个数为-4,2,8.
②若2+d为等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍).
此时三个数为8,2,-4.
③若2为等比中项,则有22=(2-d)·(2+d),
解得d=0(舍).
综上,此三个数为-4,2,8.
9.已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N+.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2) 求证:对任意的n>1,都存在m∈N+,使得a1,an,am成等比数列.
(1)解:由Sn=,得a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,将a1=1代入符合.
所以数列{an}的通项公式为an=3n-2.
(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时m∈N+,且m>n.
所以对任意的n>1,都存在m∈N+,使得a1,an,am成等比数列.
B组
1.已知等比数列{an}的各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于(　　).
A.+1 B.3+2 C.3-2 D.2-3
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由于a1,a3,2a2成等差数列,
则2=a1+2a2,即a3=a1+2a2,
所以a1q2=a1+2a1q.
因为a1≠0,所以q2=1+2q,
解得q=1±.
又等比数列{an}中各项都是正数,
所以q>0,所以q=1+.
所以=3-2.
答案:C
2.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,3,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(　　).
A.n(2n-1) B.(n+1)2
C.n2 D.(n-1)2
解析:因为数列{an}为等比数列,所以a5·a2n-5=.
由a5·a2n-5=22n(n≥3),得=22n.
又因为an>0,所以an=2n,
所以log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2,故选C.
答案:C
3.已知等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15=(　　).
A.±2 B.±4 C.2 D.4
解析:∵T13=4T9,
∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13=4.
又a10a13=a11a12=a8a15,
∴(a8a15)2=4,∴a8a15=±2.
∵{an}为递减数列,∴q>0.∴a8a15=2.
答案:C
4.在公差不为零的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=(　　).
A.16 B.14 C.4 D.49
解析:∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0,又b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8==16.
答案:A
5.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=　　　　　.
解析:∵bn=an+1,且数列{bn}中有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,∴an∈{-54,-24,18,36,81}.
∵数列{an}是公比为q的等比数列,且|q|>1,
∴数列{an}中的项分别为-24,36,-54,81.
∴6q=6×=-9.
答案:-9
6.在由9个正数组成的3行3列方阵中,每行三个数成等比数列,且a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33成等差数列.若a12=2,a32=4,则a22=　　　　　.
解析:由题意,知a11a12a13==8,a21a22a23=,a31a32a33==64,
又a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33成等差数列,
所以2=72,解得a22=.
答案:
7.在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,,…,,…成等比数列,求数列{kn}的通项kn.
解:依题意得an=a1+(n-1)d,=a1a4,
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d,
∵d≠0,∴d=a1,得an=nd.
∴由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比数列.
又d≠0,∴数列1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比数列,首项为1,公比q==3,由此得k1=9.
等比数列{kn}的首项k1=9,公比q=3,
∴kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),
即得到数列{kn}的通项kn=3n+1.
8.在等差数列{an}与等比数列{bn}中,公差与公比均为d(d>0,且d≠1).若a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求数列{an}和数列{bn}的通项公式.
解:由题意可得
①×2-②得a1=6a1d2-5a1d4,
∴5d4-6d2+1=0,∴d2=或d2=1.
又d>0,且d≠1,∴d=,∴a1=-.
∴an=-(n-1)=(n-6),
bn=-=-.
6