《学霸笔记 同步精讲》第1章3.2 等比数列的前n项和 -试卷（教师版）高中数学北师大版选择性必修2

3.2　等比数列的前n项和
课后训练巩固提升
A组
1.设等比数列{an}的公比q=3,前n项和为Sn,则=(　　).
A.3 B.9 C.40 D.
解析:根据题意,等比数列{an}的公比q=3,
则S4=a1+a2+a3+a4==40a1,
a3=a1q2=9a1,
故.
答案:D
2.设数列{xn}满足ln xn+1=1+ln xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x21+x22+x23+…+x30的值为(　　).
A.11·e20 B.11·e21 C.10·e21 D.10·e20
解析:∵ln xn+1-ln xn=1,∴=e,∴数列{xn}是等比数列,公比为e,x21+x22+x23+…+x30=(x1+x2+x3+…+x10)·e20=10·e20.
答案:D
3.在数列{an}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+…+an=2n-1,则+…+等于(　　).
A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)
解析:由a1+a2+…+an-1+an=2n-1,
得a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
∴an=2n-1(n≥2).
又a1=1,符合上式,∴an=2n-1,∴=4n-1,
∴+…+(4n-1).
答案:D
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　).
A. B.- C. D.-
解析　设{an}的公比为q.由已知可得S3=a1+a2+a3=a2+10a1,∴a3=9a1,∴q2=9.
又a5=a1q4=81a1=9,∴a1=,故选C.
答案:C
5.(多选题)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3,则下列关于数列{an}结论正确的为(　　).
A.an=2n-1
B.an=
C.数列{an}的奇数项的前n项和为
D.数列{an}的偶数项的前n项和为
解析:依题意,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1;
当n=1时,a1=S1=21-3=-1,a1不适合an=2n-1,因此,an=
当n≥2时,数列{an}是等比数列.
数列{an}的奇数项的前n项和为-1+,数列{an}的偶数项的前n项和为.
答案:BCD
6.如果数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+),那么a5=　　　　　;前8项的和S8=　　　　　.(用数字作答)
解析:∵=2,∴数列{an}是等比数列,公比为2,首项为1,故an=2n-1,∴a5=24=16,S8==255.
答案:16　255
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4=　　　　　.
解析:设等比数列{an}的公比为q.
由a1=1,S6=4S3可得q3=3,∴a4=a1q3=3.
答案:3
8.已知等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn.a3=2,S4=5S2,求数列{an}的通项公式.
解:由题意知a1≠0,Sn=,
则
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0.
由q<1,解得q=-1或q=-2.
当q=-1时,代入①得a1=2,
通项公式an=2×(-1)n-1;
当q=-2时,代入①得a1=,
通项公式an=×(-2)n-1.
9.设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N+,其中a,c为实数,且c≠0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a=,c=,bn=n(1-an),n∈N+,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)∵an+1-1=c(an-1),∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列.
∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1;
当a=1时,an=1仍满足上式.
∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1(n∈N+).
(2)由(1)得bn=n(1-a)cn-1=n,
Sn=b1+b2+…+bn=+2+…+n,
Sn=+2+…+n,
∴Sn=+…+-n.
∴Sn=1++…+-n=2-n.
∴Sn=2-(n+2)·.
B组
1.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1 101)2表示二进制的数,将它转换成十进制数的形式是1×20+0×21+1×22+1×23=13,那么将二进制数(11 111 111)2转换成十进制数的形式是(　　).
A.29-2 B.28-1 C.28-2 D.27-1
解析　(11 111 111)2十进制的形式是1×20+1×21+…+1×26+1×27==28-1.
答案:B
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若=3,则等于(　　).
A.2 B. C. D.3
解法一　∵=1+q3=3,
∴q3=2.∴.
解法二　可知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
则可设S6=3,S3=1,则(S6-S3)2=S3×(S9-S6),解得S9=7,故.
答案:B
3.设数列{an}的前n项和为Sn,称Tn=为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”.已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为4 020,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(　　).
A.1 673 B.1 676 C.3 351 D.3 352
解析: 因为数列a1,a2,…,a5的“理想数”为4 020,
所以=4 020,
即S1+S2+S3+S4+S5=5×4 020,
所以数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为=3 352.
答案:D
4.如果lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=　　　　　.
解析:∵(1+2+…+10)lg x=110,
∴55lg x=110,∴lg x=2.
∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.
答案:2 046
5.在等比数列{an}中,a1=512,公比q=-,用Mn表示它的前n项之积,即Mn=a1·a2·a3·…·an,则数列{Mn}的通项公式是　　　　　;最大项是第　　　　　项.
解析:由题意知an=512×-n-1,
∴Mn=a1·a2·a3·…·an=512×-0×512×-×…×512×-n-1=512n×=512n×(-=(-1).
当n=9或n=10时,取最大值,而n=9时,(-1=1,n=10时,(-1=-1,故M9最大.
答案:Mn=(-1　9
6.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.
解:(1)设等比数列{bn}的公比为q,则q==3,
所以b1==1,b4=b3q=27,
所以bn=3n-1(n=1,2,3,…).
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1,
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1==n2+.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+).在等差数列{bn}中,bn>0(n∈N+),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.
(1) 求数列{an},{bn}的通项公式;
(2) 求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+),
∴an=2Sn-1+1(n∈N+,n>1),
∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,
∴an+1=3an(n∈N+,n>1).
而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1,
∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
∴an=3n-1(n∈N+).
∴a1=1,a2=3,a3=9.
在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.
又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,
设等差数列{bn}的公差为d,
则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.
∴(1+5-d)(9+5+d)=64,
解得d=-10或d=2,
∵bn>0(n∈N+),∴舍去d=-10,取d=2,
∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N+).
(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1,①
∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②
∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n,
∴Tn=n·3n(n∈N+).
7