北师大版八年级下学期数学4.3 公式法因式分解 知识点 练习试题（2课时，含答案）

因式分解第3节：公式法
知识点
（1）判断能用平方差公式的方法： 多项式是两项，化成平方且两项是异号 。
（2）a2－b2=（a+b）（a－b）。
（3）判断用完全平方式的方法： 多项式是三项，且其中化成平方的两项是同号，且该两项乘积的两倍等于第三项 。
（4）a2+2ab+b2=（a+b）2；a2－2ab+b2=（a－b）2
（5）提公因式的一般步骤：①提取公因式；②用公式法。
练习题
第1 课时　利用平方差公式因式分解
1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A.-a2-b2　　 B.a2+b2　　 C.a2-b2　　 D.a2-b2-1
2.如果多项式a2+b2+□可以运用平方差公式分解因式,那么□可以是 ( )
A.(-2b2)　　 B.8b2　　 C.(-2ab)　　 D.(-2ac)
3.分解因式:ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y),则a+b的值为 ( )
A.7　　 B.-1　　 C.25　　 D.-7
4.因式分解:m2(m-n)-n2(m-n)=_______________.
5.把下列各式分解因式:
(1)a2-0.01.　 (2)49-x2. (3)0.01m2-625n2.
(4)a2(x-y)+4b2(y-x). (5)49(x+y)2-9(x-y)2.
6.用平方差公式简便计算:
(1)59.8×60.2.　 　 (2)9×10.
7.已知4m+n=40,2m-3n=5.求(m+2n)2-(3m-n)2的值.
8.如图1,圆形盘子外圆的半径是R cm,内圆的半径是r cm,现在要给盘子环形部分上釉(图2中的阴影部分),如果R=10.25 cm,r=8.25 cm,请求出阴影部分的面积.(结果保留π)
9.已知a-b=5,则a2-b2-10b的值为 ( )
A.5　　 B.10　　 C.15　　 D.25
10.若k为任意整数,则(k+3)2-(k-2)2的值总能 ( )
A.被2整除　　　 B.被3整除 C.被5整除　　　 D.被7整除
11.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2-b2=bc-ac,则△ABC为 ( )
A.等腰三角形　　　 B.等边三角形 C.直角三角形　　　 D.等腰直角三角形
12.小李是一位密码编译爱好者,在他的《密码手册》中有这样一条明码信息:a-1,m-n,5,m2+1,a,a+1,m+n依次对应七个字:之,桥,天,中,眼,空,国,现将5m(a2-1)-5n(a2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.天空之桥　　　 B.中国天眼 C.中国天空　　　 D.天眼之桥
13.分解因式:x3-25x=_____________.
14.如图,约定相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
(1)求整式M,P.
(2)将整式P因式分解.
15.观察下列算式,回答问题.
算式①:42-22=12=4×3;
算式②:62-42=20=4×5;
算式③:82-62=28=4×7;
算式④:102-82=36=4×9;
……
(1)按照已有算式的规律,请写出算式⑥:_________.
(2)小明将这些算式的规律用文字表示为“两个连续偶数的平方差一定是4的倍数”.你认为这句话正确吗 为什么
16.观察下列式子因式分解的结果:
①x2-1=(x-1)(x+1);
②x3-1=(x-1)(x2+x+1);
③x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1).
(1)根据以上等式,尝试对x5-1进行因式分解:x5-1=____.
(2)观察以上结果,猜想xn-1=______.(n为正整数,直接写结果,不用验证)
(3)试求26+25+24+23+22+2+1的值.
第2课时　利用完全平方公式因式分解
1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.4x2-1　　　 B.4x2+4x-1 C.x2-xy+y2　　　 D.x2-x+
2.将多项式3a2-6a+3因式分解,结果是 ( )
A.3a(a-2)+3　　　 B.3(a2-2a+1) C.3(a-1)(a+1)　　　 D.3(a-1)2
3.将多项式x3-2x2+x分解因式,结果为 ( )
A.x(x+1)2　　　 B.x(x2-2x) C.x2(x-2)+x　　　 D.x(x-1)2
4.若a=4+b,ab=3,则-a3b+2a2b2-ab3的值为 ( )
A.-48　　　 B.-12 C.-36　　　 D.12
5.因式分解:x2-6x+9=______________.
6.因式分解:2x2-12xy+18y2=___________.
7.若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值是_________.
8.把下列各式分解因式.
(1)16y2-24y+9. (2)2-2x+. (3)-4a2x2+20ax-25.
(4)ma2-2ma(b+c)+m(b+c)2. (5)6x2y3+15xy2z. (6)m(n-1)+(1-n).
(7)25c2-49a2b2. (8)3ax2-6axy+3ay2. (9)4m2(x-y)+n2(y-x).
9.用简便方法计算.
(1)99×101.　　　 (2)752+252-50×75.
10.已知a是一个正整数,且a除以3余1,请说明a2+4a+4能被9整除.
11.若a,b,c是三角形三边的长,则代数式(a2-2ab+b2)-c2的值 ( )
A.大于零　　　 B.小于零
C.大于或等于零　　　 D.小于或等于零
12.若A=x2+6y+4,B=-y2+2x-6,则A,B的大小关系为 ( )
A.A≥B　　　 B.AB　　　 D.A=B
13.若a,b,c是直角三角形ABC的三边长,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则直角△ABC斜边上的高为 ( )
A.2.4　　 B.4.8　　 C.6　　 D.9.6
14.若a=2b+1,则a2-4ab+4b2+2 025的值为___________.
15.已知x2-2xy+y2-9=0,y-x=xy,且x16.已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
17.阅读材料:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将x+y看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,再
将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题过程使用的方法是“换元法”,换元法是数学解题
中常用的一种方法,请你解答下列问题.
(1)因式分解:9+6(x-y)+(x-y)2.
(2)若n为正整数,判断代数式(n+1)(n+2)·(n+3)(n+4)+1的值是不是某一个整数的平方.
18.阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如m2-mn+2m-2n,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).这种因式分解的方法叫作“分组分解法”,请在这种方法的启发下,解决以下问题.
(1)分解因式:a3-3a2+2a-6.
(2)分解因式:4m2-12mn+9n2-4m+6n+1.
19.阅读下列材料:对于形如x2+2ax+a2的二次三项式,可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+4x-5,就不能直接用完全平方公式分解了.对此,我们可以添上一项4,使它与x2+4x构成一个完全平方式,然后再减去4,这样整个多项式的值不变,即x2+4x-5=(x2+4x+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)·(x-1).像这样,把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法,叫作配方法.
请根据上述材料,解决下列问题.
(1)用配方法因式分解:a2-12a+35=_______.
(2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值.
20.利用整式的乘法推导得出(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法是方向相反的变形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)·(cx+d).通过观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x为未知数,a,b,c,d为常数的二次三项式,此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数,分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾,叉乘凑中项”,如图1,这种分解的方法称为十字相乘法.例如,将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解,如图2,则2x2+11x+12=(x+4)(2x+3).
根据阅读材料解决下列问题:
(1)用十字相乘法分解因式:x2+6x-27.
(2)用十字相乘法分解因式:6x2-7x-3.
(3)结合本题知识,分解因式:20(x+y)2+7(x+y)-6.
21.“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法.在因式分解中,我们可以将多项式的某些项用字母替换,将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式,达到“化繁为简”的目的.八(1)班的几名同学在对多项式(m2-3m+2)(m2-3m-4)+9用“换元法”进行因式分解时,发现有三种不同的换元思路.
【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路.
解:令t=m2-3m,得(t+2)(t-4)+9=t2-2t+1=(t-1)2,即原式=(m2-3m-1)2.
【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路.
解:令t=m2-3m+2,得t(t-6)+9=t2-6t+9=(t-3)2,即原式=(m2-3m+2-3)2=(m2-3m-1)2.
【解法三】小明同学给出另一种换元法,称之为平均代换.相较于前两种换元方法,平均代换保留了相同的部分,取两个因式常数部分的平均值,构成新元.
解:∵ [(m2-3m+2)+(m2-3m-4)]=m2-3m-1,∴令t=m2-3m-1,
得(t+3)(t-3)+9=t2,即原式=(m2-3m-1)2.
请你利用“换元法”解决以下问题.
(1)因式分解:(a2+4a-4)(a2+4a+6)+25.
(2)小天同学发现多项式(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+16也可以用换元法因式分解.
解:原式=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16……
请你根据小天同学的思路,把上述因式分解的过程补充完整.
(3)①因式分解:(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360=_______.
②因式分解:(x2-1)(x+3)(x+5)+16=_______.
答案
第1 课时　利用平方差公式因式分解
1.C
2.A
3.D
4. (m-n)2(m+n)_
5.解析 (1)a2-0.01=(a+0.1)(a-0.1).
(2)49-x2=(7-x)(7+x).
(3)0.01m2-625n2=(0.1m+25n)(0.1m-25n).
(4)a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(a2-4b2)
=(x-y)(a+2b)(a-2b).
(5)49(x+y)2-9(x-y)2
=[7(x+y)]2-[3(x-y)]2
=(7x+7y)2-(3x-3y)2
=(7x+7y+3x-3y)(7x+7y-3x+3y)
=(10x+4y)(4x+10y)
=4(5x+2y)(2x+5y).
6.解析 (1)59.8×60.2=(60-0.2)×(60+0.2)=3 600-0.04=3 599.96.
(2)9×10=(10－)×(10+)=100-=99.
7.解析 (m+2n)2-(3m-n)2
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40,2m-3n=5时,原式=-40×5=-200.
8.解析　由题图可得阴影部分的面积为πR2-πr2=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r).
∵R=10.25 cm,r=8.25 cm,
∴π(R+r)(R-r)=π×(10.25+8.25)×(10.25-8.25)=37π(cm2),
∴阴影部分的面积为37π cm2.
9.D
10.C
11.A
12.A
13.x(x+5)(x-5)
14.解析 (1)根据题意得M=3x2-4x-20-3x(x-3)=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20.
P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16.
(2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2).
15.解析 (1)142-122=52=4×13.
(2)正确.理由:设两个连续的偶数为2n和2n+2.(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=4(2n+1),因为2n+1是整数,所以4(2n+1)一定能被4整除,所以两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.
16.解析 (1)x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1).
(2)xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+1).
(3)∵27-1=(2-1)×(26+25+24+23+22+2+1),
∴26+25+24+23+22+2+1=27-1=127.
第2课时　利用完全平方公式因式分解
1.D
2.D
3.D
4.A
5. (x-3)2
6.2(x-3y)2
7.±12
8.解析 (1)16y2-24y+9=(4y)2-2×4y×3+32=(4y-3)2.
(2)2-2x+=2（1－x+）=2（1－）2.
(3)-4a2x2+20ax-25=-(4a2x2-20ax+25)
=-[(2ax)2-2×2ax×5+52]=-(2ax-5)2.
(4)ma2-2ma(b+c)+m(b+c)2
=m[a2-2a(b+c)+(b+c)2]
=m[a-(b+c)]2=m(a-b-c)2.
(5)6x2y3+15xy2z=3xy2(2xy+5z).
(6)m(n-1)+(1-n)=m(n-1)-(n-1)=(n-1)(m-1).
(7)25c2-49a2b2=(5c+7ab)(5c-7ab).
(8)3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.
(9)4m2(x-y)+n2(y-x)=4m2(x-y)-n2(x-y)=(x-y)(4m2-n2)=(x-y)(2m+n)(2m-n).
9.解析 (1)99×101=(100-1)×(100+1)=1002-1=10 000-1=9 999.
(2)752+252-50×75=752-2×25×75+252=(75-25)2=502=2 500.
10.证明　∵a是一个正整数,且a除以3余1,
∴设a=3x+1(x是非负整数),
∴a2+4a+4=(3x+1)2+4(3x+1)+4
=9x2+18x+9=9(x2+2x+1)=9(x+1)2,
∵(x+1)2是正整数,
∴9(x+1)2能被9整除,
∴a2+4a+4能被9整除.
11.B
12.A
13.B
14.2026
15.－9
16.解析 (1)证明:∵3m+n=,mn=
∴b=a(3m+n),c=amn,
∴b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)=a2(3m-n)2,
∵a,m,n是实数,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可以都为整数.
理由:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数.
①当m,n都为奇数时,3m+n必为偶数,
∵3m+n=,∴b=a(3m+n),
∵a为奇数,
∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾,
∴m,n都为奇数不成立.
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,mn必为偶数,
∵mn=,
∴c=amn,
∵a为奇数,
∴amn为偶数,这与c为奇数矛盾,
∴m,n为整数,且其中至少有一个为偶数不成立.
综上所述,m,n不可以都为整数.
17.解析 (1)令x-y=A,则原式=9+6A+A2=(A+3)2,再将“A”还原,得原式=(x-y+3)2.
(2)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n+1)(n+4)·(n+2)(n+3)+1
=(n2+5n+4)·(n2+5n+6)+1,
令n2+5n+4=B,所以原式=B(B+2)+1=B2+2B+1=(B+1)2=(n2+5n+4+1)2=(n2+5n+5)2,
因为n为正整数,所以n2+5n+5是整数,
所以代数式(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是n2+5n+5的平方.
18.解析 (1)a3-3a2+2a-6=(a3-3a2)+(2a-6)=a2(a-3)+2(a-3)=(a-3)(a2+2).
(2)4m2-12mn+9n2-4m+6n+1
=(4m2-12mn+9n2)-(4m-6n)+1
=(2m-3n)2-2(2m-3n)+1
=(2m-3n-1)2.
19.解析 (1)a2-12a+35=a2-12a+36-1=(a-6)2-1=(a-7)(a-5).
(2)∵a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,
∴(a2-2ab+b2)+(b2+4b+4)+(c2-6c+9)=0,
即(a-b)2+(b+2)2+(c-3)2=0,
∵(a-b)2≥0,(b+2)2≥0,(c-3)2≥0,
∴a-b=0,b+2=0,c-3=0,解得a=b=-2,c=3,
∴a+b+c=-2-2+3=-1.
20.解析 (1)x2+6x-27=(x+9)(x-3).
(2)6x2-7x-3=(3x+1)(2x-3).
(3)20(x+y)2+7(x+y)-6
=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]
=(4x+4y+3)(5x+5y-2).
21.解析 (1)(a2+4a-4)(a2+4a+6)+25,
∵[(a2+4a-4)+(a2+4a+6)]=a2+4a+1,
∴令t=a2+4a+1,得(t-5)(t+5)+25=t2,
即原式=(a2+4a+1)2.
(2)(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+16
=[(a+1)(a+7)][(a+3)(a+5)]+16
=(a2+8a+7)(a2+8a+15)+16,
∵ [(a2+8a+7)+(a2+8a+15)]=a2+8a+11,
∴令t=a2+8a+11,得(t-4)(t+4)+16=t2,
即原式=(a2+8a+11)2.
(3)①(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)-360=[(x+3)(x+6)][(x+4)(x+5)]-360
=(x2+9x+18)(x2+9x+20)-360,
令t=x2+9x+18,得t(t+2)-360=t2+2t+1-361=(t+1)2-361
=(t+1+19)(t+1-19)=(t+20)(t-18),
即原式=(x2+9x+18+20)(x2+9x+18-18)=x(x+9)·(x2+9x+38).
②(x2-1)(x+3)(x+5)+16
=[(x+1)(x+3)][(x-1)(x+5)]+16
=(x2+4x+3)(x2+4x-5)+16,
令t=x2+4x,得(t+3)(t-5)+16=t2-2t-15+16=t2-2t+1=(t-1)2,
即原式=(x2+4x-1)2.