第2讲 整式与因式分解
考纲要求
命题趋势
1.能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解.
整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．
一、整式的有关概念
1．整式
整式是单项式与多项式的统称．
2．单项式
单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．21教育网
3．多项式
几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
二、整数指数幂的运算
正整数指数幂的运算法则：，，，(m，n是正整数)．
三、同类项与合并同类项
1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．
2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．21cnjy.com
四、求代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．
2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．21·cn·jy·com
五、整式的运算
1．整式的加减
(1)整式的加减实质就是合并同类项；
(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．www.21-cn-jy.com
2．整式的乘除
(1)整式的乘法
①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2·1·c·n·j·y
②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．
③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．
(2)整式的除法
①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【来源：21·世纪·教育·网】
②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
3．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
六、因式分解
1．因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．
2．因式分解的方法
(1)提公因式法
公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．
(2)运用公式法
①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)十字相乘
1．如果单项式-xa+1y3与ybx2是同类项，那么a、b的值分别为（ ）
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a2?a3=a6 B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4 D．（﹣）﹣2=4
3．若（ambn）3=a9b15，则m、n的值分别为（ ）
A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；1221世纪教育网版权所有
4．下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2
6．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（ ）
A．a8+2a4b4+b8 B．a8﹣2a4b4+b8 C．a8+b8 D．a8﹣b8
7.多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（ ）
A．a（x﹣6）（x+2） B．a（x﹣3）（x+4） C．a（x2﹣4x﹣12） D．a（x+6）（x﹣2）
8．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
9．已知a﹣b=5，ab=3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
答案：
1． C
2． D
3． B
4． B
5． D
6． B
7. A
8．解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，
∵积中不含x项与x3项，
∴P﹣3=0，qp+1=0
∴p=3，q=﹣，
（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014
=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2
=36﹣+
=35．
9．解：∵a3b﹣2a2b2+ab3
=ab（a2﹣2ab+b2）
=ab（a﹣b）2
而a﹣b=5，ab=3，
∴a3b﹣2a2b2+ab3=3×25=75．
第2讲 整式与因式分解
考点一、整数指数幂的运算
【例1】 1．已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（ ）
A．3a﹣2b B．a3﹣b2 C．a3b2 D．
2．若a2n=5，b2n=16，则（ab）n= ．
方法总结 幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．21教育网
举一反三 1．若ax=2，ay=3，则a2x+y= ．
2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为 ．
考点二、整式的运算
【例2】 1．若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 ．
2．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a=b B．a=3b C．a=b D．a=4b
方法总结 对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用
举一反三 1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b= ；a2+b2= ．
2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）21·cn·jy·com
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
考点三、乘法公式
【例3】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b） C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
2．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣= ．
方法总结 本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．21世纪教育网版权所有
举一反三 1．填空：
（a﹣b）（a+b）= ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．
2．如果a+b+，那么a+2b﹣3c= ．
3．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）?（2007﹣a）= ．
考点四、因式分解
【例4】 分解因式：（1）20a3x﹣45ay2x （2）1﹣9x2 （3）4x2﹣12x+9
（4）4x2y2﹣4xy+1 （5）p2﹣5p﹣36
方法总结 因式分解的一般步骤：
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；21cnjy.com
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
举一反三 分解因式（1） y2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x2
（3）﹣a+2a2﹣a3（4）m3﹣m2﹣20m
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A. 23+24=27 B. 23?24=2-1 C. 23×24=27 D. 23÷24=21
2．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2?x3=x6 B．=|x| C．（x2﹣）÷x=x﹣1 D．x2﹣x+1=（x﹣）2+
3．（ ）
A. B. C. D.
4．下列计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在下列各式的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
8．下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
9．分解因式的结果是 （ ）
B. C. D.
10．下列因式分解正确的是( )
A． B．
C． D．
11．下列各等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列运算正确的是（ ）
A．（）3= B．3a3?2a2=6a6 C．4a6÷2a2=2a3 D．（3a2）3=27a6
13．下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3?a6=a9 B．（a2）3=a5 C．4a3﹣2a2=2 D．（3a）2=6a2
14．下面计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．（﹣a2）3=（﹣a）6 C．[（﹣a）2]3=a6 D．（a2）3÷a2=a3
15．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a4=a7 B．a3﹣a4=a﹣1 C．a3?a4=a7 D．a3÷a4=a2·1·c·n·j·y
16．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题
1．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）．【来源：21·世纪·教育·网】
2.分解因式：m3n?4mn= ．
3．在实数范围内分解因式：= .
4．因式分解：a3b﹣ab3= ．
5．分解因式：9a2﹣b2= ．
6．分解因式：2a2﹣4a+2= ．
三、解答题
1．先化简，再求值： ，其中.
1．要使二次三项式x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解，那么整数m的值可取（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．有无数个
2．若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣2）和（x﹣1），则mn的值是（ ）
A．100 B．0 C．﹣100 D．50
3．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（ ）21·世纪*教育网
A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017
4．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2 B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）2
5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．0 B．1 C．2 D．3
7．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= ．
8．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9= ．
9．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是 ．
10．若，则= ．
11．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：
， ， ．
12．若m2﹣5m+1=0，则= ．
13．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy﹣1，下面给出关于这种运算的几种结论：
①（2@3）@（4）=19；
②x@y=y@x；
③若x@x=0，则x﹣1=0；
④若x@y=0，则（xy）@（xy）=0，
其中正确结论的序号是 ．（在横线上填上你认为所有正确的序号）
14. 因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn
m2（m+1）﹣（m+1）
（3）4x2y+12xy+9y
（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15
15. 已知a，b，c为△ABC的三条边的长，当b2+2ab=c2+2ac时，
（1）试判断△ABC属于哪一类三角形；
（2）若a=4，b=3，求△ABC的周长．
16.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．www.21-cn-jy.com
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．
答案：
【例1】 1． D
2．
举一反三 1． 12
2． y=4（x+1）2+1
考点二、整式的运算
【例2】 1． 1
2． B
举一反三 1． 5 ； 6
2． C
考点三、乘法公式
【例3】 1． B
2．3．
举一反三 1．填空：
（a﹣b）（a+b）= a2﹣b2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4 ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
2．0
解：原等式可变形为：
a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5
（a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0
（a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0
（﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0；
即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0，
∴=2，=1，=1，
∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1，
解得：a=6，b=0，c=2；
∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0．
3．0
解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，
∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），
即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），
整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，
∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．
考点四、因式分解
【例4】
解：（1）原式=5ax（4a2﹣9y2）=5ax（2a+3y）（2a﹣3y）；（2）原式=（1+3x）（1﹣3x）；
（3）原式=（2x）2﹣12x+9=（2x﹣3）2；（4）原式=（2xy﹣1）2；（5）原式=（p+4）（p﹣9）；
举一反三 解：（1）原式=（y﹣3）（y﹣4）；
（2）原式=3（x2﹣2x+1）=3（x﹣1）2；
（3）原式=﹣a（a2﹣2a+1）=﹣a（a﹣1）2；
（4）原式=m（m2﹣m﹣20）=m（m+4）（m﹣5）．
一、选择题
1． C
2． B
3． C
4． D
5． B
6． B
7． C
8． C
9． A
10．B
11．A
12．D
13．A
14．C
15．C
16．C
解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，
解得：a=0或b=0，正确；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，
∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；
③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，
令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，
解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，
解得，a=b，
∴a@b最大时，a=b，故④正确，
故选C．
二、填空题
1． ﹣1
2.m n(m-2)(m+2)
3．
4．ab（a+b）（a﹣b）
5．（3a+b）（3a﹣b）
6． 2（a﹣1）2
三、解答题
1．解：原式＝4 =-求得值为6
D
解：设x2﹣2x+m=（x+a）（x+b），
∵x2﹣2x+m在整数范围内能进行因式分解，
∴a+b=﹣2，ab=m，
∵a+b=﹣2有无数对整数解，
∴整数m的值可取无数个．
故选D．
C
解：设x4+mx3+nx﹣16=（x﹣1）（x﹣2）（x2+ax+b），
则x4+mx3+nx﹣16=x4+（a﹣3）x3+（b﹣3a+2）x2+（2a﹣3b）x+2b．
比较系数得：，
解得，
所以mn=﹣5×20=﹣100．
故选：C．
3． D
4． D
5．B
解：∵2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，
∴4a4﹣4a2c2+c4+4b4﹣4b2c2+c4=0，
∴（2a2﹣c2）2+（2b2﹣c2）2=0，
∴2a2﹣c2=0，2b2﹣c2=0，
∴c=a，c=b，
∴a=b，且a2+b2=c2．
∴△ABC为等腰直角三角形．
D
解：由题意可知a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，
所求式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，
=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，
=[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，
=3．
7． 6 ， 1
8．（x﹣y+3）（x+y﹣3）
解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，
则原式=a（b+）﹣（a﹣）?b
=ab+a﹣ab+b
=（a+b），
∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，
∴原式=．
10． 6
解：∵，
∴+（b+1）2=0，
∴a2﹣3a+1=0，b+1=0，
∴a+=3，
∴（a+）2=32，
∴a2+=7；
b=﹣1．
∴=7﹣1=6．
11． 4x ， ﹣4x ，
12． 23
解：∵m2﹣5m+1=0，
∴m﹣5+=0，即m+=5，
∴（m+）2=25，
∴m2+2+=25，
∴m2+=23．
13． ①②④
解：根据题意得：①（2@3）@（4）=5@4=20﹣1=19，本选项正确；
②x@y=xy﹣1，y@x=yx﹣1，故x@y=y@x，本选项正确；
③若x@x=x2﹣1=0，则x﹣1=0或x+1=0，本选项错误；
④若x@y=xy﹣1=0，则（xy）@（xy）=x2y2﹣1=（xy+1）（xy﹣1）=0，本选项正确，
则其中正确的结论序号有①②④．
14. 因式分解：
（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn=2mn（2m﹣4n﹣1）
（2）m2（m+1）﹣（m+1）=（m+1）2（m﹣1）
（3）4x2y+12xy+9y=y（2x+3）2
（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15=（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
15.解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a=4，b=3，
∴b=c=3，
∴△ABC的周长=a+b+c=4+3+3=10．
16.解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：
x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，
x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；
（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，
a2+ab+b2=（a+b）2+b2；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），
=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），
=（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，
从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
即a=1，b=2，c=1，
∴a+b+c=4．
