广东省江门市外海中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷（含答案）

广东省江门市外海中学2025-2026学年高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
2.不透明的盒子里面装有五个分别标有数字、、、、的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是( )
A. B. C. D.
3.直线，无论取何值，该直线恒过定点( )
A. B. C. D.
4.已知为实数，直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆：与圆：外切，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是圆：上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则下列选项中正确的有( )
A. 直线的倾斜角为 B. 直线的斜率为
C. 直线不经过第三象限 D. 直线的一个方向向量为
10.已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有( )
A. 若，为互斥事件，则
B. 若，为互斥事件，则
C. 若，相互独立，则
D. 若，相互独立，则
11.在正方体中，，为正方形内包括边界一动点，为的中点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则的最大值为
D. 满足的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与间的距离为______．
13.在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ．
14.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在棱上，：：．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知点，点，直线过点且与直线垂直．
求直线的方程；
求直线：关于直线的对称直线的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
甲、乙两人参加射击训练，甲每次击中目标的概率都是，乙每次击中目标的概率都是，假设每人每次射击的结果相互独立．
若甲、乙各射击次，求甲击中目标次数等于乙击中目标次数的概率；
若甲、乙各射击次，求甲、乙两人中至少有一人击中目标次的概率．
18.本小题分
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上．
求圆的标准方程；
若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程；
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，，．
证明：平面；
若面，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
若平面平面，，且，，求的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.如图建系，根据已知条件可得：，
因此，，
设平面的法向量为，
因此，令，因此，，
因此，
因此点到平面的距离；
由平面的法向量为，平面的法向量为，
因此平面与平面的夹角的余弦值为：
．
16.解：因为，
直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以由直线方程的点斜式可得直线的方程为，
即直线的方程为；
由，
解得，
可得和的交点坐标为，
取直线：上的点，
设关于对称的点为，
则，解得，
所以直线关于直线对称的直线经过点，，
代入两点式方程得，即，
所以直线：关于直线的对称直线的方程为．
17.设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”．
设为“甲击中目标次数等于乙击中目标次数”，则，与互斥，
所以．
设“甲击中目标次”，“乙击中目标次”．
设“甲、乙两人中至少有一人击中目标次”，“甲、乙两人都未击中目标次”，与互为对立事件，
，
所以．
18.解：已知圆与直线相切于点，圆心在轴上，
由题可知，设圆的方程为，，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，，
所以圆的标准方程为；
若过点的直线与圆交于，两点，当时，
设圆心到直线的距离为，
，，．
当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，
直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，
由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为．
19.证明：在平面中，因为，，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
所以，，又因为，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，所以外心为中点，
故三棱锥外接球球心在过且垂直于平面的直线上，故设，
又因为，所以，
故，所以，
所以，又因为，，
设平面的一个法向量为，
则，于是，
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，于是，
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
同理平面的一个法向量为，
又因为平面平面，
所以，所以，所以，
又因为，，且，
所以，
所以或，
当时，，
当时，，
故．