湖北省荆州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

湖北省荆州市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.设等差数列的公差为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的右焦点为，上顶点为设为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
5.设为坐标原点，点在抛物线：上，若点到的准线的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.从至的个整数中随机取个数，则这个数之和是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
7.记为等比数列的前项和，若，对，设甲：；乙：，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
8.在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，，，所在直线的斜率存在且分别为，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设双曲线：，则( )
A. 的虚轴长为 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为
10.已知样本数据，，，的平均数为，标准差为，标准化公式为，其中为原始值，为标准化后的值，记样本数据，，，的平均数为，标准差为，则( )
A. B. C. D.
11.设等比数列的前项和为，前项积为，公比为，若，，则( )
A. B.
C. 数列无最小项 D. 数列是递减数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机事件，满足，则 ．
13.在正三棱柱中，，点，分别在棱，上，已知，则与平面所成角的正弦值为 ．
14.设双曲线的右焦点为，点，在的右支上，点满足若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
音乐是心灵的甘露，能涤荡尘埃、抚慰灵魂为传递这份美好，某学校“清音杯”歌唱比赛如期举行，记录位参赛者的初赛成绩满分：分由低到高排列如下：
设这组样本数据的第百分位数、中位数、第百分位数分别为，，．
求，，；
已知成绩在区间内的选手称为“潜力选手”，现从这些潜力选手中随机抽取人，求同时抽中潜力选手和潜力选手的概率．
16.本小题分
如图，在平行六面体中，底面为正方形，，，设为的中点．
求的长；
求．
17.本小题分
已知数列的前项积．
求的通项公式；
设，若对任意正整数，恒成立，求的最小值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是正三角形，平面，．
设，求点到平面的距离；
若二面角的正弦值为，求的长．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上异于长轴顶点的动点，且面积的最大值为直线，分别交于点，，的周长为．
求的标准方程；
求证：以，为焦点且经过点的双曲线也经过点；
若点，求的最大值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设这组样本数据的第百分位数、中位数、第百分位数分别为，，，
，故，
，故，
，故；
已知成绩在区间内的选手称为“潜力选手”，
由题意得一共有个潜力选手，
这人记为，，，，，从中抽取个，
样本空间，，，，，，，，，，
记事件“同时抽中潜力选手和潜力选手”，，
则，
故同时抽中潜力选手和潜力选手的概率为．
16.解：，
，
．
由题意得，
则
又，
．
17.解：因为数列的前项积，
所以当时，．
当时，，且时也满足此式．
所以的通项公式为；
因为，，
所以，
则，
即．
因为对任意正整数，恒成立，
所以的最小值为．
18.解：因为平面，所以．
以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过点作轴于点．
在平行四边形中，，，且，．
所以平行四边形为矩形，则，
所以，．
可得．
设平面的法向量，
则，可取，
可得，，
则到平面的距离为；
设，则．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
，
即，
可取．
可得，，，
所以，，
故二面角的正弦值为，
化简得，即或．
且，
可得或．
19.解：设，那么三角形的面积当时，取最大值，因此．
的周长，故．
因此或，相应地，
椭圆的方程为或．
证明：根据椭圆的定义知．
所以．
根据双曲线的定义知，以，为焦点且经过点的双曲线也经过点．
此时的方程为，．
记，那么为．
根据，那么可得，
因此，因此．
同理，记，可得．
因此
．
因此当，即时，取到最大值．