江苏省南通市如皋市2025-2026学年高一（上）期末数学试卷（含答案）

江苏省南通市如皋市2025-2026学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.已知与图象交点的横坐标为，则所在区间是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. 或 D.
7.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 的值域为
D. 的增区间为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的终边经过点，且，则( )
A. B.
C. D.
10.在中，，，与交于点，则( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的奇函数在上为减函数，且为偶函数，则( )
A. 函数的图象关于对称
B.
C. 的解集为
D. 若，且，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ．
13.如图，四边形中，为等边三角形，，，，则 ．
14.记集合中元素个数为已知集合，若，则 ；若，则可能值的集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
当时，求的解集；
求的值域．
16.本小题分
已知，．
求的最大值；
证明：方程有两个不等正根．
17.本小题分
已知是奇函数．
求，的值；
证明：是增函数；
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知和为的两条对称轴，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到的图象．
求的解析式；
若，求的值；
设，若，，使得，求的取值范围．
19.本小题分
设的定义域为，如果，，使得，都有，，那么称为上的“函数”．
判断和是否是“函数”，并说明理由；
已知“函数”，，其中．
当时，求；
当时，求的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：因为，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以的解集为；
令，，
则，，
因为在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以，，
所以的值域为．
16. 解： 因为，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
那么时，取得最大值．
证明：令，
当时，，，方程无解；
当时，，
当时，，，则，
根据零点存在定理，连续函数在上有零点，
又因为在上单调递增，
因此函数在上单调递增，那么函数在上只有一个零点；
同理，当时，，，那么，
根据零点存在定理，连续函数在上有零点，
由于在上单调递减，
那么函数在上单调递减，即在上只有一个零点．
综上所述，函数在时有两个零点，
所以方程有两个不等的正根．
17.解：因为是奇函数，
所以，
所以，
所以，；
证明：由得，，
设，为上任意两个实数，且，则，，
，
所以，即，所以是增函数；
因为是奇函数，，
所以
因为是增函数，所以，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
所以实数的取值范围为．
18.解：因为的最小值为，因此函数为的最小正周期．
因此，因此，
因为，因此，
因为，因此，因此，
因此，因此，
因此．
由题意可得，
因此；
因为，
因此，
．
因此；
由题意得，．
，单调递增，
因此．
当时，，．
当时，，不成立，因此不合题意；
当时，，因此，解得；
当时，，因此，解得．
综上，的取值范围为．
19.解：是“函数”，理由如下：
因为，
即，，使得恒成立，
因此，即是“函数”；
不是“函数”，理由如下：
假设是“函数”，而，则存在正数，使得，
取，则，矛盾，
因此不是“函数”；
当时，在上单调递增，
因此，，
因此；
若，则在上单调递增，
因此，解得；
若，则在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，，
，因此，解得；
若，则在上单调递增，
，而，，
故，解得．
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