山东省聊城市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

山东省聊城市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
3.记正项等比数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若直线：，：互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，则满足的最大整数为( )
A. B. C. D.
6.焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，三棱柱的所有棱长都为，且，，，分别为，，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.设、是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次向上的点数是”，事件“第二次向上的点数是”，事件“两次向上的点数之和是”，则( )
A. B. 事件与事件互斥
C. D. 事件与事件相互独立
10.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，则( )
A. 抛物线的准线方程
B. 若直线过点，则的值可能为
C. 若线段的中点的横坐标为，则
D. 若以点和点为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则该椭圆的长轴长的最小值为
11.如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形为坐标原点的边长为，数列的前项的和为，则( )
A.
B. 数列是等差数列
C. 数列的前项的和为
D. 若，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联副，则腊月廿七产出的春联为 副
13.如图，在长方体中，，，，点，分别在，上，且，则平面与平面夹角的余弦值为 ．
14.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，即椭圆上任意点的切线与两焦半径所成的夹角相等椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点且垂直的直线交椭圆的长轴于点若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点与点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若圆上恰有三个点到直线：的距离为，求直线的方程．
16.本小题分
某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会抽奖时，从装有个红球，个绿球每个球大小和质地相同的抽奖箱中，每次随机摸取个球若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖每人每次抽球互不影响．
求顾客获得一等奖的概率；
现有名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率．
17.本小题分
已知数列满足，且，数列满足．
求证：为等比数列；
求数列的前项和．
18.本小题分
椭圆经过点，其焦距为，直线与椭圆相交于，两点，为椭圆上的一动点．
求椭圆的方程；
当直线经过点时，求面积的最大值；
设直线，分别交轴于点，，判断与大小关系，并给出证明．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，．
求证：平面平面；
当与平面所成的角最大时，
求证：；
若，在线段上取点，，，满足，，设为棱锥的体积，求数列的前项和．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设圆心为，半径为，由题意得，即，
根据，可得，
解得，所以，半径，
所以圆的标准方程为；
根据圆的半径，可知若圆上恰有三个点到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，
根据的方程：，可得，解得或，
所以直线的方程为或，即或．
16.解：设事件为“顾客获得一等奖”，
则；
由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为，
设名顾客中获奖的人数为，则，
则，
，
所以．
17.解：证明：由数列满足，且，
可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
，
所以，
所以，
所以数列的通项公式为，
，
可得，
两式作差得
，
所以．
18.解：因为椭圆经过点，其焦距为，
所以，，
又，
所以，．
则椭圆的方程为；
因为直线经过点，
所以，
解得，
即，
所以
过点作直线的平行线，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
因为到直线的距离等于直线与直线间的距离，
所以，
所以，
即面积的最大值为；
证明：联立，消去并整理得，
此时，
解得，
设，，
由韦达定理得，
此时，
所以，
因为，
，
所以，
此时所以的分子
，
所以，
即，
则．
故．
19. 证明：连接 ，取中点，连接 、，
因为，，
所以，，且，
因为，所以，且，
又，则，所以，
又，，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
证明：以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建系如图：
则，
设，则，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，，
令，则，
由柯西不等式可得，
当且仅当时取等号，所以，
所以，
所以；
因为，又则，
则，解得：，
由于，解得：，
可得，则，
满足，即与重合；
满足，，
则，
，
由于，
所以到的距离，
棱锥的体积，
其中，，
又，
所以，
所以棱锥的体积，
所以数列前项和为：
．