冀教版（2024）八年级下册 20.4 一次函数的应用 题型专练
【题型1】建立一次函数模型解决销售利润问题
【典例】在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（ ）
A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
【强化训练1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（ ）
A.63 B.59 C.53 D.43
【强化训练2】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A.42000元 B.46200元 C.52500元 D.63000元
【强化训练3】某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表：
当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元．
【强化训练4】马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
【强化训练5】某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元．
(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？
(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【强化训练6】航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共100套．已知这两种模型的进价与售价如表所示：
若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润．
【题型2】从函数图象获取信息解决单一函数问题
【典例】杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，AB之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A.在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大
B.未挂重物时，AB之间的距离l为3cm
C.当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为4.5kg
D.在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm
【强化训练1】某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（ ）
A.17000元 B.18000元 C.19000元 D.20000元
【强化训练2】某超市以每千克8元的价格购进苹果销售，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价2元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，则该超市这次销售苹果盈利了 _______元．
【强化训练3】科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数解析式是p＝kt+b，其图象如图所示．当压强为170千帕时，则上述气体的温度是 _______℃．
【强化训练4】节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升．
【强化训练5】“千里游学，古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以90km/h的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离y（km）与行驶时间x（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）出发多久后，小苏与小李在途中相遇？
【题型3】从函数图象获取信息解决行程问题
【典例】甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中直线，分别表示两车离开A地的距离y（）与行驶时间t（）之间的函数关系．现有以下四个结论：①表示甲车，表示乙车；②乙车出发后追上甲车；③两车相距的时间只有甲车出发的时候；④若两地相距，则乙车先到达B地．其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
【强化训练1】为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（ ）
A.80秒 B.105秒 C.120秒 D.150秒
【强化训练2】小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m．
【强化训练3】某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：
(1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________；
(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？冀教版（2024）八年级下册 20.4 一次函数的应用 题型专练（参考答案）
【题型1】建立一次函数模型解决销售利润问题
【典例】在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，若购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨单价应该是（ ）
A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
【答案】C
【解析】设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得
，
解得：，
解析式为：y＝－10x＋9000.
当y＝400时，
400＝－10x＋9000，
.
故答案为：C.
【强化训练1】在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（ ）
A.63 B.59 C.53 D.43
【答案】D
【解析】设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b，
将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：，
解得，
∴y＝﹣x+180，
将x＝137代入可得y＝43，
故选：D．
【强化训练2】某电脑公司经营A，B两种台式电脑，分析过去的销售记录可以知道：每台A型电脑可盈利200元，每台B型电脑可盈利300元；在同一时期内，A型电脑的销售量不小于B型电脑销售量的4倍．已知该公司在同一时期内销售这两种电脑共210台，则该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是（ ）
A.42000元 B.46200元 C.52500元 D.63000元
【答案】B
【解析】设该公司在这一时期内销售获得的利润是W元，销售A型电脑x台，则销售B型电脑台，
根据题意得：，
解得：，
∵，，
∴随的增大而减小，
∴当时，W取最大值，最大值为（元），
答：该公司在这一时期内销售这两种电脑能获得的最大利润是46200元．
故选：B．
【强化训练3】某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表：
当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需 元．
【答案】70
【解析】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：，
将，代入得：
，
解得：，
故：，
当代入得：
，
解得：，
即：1吨水的买入价为7元，
则买入10吨水共需元．
故答案为：70．
【强化训练4】马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．
【答案】6000
【解析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：，
设该公司获得利润为y元，依题意得：
，
即，
∵，y随着m的增大而增大，
∴当时，y取最大值，此时（元），
答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．
故答案为：6000．
【强化训练5】某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元． 若购进甲种钢笔支，乙种钢笔支，需要元．
(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？
(2)若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的7倍，那么该文具店共有几种进货方案？
(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设购进甲种笔需x元/支，乙种笔需y元/支，
依题意，得：，
解得.
答：购进甲种笔需5元/支，乙种笔需元/支.
（2）解：设购进甲种笔a支，则购进乙种笔 支，
依题意得：，
解得： .
∵为整数，
∴a可被2整除，
∴
∴文具店共有3种进货方案.
（3）解：获利，
∵随着的增大而增大，
∴当时，W取得最大值为元.
此时
∴当购甲种笔支，乙种笔支时，利润最大为元
【强化训练6】航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国航天事业的飞速发展引发了航空航天模型的热销，某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型共100套．已知这两种模型的进价与售价如表所示：
若购进“神舟”模型的套数不少于“天宫”模型套数的4倍，求销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润．
【答案】解：设购进“神舟”模型套，销售完这两种模型所获得的利润为元，
根据题意，购进“天宫”模型套，则．
根据题意，得，解得．
，
随的增大而减小，
当时，值最大，．
答：销售完这两种模型该航模店所获得的最大利润是420元．
【题型2】从函数图象获取信息解决单一函数问题
【典例】杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，AB之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A.在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大
B.未挂重物时，AB之间的距离l为3cm
C.当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为4.5kg
D.在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm
【答案】C
【解析】根据题意，在量程范围内，质量m越大，AB之间的距离l越大，故A错误，不符合题意；
由图2可知，未挂重物时，AB之间的距离l为3cm，故B正确，不符合题意；
由图2可知，当AB之间的距离l为15cm时，重物质量m为6kg，故C错误，不符合题意；
∵l＝km+3，
∴5＝k+3，
∴k＝2，
∴l＝2m+3，
∴在量程范围内，重物质量m每增加1kg，AB之间的距离l增加2cm，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【强化训练1】某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系（如图），由图中给出的信息可知，营销人员月销售3万件的收入是（ ）
A.17000元 B.18000元 C.19000元 D.20000元
【答案】C
【解析】设收入与销售量之间的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得，，
即收入与销售量之间的函数关系式为y＝5000x+4000，
当x＝3时，y＝5000×3+4000＝19000，
故选：C．
【强化训练2】某超市以每千克8元的价格购进苹果销售，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价2元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，则该超市这次销售苹果盈利了 _______元．
【答案】2700．
【解析】8800÷800＝11（元），
∵余下的苹果每千克降价2元销售，
∴后来出售的西瓜重量：（11500﹣8800）÷（11﹣2）＝300 （千克），
∴所有进货的总重量：800+300＝1100（千克），
∴进货总进价：1100×8＝8800（元），
∴11500﹣8800＝2700（元）．
∴该超市这次销售苹果盈利了2700元．
故答案为：2700．
【强化训练3】科学家发现：一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强p（千帕）随温度t（℃）变化的函数解析式是p＝kt+b，其图象如图所示．当压强为170千帕时，则上述气体的温度是 _______℃．
【答案】150．
【解析】函数p＝kt+b的图象过点（0，110），（25，120），
可得，
解得，
所求的函数关系式是pt+110（t≥0），
当p＝170时，t+110＝170，
解得t＝150，
即当压强为170千帕时，气体的温度是150℃．
故答案为：150．
【强化训练4】节约用水是我们的美德，水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w（L）与滴水时间t（h）的函数关系可以用显示水量的容器如图1的试验，并根据试验数据绘制出如图2的函数图象，结合图象解答下列问题：
（1）求w与t之间的函数关系式；
（2）计算在这种滴水状态下，一天（24小时）容器内的盛水量是多少升．
【答案】解：（1）由图象可知w与t之间是一次函数关系，
∴设w与t之间的函数关系式为w＝kt+b，
将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，
得：，
解得：，
∴w与t之间的函数关系式为w＝0.4t+0.3；
（2）由关系式可知，每小时滴水量为0.4L，
∴当t＝24时，w＝0.4×24+0.3＝9.9（L），
即在这种滴水状态下一天的盛水量是9.9升．
【强化训练5】“千里游学，古已有之”，为传承红色基因，激发学生的爱国热情，提高学生的社会责任感，小苏和小李两家周末带孩子前往某爱国主义教育基地进行参观．已知小苏家、小李家和爱国主义教育基地在同一条笔直的道路上，如图．小苏和家人从家出发，开车以90km/h的速度前往爱国主义教育基地，同时，小李和家人骑自行车从家出发，匀速前往爱国主义教育基地，小李到小苏家的距离y（km）与行驶时间x（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）出发多久后，小苏与小李在途中相遇？
【答案】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
把（0，30），（1，60）代入
得：，
解得，
∴y与x之间的函数解析式为y＝30x+30；
（2）由图可得，小苏和小李家相距30km，
根据题意得：90x＝30x+30，
解得x＝0.5．
答：出发0.5小时后，小苏与小李在途中相遇．
【题型3】从函数图象获取信息解决行程问题
【典例】甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中直线，分别表示两车离开A地的距离y（）与行驶时间t（）之间的函数关系．现有以下四个结论：①表示甲车，表示乙车；②乙车出发后追上甲车；③两车相距的时间只有甲车出发的时候；④若两地相距，则乙车先到达B地．其中正确的是（ ）
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
【答案】D
【解析】由题意得：表示的甲车、表示的乙车，则结论①正确；
由与x轴的交点可知，甲车比乙车早出发2小时，
甲车的速度为，
乙车的速度为，
设乙车出发a小时后追上甲车，
则，
解得，
即乙车出发4小时后追上甲车，结论②正确；
甲车出发11小时时，甲车行驶的路程为，
乙车行驶的路程为，
则此时两车相距为，
假如乙先到达目的地时且行驶时间超过11个小时，则当乙停止后，若甲继续行驶，还可能存在一个时刻，两人相距，
故结论③错误；
若两地相距，甲车到达B地时，，
乙车到达B地时，，
因为，
所以乙车先到达地，结论④正确；
综上，正确的是①②④，
故选：D．
【强化训练1】为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练．在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内400米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点．所跑的路程s（米）与所用的时间t（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第（ ）
A.80秒 B.105秒 C.120秒 D.150秒
【答案】C
【解析】设直线的解析式为，
把点代入中，得，
解得，
故直线的解析式为，
设线段的解析式为，
由题意得，
解得，
线段的解析式为，
当时，，
解得，
则她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒．
故选：C．
【强化训练2】小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离与出发时间之间的函数关系如图所示．当两人相遇时，他们到甲地的距离为 m．
【答案】
【解析】设小丽离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
∴．
设小华离甲地的距离与出发时间之间的函数关系式为，
将和代入得，
解得，
∴．
当时，，
解得，
∴，
∴两人相遇时，他们到甲地的距离是，
故答案为：．
【强化训练3】某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：
(1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________；
(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？
(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？
【答案】（1）解：由图象可得：学校到景点的路程为，大客车途中停留了，
小轿车的速度：，
，
故答案为：40，5，15；
（2）解：由（1）得：，
得大客车的速度：，
小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：，
，
答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有；
（3）解：，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：，
小轿车司机折返时的速度：，
小轿车折返时已经超速；
