2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第三章 函数 专题七 二次函数的实际应用（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第三章 函数
专题七 二次函数的实际应用
命题点1 利润最值问题
1．（2023·山西晋中·模拟预测）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想
2．（2023·山西太原·二模）宁化府是山西太原百年老店，其酿造的醋深受人们的喜爱．春节前夕某款礼盒装食醋的成本为20元，当以每盒30元销售时，平均每天可卖出800盒．经市场调查发现，若一盒的售价每降低1元，则平均每天可多售出200盒．求每盒售价为多少元时，该款礼盒每天的销售利润最大，并求出最大利润．
3．（2024·山西太原·模拟预测）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
4．（2025·山西太原·模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
命题点2 几何图形面积问题
1．（2024·山西运城·三模）阅读与思考
下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日星期六“用函数思想解决生活中的实际问题”爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题．如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大．
(1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________
(2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围．
(3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可）
2．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：．并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：．电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．
2．根据电路图连接实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
(1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大．
(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．
(3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．
②在①的条件下，电流表A的值为___________
3．（2025数学长治中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
4．（2023·山西太原·二模）太原的五月是月季的狂欢，滨河路上月季花扮靓道路两侧，形成了“绿染龙城，花满并州”的景观效果．市林业局将如图所示的一块长80米，宽40米的矩形空地分成五块小矩形区域，建成月季花种植基地．一块正方形区域为育苗区，一块矩形区域为存储区，其它区域分别种植风花月季，藤本月季和树桩月季．已知存储区的一边与育苗区的宽相等，另一边长为20米，风花月季、藤本月季和树桩月季每年每平方米的产值分别为200元、300元和400元．

(1)如果风花月季与藤本月季每年的产值相等，求育苗区的边长；
(2)如果风花月季种植面积与育苗区面积的差不超过2120平方米，求这三种月季花每年总产值的最大值．
命题点3抛物线型问题
1．（2024·山西·中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A． B． C． D．
2．（2023·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（ ）
A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米
4．（2023·山西·中考真题）如图是一座抛物线型拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE长为 m.
5．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 3 3 …
(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N．
①求标杆的最大高度；
②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，小明与小刚在进行篮球的传球训练，小明在点处，小刚在点处，两人相距6米，小明给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．小明投出篮球时，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小明的水平距离为，离地的高度为，函数图象如图2所示，其中抛物线上点的坐标为，顶点的坐标为．（水平距离水平速度×时间）
【问题解决】
（1）求图2中抛物线的函数表达式．
【问题探究】
（2）小刚在小明传球的瞬间就做出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地面的高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．
①若小刚选择面对篮球后退，且小刚面对篮球后退过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米，请问小刚能否接球成功？请判断，并说明理由．
②若小刚侧对篮球向正前方前进并接球成功，且小刚侧对篮球向正前方前进过程中的速度为米/秒，请直接写出小刚侧对篮球时的最小接球高度．
7．（2025·山西临汾·一模）学科实践
驱动任务：
“天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究．
研究步骤：
（1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面．
（2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道．
问题解决：
（1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式．
（2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到）
1．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
2．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
3．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
4．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
5．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
2．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
3．请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
1．综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
2．为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度（的长）为；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第三章 函数
专题七 二次函数的实际应用（解析版）
命题点1 利润最值问题
1．（2023·山西晋中·模拟预测）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式进行解答．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质求最值体现了函数思想．
【详解】解：根据二次函数的性质求最值体现了函数思想，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求最值，这种方法是函数思想的运用．
2．（2023·山西太原·二模）宁化府是山西太原百年老店，其酿造的醋深受人们的喜爱．春节前夕某款礼盒装食醋的成本为20元，当以每盒30元销售时，平均每天可卖出800盒．经市场调查发现，若一盒的售价每降低1元，则平均每天可多售出200盒．求每盒售价为多少元时，该款礼盒每天的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】当每盒的售价为27元时，该款礼盒每天的销售利润最大，最大利润是9800元
【分析】设每盒降价x元，该款礼盒每天的销售利润为y元，根据销售利润的等量关系列出y关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设每盒降价x元，该款礼盒每天的销售利润为y元，
由题意得，
整理得：，
∵，
∴当时，y取最大值9800，
∴（元），
答：当每盒的售价为27元时，该款礼盒每天的销售利润最大，最大利润是9800元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题的关键．
3．（2024·山西太原·模拟预测）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；（2）每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【分析】（1）设每件商品应降价x元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x的方程，解之可得答案；
（2）设每件商品应降价 y元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w关于y的函数关系式，再利用函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元．
由题意，得．
整理得，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5．
∵要有利于减少库存，
∴取x＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
（2）设每件商品应降价y元，获得利润为w元，
由题意得，
w＝
＝﹣8y2+32y+480
＝﹣8（y﹣2）2+512．
∴w是关于y的二次函数，且开口向下．
∴当y＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38．
答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，熟知销售问题中的等量关系是解题的基础；掌握一元二次方程的解法和二次函数的性质是解题的关键．
4．（2025·山西太原·模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶套
(2)售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大
【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据题意，列出方程，即可；
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，
∵，
∴，
∴，
解得：，
答：该超市定制了这款垃圾桶套．
（2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，
∴，
，
∵且，
∴当时，有最大值，
答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．
【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．
命题点2 几何图形面积问题
1．（2024·山西运城·三模）阅读与思考
下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日星期六“用函数思想解决生活中的实际问题”爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题．如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大．
(1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________
(2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围．
(3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可）
【答案】(1)5；2000
(2)，
(3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等
【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键．
（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据题意先得出底面边长，再解答即可；
（3）根据题意结合数学观点解答即可．
【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为；
（2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形，
，；
（3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等．
2．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长（单位：m）的变化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：．并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：．电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．
2．根据电路图连接实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
(1)在素材1中，当___________m时，场地的面积最大．
(2)推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．
(3)①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．
②在①的条件下，电流表A的值为___________
【答案】(1)15
(2)和的积最大，理由见解析
(3)①当时，有最大值，此时最大值为；②2
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
（1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案；
（2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案；
（3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设结合二次函数的性质即可获得答案．
【详解】（1）（1）根据题意，矩形一边，则另一边长为，所以，，所以，当，场地的面积S最大，最大为225平方米；
故答案为：15．
所以取50或51时，最大为2550；
（2）（2）和的积最大，理由如下：设其中一个因数为，则另一个因数为，则（，且为正整数），对称轴为，因为是正整数，且，所以取50或51时，最大为2550．
（3）（3）设，则，，设总电流为，则，
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设
，则抛物线开口向下，且，
当时，取最大值为25，此时取最小值为A，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
3．（2025数学长治中考模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；（2）的面积的最大值为，．（3）的坐标为或．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PE∥y轴交AD于点E．设P（m，-m2+m+3），则E（m，m+1）．因为S△PAD= （xD-xA） PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可．
（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（-5，6），设DT交y轴于点Q，则∠ADQ=45°，作点T关于AD的对称点T′（1，-6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
解得，，或，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．
，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，
设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．
4．（2023·山西太原·二模）太原的五月是月季的狂欢，滨河路上月季花扮靓道路两侧，形成了“绿染龙城，花满并州”的景观效果．市林业局将如图所示的一块长80米，宽40米的矩形空地分成五块小矩形区域，建成月季花种植基地．一块正方形区域为育苗区，一块矩形区域为存储区，其它区域分别种植风花月季，藤本月季和树桩月季．已知存储区的一边与育苗区的宽相等，另一边长为20米，风花月季、藤本月季和树桩月季每年每平方米的产值分别为200元、300元和400元．

(1)如果风花月季与藤本月季每年的产值相等，求育苗区的边长；
(2)如果风花月季种植面积与育苗区面积的差不超过2120平方米，求这三种月季花每年总产值的最大值．
【答案】(1)育苗区的边长为20米
(2)这三种月季花每年总产值的最大值为690000元
【分析】(1)根据风花月季与藤本月季两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
(2)先根据风花月季种植面积与育苗区面积的差不超过建立不等式，得到，再设这三种花卉的总产值之和y元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【详解】（1）设育苗区的边长为x米
根据题意，得
解方程得，（舍去）
答：育苗区的边长为20米
（2）根据题意，得
解不等式得
设这三种月季花每年总产值为y元
根据题意，得
即
∵，
∴当时，y最大，最大值为690000
答：这三种月季花每年总产值的最大值为690000元
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
命题点3抛物线型问题
1．（2024·山西·中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
2．（2023·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（ ）
A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可．
【详解】解：∵水面宽米，
∴点的横坐标为，
∴，
当水位上升2.7米后，，
令，则，
解得，，
∴水面宽等于，
故选：A．
4．（2023·山西·中考真题）如图是一座抛物线型拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为拱桥底部两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE长为 m.
【答案】48
【详解】如图，以点C为原点建立平面直角坐标系，
依题意，得B（18，－9），
设抛物线解析式为：，将B点坐标代入，得．
∴抛物线解析式为：．
依题意，得D、E点纵坐标为y＝－16，代入，得
，解得：x＝±24．
∴D点横坐标为－24，E点横坐标为24．
∴DE的长为48m．
5．（2025·山西临汾·三模）综合与实践
如图，这是一个直角三角形斜坡截面，，，，坡面上有一根标杆（标杆粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点B不重合，），现在斜坡点A处安装一个喷水管（高度忽略不计），喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离x（单位：m）与水流的高度y（单位：m）的变化规律如表：
x 0 1 2 3 4 …
y 3 3 …
(1)求该抛物线的解析式，并写出其顶点坐标．
(2)若喷水管喷出的水流恰好经过标杆的顶部点N．
①求标杆的最大高度；
②若点A到M，N两点的距离相等，求点N的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)①的最大值为；②点的坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线，则该抛物线的顶点坐标为，故可设该抛物线的解析式为，再将点代入得，解得，进而可以判断得解；
（2）①依据题意，设直线的解析式为，又将，代入得，可得直线的解析式为，又设点的坐标为，则的坐标为，故，进而可以判断得解；
②依据题意，过点作于点，连接，又设，则点的坐标为，由得为中点，即，又，则，可得，然后将点的坐标代入抛物线的解析式得，求出后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意可得该抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的解析式为．
将点代入得，解得，
该抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：①设直线的解析式为．
将，代入得解得
即直线的解析式为．
设，则，
，
当时，的最大值为．
②如图，过点作于点，连接，设，则．
由得为中点，即．
，
，即．
将点坐标代入抛物线解析式得，
整理方程得，
解得（舍去），，
故点的坐标为．
6．（2025·山西吕梁·二模）综合与实践
【问题情境】如图1，小明与小刚在进行篮球的传球训练，小明在点处，小刚在点处，两人相距6米，小明给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．小明投出篮球时，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小明的水平距离为，离地的高度为，函数图象如图2所示，其中抛物线上点的坐标为，顶点的坐标为．（水平距离水平速度×时间）
【问题解决】
（1）求图2中抛物线的函数表达式．
【问题探究】
（2）小刚在小明传球的瞬间就做出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地面的高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．
①若小刚选择面对篮球后退，且小刚面对篮球后退过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米，请问小刚能否接球成功？请判断，并说明理由．
②若小刚侧对篮球向正前方前进并接球成功，且小刚侧对篮球向正前方前进过程中的速度为米/秒，请直接写出小刚侧对篮球时的最小接球高度．
【答案】（1）；（2）①不能接球成功，理由见解析； ②米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①设秒时，篮球位于小刚的正上方，则篮球飞行的水平距离为，解得，当时，，即可得出答案；
②设秒时，篮球位于小刚的正上方，根据题意得，解得，当时，，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）①不能接球成功．理由如下：
设秒时，篮球位于小刚的正上方，
∴篮球飞行的水平距离为，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴小刚选择面对篮球后退不能接球成功；
②设秒时，篮球位于小刚的正上方，
根据题意，得，
解得：，
∴，
∴，
∴小刚侧对篮球时的最小接球高度为米．
7．（2025·山西临汾·一模）学科实践
驱动任务：
“天下九塞，雁门为首”，雁门关隧道是大同至运城高速公路的咽喉要道，它的开通是我国高速公路隧道建设史上的壮举．某校数学研习小组就隧道通行情况展开探究．
研究步骤：
（1）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，雁门关隧道宽，隧道壁高，隧道最高点位于的中央且距地面．
（2）研习小组了解到为了防止碰撞，保障行车安全，隧道内路面两侧各预留的立道牙，该隧道为单向双车道．
问题解决：
（1）以线段所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式．
（2）交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求通过隧道的车辆应限制高度为多少米？（结果精确到）
【答案】（1）所求抛物线的表达式为；（2）通过隧道的车辆应限制高度为．
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意，建立平面直角坐标系．设所求抛物线的表达式为．根据题意可得．得出点的坐标为，点的坐标为．再根据待定系数法即可求出抛物线的表达式．
（2）分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．由题可知，，求出点G，H的坐标分别为．再根据该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系．
设所求抛物线的表达式为．
根据题意可得．
点的坐标为，点的坐标为．
将点的坐标分别代入．得，
解得，
所求抛物线的表达式为．
（2）解：如图，分别过隧道内路面两侧立道牙的边缘E，F作轴的垂线，，垂足为E，F，交抛物线于点H，G．
由题可知，，
点G，H的横坐标分别为．
当时，．
点G，H的坐标分别为．
该隧道为单向双车道，且交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，
．
答：通过隧道的车辆应限制高度为．
1．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识，
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
，
解得，
所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到的距离均为，
当时，，
，
这两条灯带的总长为．
2．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
3．综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一 方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
4．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）代入点，得到二元一次方程组求解即可；
（2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解；
（3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可．
【详解】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）解：由题意得，当时，，
∴，
∴击球点位置为，
将代入，
则，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
解得：，
故答案为：．
5．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可；
（3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
1．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二次函数的解析式．
根据抛物线型拱门的跨度，拱高，可得：，，所以方案一中抛物线的顶点，可以设抛物线的函数表达式为，把原点的坐标代入解析式，得到关于的方程，解方程求出的值即可；
令，可得一元二次方程：，解方程求出的两个值即为点、的横坐标，根据两点的横坐标求出线段的长度，根据矩形的面积求出的值，再与比较大小即可．
【详解】（1）解：由题意知：，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，令，
可得：，
解得：或，
，
，
，
．
2．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】(1)；
(2)的长为．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
3．请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当时，获得最大利润，
，
∴，
∵开口向下，
∴取或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
1．综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】(1)见解析
(2)售价每涨价2元，日销售量少卖4盆
(3)①定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；②售价定为元时，每天能够获得最大利润
【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；
（2）根据表格数据，进行求解即可；
（3）①设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
②设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）①设：定价应为元，由题意，得：
，
整理得：，
解得：，
∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键．
2．为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度（的长）为；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】(1)
(2)这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
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