2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第四章 三角形 专题一 线段、角、相交线与平行线（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题一 线段、角、相交线与平行线
命题点1 线段、直线
1．（2025山西运城中考模拟）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法．
如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线．
这样作的理由是（ ）
①等腰三角形的三线合一
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
③两点确定一条直线
④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A．① B．②③ C．③④ D．④
3．（2024·山西太原·模拟预测）已知线段、、．

(1)用直尺和圆规作出一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若，，，点是线段的中点，求的长．
4．（2023·山西忻州·模拟预测）已知：如图，已知线段、，请你用直尺和圆规作一条线段，使它等于．
命题点2 相交线、角、角平分线
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025山西晋中模拟）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·山西太原模拟）和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ）

A． B． C． D．
6．（2025·山西运城·模拟预测）哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面上出现了一群海妖正朝着陈塘关袭来．假设陈塘关的城墙是一条直线，哪吒此时在点处，他要尽快赶到城墙上的某一点去查看海妖下一步的动向．如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段，理由是 ．
7．（2025·山西临汾·一模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
方法如下：
一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法．
第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为的平分线．第一小组证明过程如下：
连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分．
第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下：
由作图可知：，，又，∴，
，……
完成下列任务：
(1)第一小组证明过程中的“依据”是指______，
(2)将第二小组的证明过程补充完整．
命题点3平行线
1．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
3．（2025山西·中考真题）如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．35° B．70° C．110° D．120°
4．（2024山西·中考真题）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为
命题点4 命题、定理
1．（2025·山西忻州·一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．菱形的对角线相等
C．等边三角形是中心对称图形 D．命题一定有逆命题
2．（2023·山西朔州·模拟预测）已知命题“同圆中，相等角所对的弦相等”，在如图所示的图形中找出一个反例，可以判断该命题错误的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·山西太原·模拟预测）下列命题
①经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
③经过三个点一定可以作圆
④方程的解是
⑤两边成比例的两个三角形相似
其中正确的命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2023·山西太原·模拟预测）已知下列命题：①若，则；②若，则；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题为真命题，逆命题为假命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（　　）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
6．（2024·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，内错角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
1．将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）．
A． B． C． D．
4．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．的平方根是．
B．对某学校班的男生米跑步情况的调查适合采用全面调查（普查）方式．
C． 的俯视图是．
D．在函数中，当时，的取值范围是．
7．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ．
8．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母）
9．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为 ．
10．如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长．
1．如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
(1)从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
(2)选择其中的一个真命题进行证明．
2．点如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的
端点均为格点(网格线的交点)
(1)画出线段关于直线对称的线段(点A，B的对应点分别为，)；
(2)将线段先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段(点A，B的对应点分别为，)，画出线段；
(3)描出线段上的点P，使得，此时的值为_______．
3．如图，A、、是数轴上从左到右的三个点，分别对应着数、、，且．
(1)如果原点是线段的中点，请先直接写出点A、、分别对应的数，再求代数式的值；
(2)如果且，请写出原点在哪条线段上，再求的取值范围．
4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，点是边上一点，在线段上画一点，使得；
(2)在（1）的基础上，将平移到，画出线段．
(3)在图（2）中，平行四边形对角线的交点为，在上画一点，使得，连接；
(4)在（3）的基础上，将绕着点顺时针旋转的度数得到线段，点与点对应，点与点对应，画出线段．
1．如图，把弯曲河道改直，能够缩短航程．这样做的根据是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段
2．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ．
4．命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”）
5．有下面三个语句：
①是的半径；②；③直线切于点．
以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ．
6．如图，已知点是线段上一点，，，分别是，的中点，，求线段的长．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题一 线段、角、相交线与平行线（解析版）
命题点1 线段、直线
1．（2025山西运城中考模拟）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合；
B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无关，故选项不符合；
C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选项不符合；
D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项符合．
故选：D．
2．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法．
如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线．
这样作的理由是（ ）
①等腰三角形的三线合一
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
③两点确定一条直线
④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
A．① B．②③ C．③④ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
依题意，，
即都在的垂直平分线上，
∴两点所在直线即为的垂直平分线，
∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线
故选：C
3．（2024·山西太原·模拟预测）已知线段、、．

(1)用直尺和圆规作出一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若，，，点是线段的中点，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取，则线段即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得的长，再利用线段中点的性质即可解得的长．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求：

（2）如图，
，，，
点是线段的中点，
即的长．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．（2023·山西忻州·模拟预测）已知：如图，已知线段、，请你用直尺和圆规作一条线段，使它等于．
【答案】见解析
【分析】首先画射线，在上依次截取，，线段．
【详解】解：如图：
则线段即为所求．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，关键是掌握点与直线的位置关系，以及线段的和差关系．
命题点2 相交线、角、角平分线
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，利用平行线的性质求角的度数，先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
由题意可得，
∵，，
∴，
故选：B．
2．（2025·山西晋中·三模）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由直角三角形锐角互余以及角平分线得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：C．
3．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在中，．按下列步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及定义，三角形内角和等知识；由作图知，是的平分线，则得，由三角形内角和即可求解．
【详解】解：由作图知，是的平分线，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025山西晋中模拟）如图，两只手的食指和拇指在同一平面内，在以下四种摆放方式中，它们构成的一对角可以看成同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三线八角．熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的定义，是解题的关键．根据同位角，同旁内角，内错角的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、可以看成同旁内角，符合题意；
B、可以看成内错角，不符合题意；
C、不是内错角，不是同位角，不是同旁内角，不符合题意；
D、可以看成同位角，不符合题意；
故选A．
5．（2024·山西太原模拟）和是一副三角板，，，，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点在边上，点在边的延长线上，且，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质．
先根据平行线性质：两直线平行，内错角相等得到，结合对顶角相等和三角形外角等于与它不相邻两个内角的和即可求解．
【详解】解：设、交于，
，
，
，
．
故选：．
6．（2025·山西运城·模拟预测）哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面上出现了一群海妖正朝着陈塘关袭来．假设陈塘关的城墙是一条直线，哪吒此时在点处，他要尽快赶到城墙上的某一点去查看海妖下一步的动向．如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短，根据“垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：哪吒最先到达城墙的路线是线段，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
7．（2025·山西临汾·一模）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．
方法如下：
一、老师让同学们以小组为单位讨论利用尺规作的平分线的方法．
第一小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，即为的平分线．第一小组证明过程如下：
连接，，由作图可知，，又∵，（依据），，平分．
第二小组展示了他们的作法：如图 2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点C、D；再以点O为圆心，任意不等于的长为半径作弧，分别交、于点E、F；连接，，交于点P，作射线，则为的平分线．第二小组证明过程如下：
由作图可知：，，又，∴，
，……
完成下列任务：
(1)第一小组证明过程中的“依据”是指______，
(2)将第二小组的证明过程补充完整．
【答案】(1)SSS（边边边）
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的各种判定方法．
（1）根据三角形的判定方法即可得到答案；
（2）要想证明是角平分线需要根据角平分线的定义去证明，根据证明题目过程已经由边角边证明一次全等，得到，再根据角角边证明，得，最后根据边边边证明三角形全等，即可得到答案．
【详解】（1）解： 由题意可知答案为：SSS（边边边）
（2）证明：由作图可知：，，又，
∴，
∴，
∵
∴，又，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∴平分．
命题点3平行线
1．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
2．（2024·山西·中考真题）如图，是一块直角三角板，其中．直尺的一边DE经过顶点A，若，则的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角的和差即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．（2025山西·中考真题）如图所示，∠AOB的两边．OA、OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（ ）
A．35° B．70° C．110° D．120°
【答案】B
【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CDOB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选∶B．
4．（2024山西·中考真题）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为
【答案】3-
【详解】试题分析：由勾股定理求出DA，由平行得出，由角平分得出从而得出，所以HE=HA．再利用△DGH∽△DCA即可求出HE，从而求出HG
如图（1）由勾股定理可得DA=
由 AE是的平分线可知由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四边形GEBC为矩形，∴HE∥AB，∴∴故EH=HA 设EH=HA=x 则GH=x-2，DH=
∵HE∥AC ∴△DGH∽△DCA∴即解得x=故HG=EH-EG=-2=
考点：（1）勾股定理；（2）相似；（3）平行线的性质；（4）角平分线
命题点4 命题、定理
1．（2025·山西忻州·一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．菱形的对角线相等
C．等边三角形是中心对称图形 D．命题一定有逆命题
【答案】D
【分析】本题主要考查了真假命题的判断，
根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题解答即可.
【详解】解：因为“两直线平行，内错角相等”，所以A是假命题；
因为“菱形的对角线互相垂直，且平分”，所以B是假命题；
因为等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以C是假命题；
因为命题一定有逆命题，所以D是真命题.
故选：D.
2．（2023·山西朔州·模拟预测）已知命题“同圆中，相等角所对的弦相等”，在如图所示的图形中找出一个反例，可以判断该命题错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角的定义、圆周角定理判断即可．
【详解】解：A、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
B、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
C、当时，，不能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项不符合题意；
D、当时，，能判断命题“同圆中，相等角所对的弦相等”是假命题，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，圆周角定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．（2023·山西太原·模拟预测）下列命题
①经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
③经过三个点一定可以作圆
④方程的解是
⑤两边成比例的两个三角形相似
其中正确的命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】利用圆的切线的性质、三角形的外心的定义、确定圆的方法、一元二次方程的解及相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】①经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，正确；
②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确；
③经过不在同一直线上的三个点的一定可以作圆，故错误；
④方程的解是或，故错误；
⑤三边成比例的两个三角形相似，故错误，
正确的命题有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的切线的性质、三角形的外心的定义、确定圆的方法、一元二次方程的解及相似三角形的判定方法，难度不大．
4．（2023·山西太原·模拟预测）已知下列命题：①若，则；②若，则；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题为真命题，逆命题为假命题的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据真命题和假命题的定义，分析出各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①若，则，逆命题为：若，则，原命题为真命题，逆命题为真命题，故本选项不符合题意；
②若，则，逆命题为：若，则，原命题为真命题，逆命题为假命题，故本选项符合题意；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，逆命题为：平行四边形的两组对角相等，原命题为真命题，逆命题为真命题，故本选项不符合题意；
④垂直于弦的直径平分弦，逆命题为：平分弦的直径垂直于弦，原命题为真命题，逆命题为假命题，故本选项符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了命题与定理；主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，关键是要熟悉有关的性质定理．
5．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（　　）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
【答案】D
【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键．
【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”，
∴本题运用的证明方法是反证法；
故选．
6．（2024·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，内错角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查了反证法，直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
【详解】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
故选：C
1．将量角器和含角的三角板按如图方式摆放，点O、B、C在同一条直线上，是量角器所在圆O的切线，切点为A（点A在量角器上对应的刻度为）．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，四边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键，由切线的性质可得，结合题意可得，，再根据四边形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵是量角器所在圆O的切线，
∴，
∵，，
∴四边形中，．
故选：C．
2．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，三角形的外角，掌握相关的性质是解题的关键，根据平行线的性质，得到，三角形的外角求出的度数即可．
【详解】解：由题意和图可知：，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键．
由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，点在射线上，，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
5．已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②．
【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是上的点，且，
∴都是等腰三角形，
此时满足，但是和不相似，
∴命题①是假命题；
当两个三角形都为锐角三角形时，
如图2所示，中，，中，
，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，
∴；
同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，
综上所述，命题②是真命题；
故选：D．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．的平方根是．
B．对某学校班的男生米跑步情况的调查适合采用全面调查（普查）方式．
C． 的俯视图是．
D．在函数中，当时，的取值范围是．
【答案】D
【分析】本题考查了判断命题的真假，注意判断选项是解决本题的关键．
根据算术平方根和平方根判断选项A，根据抽样调查和全面调查的区别判断选项B，根据三视图即可判断选项C，根据二次函数的性质即可判断D．
【详解】解：A、，16的平方根是，是真命题，不符合题意；
B、调查某学校班的男生米跑步情况，班级人数少适合全面调查（普查）方式，是真命题，不符合题意；
C、该立体图形的俯视图符合描述（有两个矩形，中间含虚线表示隐藏棱），是真命题，不符合题意；
D、∵函数中，
∴是开口向上的抛物线，顶点在原点（时，），
∴当时，时，y的最小值为0；
当时；
当时；
∴y的取值范围是，不是“”，
∴该选项是假命题，符合题意．
故选D．
7．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小，
由作图可知，平分，
∵，，即，且，
∴，
∴线段长度的最小值是1，
故答案为：1．
8．如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母）
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解．
【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C，
由对称性可得，，
，
当三点共线时，最短，
点P的位置应选在点C处．
故答案为：C．
9．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由作图可知，平分，得到，由平行线的性质得到，从而得到，则，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，，，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴，，
∴．
1．如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
(1)从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
(2)选择其中的一个真命题进行证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等，熟知正方形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论，命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；命题三证明：导角证明，再证明，即可证明；
（2）同（1）证明即可．
【详解】（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．点如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的
端点均为格点(网格线的交点)
(1)画出线段关于直线对称的线段(点A，B的对应点分别为，)；
(2)将线段先向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到线段(点A，B的对应点分别为，)，画出线段；
(3)描出线段上的点P，使得，此时的值为_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平移，轴对称，勾股定理，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．
（1）找到点A，B关于直线的对称点，连接即可；
（2）将点A，B分别向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，找到对应点位置，连接即可；
(3）连接交于，过作垂线与的交点即为，根据勾股定理计算边长求比值即可．
【详解】（1）线段如图所示．
（2）线段如图所示
（3）点P如图所示，
．
3．如图，A、、是数轴上从左到右的三个点，分别对应着数、、，且．
(1)如果原点是线段的中点，请先直接写出点A、、分别对应的数，再求代数式的值；
(2)如果且，请写出原点在哪条线段上，再求的取值范围．
【答案】(1)，，，
(2)原点在线段上，的取值范围是
【分析】考查数轴基本概念、中点性质、代数式求值和不等式求解．
（1）根据，可求出的值，利用是线段的中点，就可求得、、，即可得出答案；
（2）由，，结合可求得，结合，且，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，，
是线段的中点，
，，，
代入：
，
代数式的值为，
（2）解：由，，
得，，
代入：
，
解得：，
，
，
，
知原点在线段上，
故原点在线段上，的取值范围是．
4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，点是边上一点，在线段上画一点，使得；
(2)在（1）的基础上，将平移到，画出线段．
(3)在图（2）中，平行四边形对角线的交点为，在上画一点，使得，连接；
(4)在（3）的基础上，将绕着点顺时针旋转的度数得到线段，点与点对应，点与点对应，画出线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）延长BE交网格线于点Z，取格点K，连接交于点F，点F即为所求；
（2）线段交网格线于点I，连接，延长交于点G，线段即为所求；
（3）取格点J，连接交于点H，连接，点H即为所求；
（4）取格点M，P，连接交于点N，线段即为所求．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；
理由：如图，连结，，，
∵，，，
∴五边形是轴对称图形，直线就是它的对称轴，
∴将五边形沿直线对折，点与点重合，点与点重合，点在对称轴上，
∴与重合，
∴点与点是对称点，
∴；
（2）如图，线段即为所求；
理由：交过点的网格线于点，连结交的延长线于点，
由对称性可知，，
所以，
所以，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
即将向右平移4个单位得到；
（3）如图，点H即为所求；
理由：连结，，
∵，，
∴，
又四边形是平行四边形，对角线与交于点，
∴，
∴，
∴直线垂直平分，
又点在上，
∴；
（4）如图，线段即为所求．
理由：由图可知，，
又，
，
，
又，，
，，
，
．
绕着点顺时针旋转的度数得到线段，
点与点对应，点与点对应，线段即为所求作．
【点睛】本题考查了平移作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，性质的性质，解题关键是掌握相关知识解决问题．
1．如图，把弯曲河道改直，能够缩短航程．这样做的根据是（ ）
A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点确定一条线段
【答案】B
【分析】本题主要考查两点之间，线段最短，熟练掌握该定理是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解即可．
【详解】解：把弯曲河道改直，能够缩短航程．这样做的根据是两点之间，线段最短；
故选B．
2．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查三角板中的角度计算，根据余角和补角的性质计算出各个角的度数，即可判断．
【详解】解：第1个图中：，，符合；
第2个图中：如图，
，，因此；
第3个图中：，符合；
第4个图中：，，不符合；
综上可知，共有3个图形符合，
故选：B．
3．一副直角三角尺如图摆放，点D在的延长线上，，则的度数是 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查平行线性质，三角尺角度，角度计算等．根据题意可知，再利用平行线性质可得，继而求得本题答案．
【详解】解：∵一副直角三角尺，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
5．有下面三个语句：
①是的半径；②；③直线切于点．
以其中两个语句为条件，另一个语句为结论，写出一个真命题： ．
【答案】由①③得②，或由②③得①
【分析】本题考查了切线的判定定理和性质定理，命题，掌握知识点是解题的关键．
根据切线的判定定理和切线的性质定理，逐项分析判断即可．
【详解】解：∵是的半径，直线切于点，
∴；
即由①③得②
∵，直线切于点，
∴是的半径；
即由②③得①．
故答案为：由①③得②，或由②③得①．
6．如图，已知点是线段上一点，，，分别是，的中点，，求线段的长．
【答案】线段的长为．
【分析】本题考查了线段的中点性质，线段的和与差，设，因为，分别是，的中点，所以，，从而得，则有，得，然后通过线段的和与差即可求解，掌握线段中点性质并结合图形与已知求出部分线段的长是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
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