2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第四章 三角形 专题二 三角形及其重要线段（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题二 三角形及其重要线段
命题点1 三角形的分类与稳定性
1．（2024·山西阳泉·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（ ）
A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”
2．（2024山西太原模拟）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
3．（2023·山西运城·二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
4．（2025山西运城模拟）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．三线合一 B．三角形的稳定性
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
命题点2 三角形三边关系
1．（2025·山西长治·三模）如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
3．（2024·山西吕梁·二模）将下列长度的三条线段首尾顺次相接，不能组成三角形的是（ ）
A．1，， B．5，12，13
C．5，7，12 D．4，4，6
4．（2025·山西农大附中模拟）如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）

A．3种 B．6种 C．8种 D．12种
5．（2025·山西太原·模拟预测）如图，弟弟将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为 ．

命题点3三角形的内角和外角
1．（2024山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山西大同·三模）如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
7．（2025·山西大同·三模）如图，与相切，点A为切点，连接交于点C，点D在上，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西运城·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·山西·三模）如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山西吕梁·二模）将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·山西·模拟预测）如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
13．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·山西晋中·二模）刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ．
命题点4 三角形中的重要线段
1．（2024·山西·模拟预测）半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025山西吕梁模拟）如图，在中，平分，，，则 ．
4．（2025·山西太原·一模）在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义：“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2),B( 3,1),C(2, 2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.已知点A(1,2),B( 3,1),P(0,t).
(1)若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
(2)直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值.
5．（2024·山西晋中·二模）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读内容并完成相应的任务．
*年月日星期六三角形的重心如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，那么如何确定这个点的位置呢？ 根据相关内容的学习，我知道了这个点是三角形的重心．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的重心有什么性质呢？【问题探究】如图，已知中，中线，，交于点，我发现，，． 证明：延长至点，使，连接，．∵是的中线，∴．∴四边形是平行四边形（依据）．∴．…【结论应用】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是（每个小正方形的顶点叫做格点），的顶点都在格点上． （1）用无刻度的直尺找到的重心；（2）的面积为______．
任务：
(1)上述日记中的“依据”是指______；
(2)请将上述日记中的证明过程补充完整（只求证）；
(3)完成“结论应用”中的两个问题．
6．（2025·山西运城·一模）如图，在中，．
(1)实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
7．（2025·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，．证明：规律1，∵，是的角平分线，∴，．∴．∴．∴．规律2，∵，，∴．∴．
请解决以下问题：
（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由．
1．如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则 ．
6．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
7．如图，已知的面积为12，平分，过点作于点，交于点，连结，则的面积为 ．
8．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
9．如图，在中，，分别是边，上的点，与的延长线交于点，若，，，则的长为 ．

10．如图，在中，平分．
(1)作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
1．项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值；
（4）数据分析，形成结论．
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
(1)根据表中信息可知，是的 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为 （）；
(2)请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
2．综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，D，E分别是，的中点，连接．
(1)如图2，将绕着点C逆时针旋转，连接BE和，小明发现，，请你证明该结论．
猜想探究：
(2)如图3，将绕着点C逆时针旋转，此时恰好有，连接，延长，交于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由．
拓展探究：
(3)如图4，将绕着点C逆时针旋转，直接写出四边形的面积的最大值．
1．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
3．如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．中，，，高，则
6．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ．
7．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
8．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为________度，最大值为________度；
②面积的变化情况是（ ）
A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小
(2)当时，求的面积．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题二 三角形及其重要线段（解析版）
命题点1 三角形的分类与稳定性
1．（2024·山西阳泉·模拟预测）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列有关实例（如图）所应用的最主要的几何知识，说法不正确的是（ ）
A．图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”
B．图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点之间，线段最短”
C．图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”
D．图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”
【答案】B
【分析】本题考查了生活常识与课本内容的联系，在深刻理解课本内容的基础上正确联系实际问题是解题的关键．
根据生活常识及课本相关知识逐项辨析即可．
【详解】解：A、图①中墙上置物架的支架做成三角形，应用了“三角形的稳定性”，正确，故该选项不符合题意；
B、图②中建筑工人砌墙时，在墙的两端之间拉一条线做参考，应用了“两点确定一条直线”，错误，故该选项符合题意；
C、图③中体育课上，测量立定跳远的成绩，应用了“点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度”，正确，故该选项不符合题意；
D、图④中车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离都相等”，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024山西太原模拟）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
3．（2023·山西运城·二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ）

A．三角形的稳定形 B．四边形的不稳定性
C．勾股定理 D．黄金分割
【答案】B
【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性．
故选：B
【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题．
4．（2025山西运城模拟）2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合拢任务，如图是桥身的一部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．三线合一 B．三角形的稳定性
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可得出答案，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键．
【详解】解：桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形的稳定性，
故选：B．
命题点2 三角形三边关系
1．（2025·山西长治·三模）如图，在四边形中，，，，，分别是，的中点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边大小关系，三角形的中位线定理，解题的关键是构造三角形的中位线．
取的中点，连接、，由三角形中位线定理得到，然后分类讨论，利用三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接、，
∵分别为中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，
当时，，
当、不平行时，
，
综上所述：，
故选：A．
2．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴
该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想．
故选：B．
3．（2024·山西吕梁·二模）将下列长度的三条线段首尾顺次相接，不能组成三角形的是（ ）
A．1，， B．5，12，13
C．5，7，12 D．4，4，6
【答案】C
【分析】根据构成三角形的条件，无理数的估算，即可求解．
【详解】解：A. 1+>，故该选项能组成三角形，不符合题意；
B. 5+12>13，故该选项能组成三角形，不符合题意；
C. 5+7<12，故该选项能不组成三角形，符合题意；
D. 4+4>6，故该选项能组成三角形，不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，无理数的大小比较，掌握构成三角形的条件是解题的关键．三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边．
4．（2025·山西农大附中模拟）如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）

A．3种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系可以得出线段a、b、d可以围成三角形，另外根据平移的性质即可得出答案．
【详解】解：由网格可知：a=，b=d=，c=2，
则能组成三角形的只有：a、b、d，
可以分别通过平移ab，ad，bd得到三角形，平移其中两条线段方法有两种，
即能组成三角形的不同平移方法有6种．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平移、勾股定理以及三角形三边关系，利用三边的关系判定围成三角形的三条线段是解题的关键．
5．（2025·山西太原·模拟预测）如图，弟弟将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为 ．

【答案】9
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可解答．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：；
因为为正整数
所以的最大值为9；
故答案为：9
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形的特性进行分析、解答．
命题点3三角形的内角和外角
1．（2024山西·中考真题）如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
2．（2025·山西晋中·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质．利用旋转的性质得出，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质得出和，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：旋转角度，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（2025·山西朔州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为点，且点为的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解．
【详解】解：点为的中点，
，
，
，
∵直线与相切，
，
，
故选：．
4．（2025·山西长治·二模）将的圆周10等分，如图点A、B、C是等分点，点D在线段上（不与A，B重合），则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，，根据题意可得，，得出，，再利用三角形外角的性质和三角形内角和定理得出的范围，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，，
由题意得，，，
，，
，，
，，
，
的度数可能为，
故选：A．
5．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由切线的性质得到，则可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．（2025·山西大同·三模）如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】本题主要考查正多边形的外角，三角形内角和定理和等边对等角，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可．
【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，
，
，
，
则该正多边形的边数为，
∴这个正多边形是正八边形．
故选：D．
7．（2025·山西大同·三模）如图，与相切，点A为切点，连接交于点C，点D在上，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理．先根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．（2025·山西运城·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，理解图示，掌握以上知识是关键．
根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴，
∵，
∴，
故选：D ．
9．（2025·山西·三模）如图，内接于，点是的中点，连接，并延长交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟知相关性质定理是正确解题的关键．
根据题意可得则，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，求得，根据即可求解．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．（2025·山西吕梁·二模）将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、对顶角相等、平行线的性质等知识点，掌握三角形内角和定理定理成为解题的关键．
如图：由三角内角和定理以及对顶角相等可得，同理可得，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
11．（2025·山西·模拟预测）如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平行线的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，据此可得的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
12．（2025·山西·一模）如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
【答案】A
【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形的相关性质成为解题的关键．
如图：延长相交于点E，由题意可得：，由邻补角的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，再最后根据三角形内角和定理求得即可．
【详解】解：如图：延长相交于点E，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选A．
13．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵正五边形纸片，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，，
∴，
故选：B．
14．（2025·山西晋中·二模）刘华在数学实践操作活动时，利用量角器进行了如下操作，如图，点A、B、C在量角器的内弧上，点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意可得，由圆周角定理可得，则可求出，再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：如图所示，设点O是内弧所在圆的圆心，连接，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
命题点4 三角形中的重要线段
1．（2024·山西·模拟预测）半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：取的中点O，连接，，
由题意得，，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∴，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作，交于点，证明，结合三角形中线的性质，得到，，根据题意得到，进而得到，证明，利用相似三角形性质得到，，即可解题．
【详解】解：作，交于点，
，
是的中线，
，即，，
点D是边靠近顶点B的一个三等分点，
，
，
，
，
，
即，，
，
故选：B．
3．（2025山西吕梁模拟）如图，在中，平分，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用．
过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过作于，于，
∵平分，
∴，
∵，，
，
故答案为．
4．（2025·山西太原·一模）在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义：“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2),B( 3,1),C(2, 2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.已知点A(1,2),B( 3,1),P(0,t).
(1)若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
(2)直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值.
【答案】（1）(0,4)或(0, 1)；（2）4
【分析】（1）求出“水平底”a的值，再分t>2和t<1两种情况求出“铅垂高”h，然后表示出“矩面积”列出方程求解即可；
（2）根据a一定，h最小时的“矩面积”最小解答．
【详解】(1)由题意：“水平底”a=1 ( 3)=4，
当t>2时，h=t 1，
则4(t 1)=12，
解得t=4，
故点P的坐标为(0,4)；
当t<1时，h=2 t，
则4(2 t)=12，
解得t= 1，
故点P的坐标为(0, 1)，
所以,点P的坐标为(0,4)或(0, 1)；
(2)∵a=4，
∴当1＜t＜2时，“铅垂高”h最小为1，
此时，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4.
【点睛】此题考查三角形的面积，坐标与图形性质，解题关键在于列出方程.
5．（2024·山西晋中·二模）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读内容并完成相应的任务．
*年月日星期六三角形的重心如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，那么如何确定这个点的位置呢？ 根据相关内容的学习，我知道了这个点是三角形的重心．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的重心有什么性质呢？【问题探究】如图，已知中，中线，，交于点，我发现，，． 证明：延长至点，使，连接，．∵是的中线，∴．∴四边形是平行四边形（依据）．∴．…【结论应用】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是（每个小正方形的顶点叫做格点），的顶点都在格点上． （1）用无刻度的直尺找到的重心；（2）的面积为______．
任务：
(1)上述日记中的“依据”是指______；
(2)请将上述日记中的证明过程补充完整（只求证）；
(3)完成“结论应用”中的两个问题．
【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)作图见解析，2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，重心的有关性质，中位线的性质，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合题意，得出“依据”是指对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答．
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线分线段成比例，得出，因为是中边上的中线，则，再进行边的等量代换，即可作答．
（3）结合网格特征以及中线性质得出重心位置，再运用割补法求出的面积，再运用重心性质，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）解：证明：延长至点，使，连接，．
∵是的中线，
∴．
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∴．
∴．
∵是中边上的中线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：取格点，、、，连接，交于点，连接，相交于点，则的重心为点，如图所示点为的重心：
的面积为
∵是的中线
∴
∵的重心
∴
∴．
6．（2025·山西运城·一模）如图，在中，．
(1)实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)图见解析；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）由图可知，可得，由等腰三角形的性质可得，进而可得，则，即．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的知识点是作图-基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2025·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题．
探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果．规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半．规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，．证明：规律1，∵，是的角平分线，∴，．∴．∴．∴．规律2，∵，，∴．∴．
请解决以下问题：
（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______；
（2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）三角形内角和定理；（2），见解析
【分析】（1）根据题意直接进行解答即可；
（2）由题意易得，，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解．
【详解】解：（1）答案不唯一，如三角形内角和定理或者三角形的内角和等于180°或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
（2）．
理由如下：
∵，平分和，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形角平分线、三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
1．如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的重心是三角形三边中线的交点解答．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点是的重心，
∴E点为的中点，D为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
故选：B
2．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出．
【详解】解：延长交n于K，
∵平面镜与挡板n形成的锐角为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
3．将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，先证明，则，结合等角对等边证明，则，即可求解．
【详解】解：连接，
由题意得平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则 ．
【答案】
【分析】先证明三角形是等腰三角形，得，，再证，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵的平分线交于点，交的延长线于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴三角形是等腰三角形，，
∴，
又∵，，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查平行线、相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握平行线的性质和勾股定理的内容是解答本题的关键．
6．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】10
【详解】解：因为2+2=4，
所以腰长为2时不能构成三角形；
所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，
周长：4+4+2=10，
答：它的周长是10，
故答案为：10．
7．如图，已知的面积为12，平分，过点作于点，交于点，连结，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】根据三角形中线的性质可得，，据此计算即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴E是AD的中点，
在中，BE是AD边上的中线，
∴，
在中，CE是AD边上的中线，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟知三角形的中线可以将三角形的面积分为相等的两部分是解题的关键．
8．如图，A是外一点，连接交于点B，D是的中点，C是上一点且满足，分别连接，若，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明，再求出，根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵D是的中点，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
故答案为：
9．如图，在中，，分别是边，上的点，与的延长线交于点，若，，，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
10．如图，在中，平分．
(1)作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，点即为所求；
（2）证明，则，，由，可得，则，，进而可证．
【详解】（1）解：如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，则，点即为所求；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键．
1．项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值；
（4）数据分析，形成结论．
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
(1)根据表中信息可知，是的 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为 （）；
(2)请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
【答案】(1)一次，
(2)
【分析】本题主要考查了列函数解析、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．
（1）先根据表格数据归纳出函数关系式，即可确定函数类型和关系式；
（2）根据平角的定义以及物理知识可得、，即，再结合即可证明结论．
【详解】（1）解：根据表格数据可归纳出：，即是的一次函数．
故答案为：一，（或）．
（2）解：如图，∵，
又∵，
∴．
同理：．
∵，
∴．
∴．
2．综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，D，E分别是，的中点，连接．
(1)如图2，将绕着点C逆时针旋转，连接BE和，小明发现，，请你证明该结论．
猜想探究：
(2)如图3，将绕着点C逆时针旋转，此时恰好有，连接，延长，交于点F，试猜想四边形的形状，并说明理由．
拓展探究：
(3)如图4，将绕着点C逆时针旋转，直接写出四边形的面积的最大值．
【答案】(1)见解析；
(2)正方形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）延长交于点F，根据证，然后根据角的互余关系得出即可；
（2）利用（1）的结论，有三个角是直角的四边形是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形，得出结论即可；
（3）由，可知当点C在线段BE上，且时，四边形的面积有最大值，据此求解即可．
【详解】（1）如图，延长交于点F，交于点G，
∵，都是等腰直角三角形，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）正方形，理由：
∵，
由（1）知，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（3）由（1）知，，，
∵，
∴当点C在线段BE上，且时，即绕着点C逆时针旋转时，四边形的面积有最大值，
此时，
∴，
即四边形AEDB的面积的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，以及三角形三条边的关系，熟练掌握正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
1．如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．
甲：，路程为．
乙：，路程为．
丙：，路程为．
下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较．
设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出．
【详解】解：设的长度为a，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
同理可得，和是等边三角形，设的边长为m，
∴，，
∴；
如图所示，延长与，交于点I（如图），
同理可得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
综上所述，．
故选：D．
2．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
3．如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数．
【详解】解：∵ ，，
∴ ，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：．
4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
5．中，，，高，则
【答案】14或4
【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度．
利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时．
【详解】解：∵是的高，
∴和均为直角三角形，．
在中，由勾股定理得：
即
解得（负值舍去）．
在中，由勾股定理得：
即
解得（负值舍去）．
分两种情况讨论：
①当在内部时，
②当在外部时，．
故答案为：或．
6．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答．
【详解】解：∵是上的中线，
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴的面积是．
故答案为：．
7．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
8．图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
①的最小值为________度，最大值为________度；
②面积的变化情况是（ ）
A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)①，；②C．
(2)
【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答；
（2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值；
当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值．
∵，，
∴，即有最大值为．
故答案为：，．
②由特殊情况分析：点与点重合时，；
过没有点的限制，点与点重合时，；
∴面积的变化情况是先增大后减小．
故选：C．
（2）解：如图2，过N作延长线于G
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平方米）．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键．
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