2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第四章 三角形 专题三 等腰三角形（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题三 等腰三角形
命题点1 等腰三角形的判定
1．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·山西长治·三模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋中·一模）在矩形中， ，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交的延长线于点，交于点，已知，，则 ．

5．（2025·山西大同·一模）如图，，，，，则线段的长为 ．

6．（2024·山西吕梁·三模）如图，在中，于点．

(1)尺规作图：作的平分线交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明．
命题点2 等腰三角形的性质
1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，，是边上的中线，以为直径的分别交，于点，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西运城·二模）如图，点P为的直径延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，和的长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点C，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为 ．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为 ．
8．（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ．
9．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为 ．
10．（2024·山西·中考真题）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
命题点3 等边三角形的性质
1．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．

2．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ．
3．（2024·山西·模拟预测）如图，在等边三角形中，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，．点，点分别为线段，上一点，连接，．如果，当取得最小值时，的面积为 ．
4．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 .
5．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
6．（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高．如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则．证明：如图2，设等边的边长为，连接，，，，，，． ．思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．
任务：
(1)请完成该定理证明的剩余部分；
(2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____．
(3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____．

7．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点．
任务：
(1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数．
(2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切，
判断是否为的“完美三角形”，并说明理由；
若，则的周长为________．
1．如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
3．如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
4．如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
5．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
6．
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
7．四边形的对角线，相交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
8．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
9．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
10．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
1．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
2．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
3．综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
1．如图，四边形中，，，，，是四边形边上一点，过点作于点，若，则的面积为
2．如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是 ，当的周长最小时，的度数是 ．
3．在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则 ．
4．如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为 ．
5．如图，在中，，，平分，，分别为，上一点，且． ，当的最小值为5时，的长为 ．
6．综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系．
特例感知
（1）如图，当，，，的数量关系为：______；
类比探究
（2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系；
拓展应用
（3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示）
（4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：．
7．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题．
如图1，在中，，． D，E 分别为的中点，将以点C 为旋转中心，逆时针方向旋转后得到，连接．
初步感知
（1）如图2，当三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为 ．（用含的式子表示）
（2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
延伸探究
（3）如图4，当旋转角满足 时，连接，，请通过计算求四边形面积的最大值．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题三 等腰三角形（解析版）
命题点1 等腰三角形的判定
1．（2025·山西朔州·三模）如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据性质，先证明，再证明，解答即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2025·山西长治·三模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由角平分线定义可得，然后通过角平分线定义可得，所以，最后由等角对等边即可求解．
【详解】解：∵是的平分线，
，
，
，
，
．
故选：C．
3．（2024·山西晋中·一模）在矩形中， ，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，由折叠可得，，由矩形可得，，，，进而得到，，，即得到，得到，可得，再得到，，则，在中，由勾股定理可得，求出，由根据，，可得，得到，据此即可求出，推导出是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，，
∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：．
4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交的延长线于点，交于点，已知，，则 ．

【答案】/
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，先利用平行四边形的性质和角平分线的定义可得，得到，再解，得到，，进而由可得，再根据线段的和差关系即可求解，利用相似三角形的性质求出是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
5．（2025·山西大同·一模）如图，，，，，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】过点作，且，连接，，根据平行四边形的判定和性质可得，，根据平行线的性质可得，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据等角对等边可得，根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：过点作，且，连接，，如图：

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，
又∵，，
∴，，
∵，，
∴三角形是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的性质，等角对等边，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
6．（2024·山西吕梁·三模）如图，在中，于点．

(1)尺规作图：作的平分线交边于点．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先得到，再由垂直的定义和三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，进而推出，则．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：，证明如下：
，
，
，
，
，
平分，
．
∴，
∴．
命题点2 等腰三角形的性质
1．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得到是的垂直平分线，即可得到，进而判断A；有等边对等角得到，，即可得到，进而判断B；证明出，得到，即可判断C；只有当时，，即可判断D．
【详解】∵四边形是正方形，对角线，交于点O，
∴
∵
∴是的垂直平分线
∴，故A不符合题意；
∵，
∴
∵
∴
∴，即，故B不符合题意；
∵，，
∴
∴，故C不符合题意；
只有当时，，
根据题意无法求出，故不一定成立，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，，是边上的中线，以为直径的分别交，于点，，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．连接，求出相关线段长度，利用进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵，以为直径的分别交，于点，，
∴，
即三点共线，
∵，是边上的中线，
∴
∴，垂直平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
故选：C
5．（2025·山西运城·二模）如图，点P为的直径延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，和的长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点C，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，由圆周角定理可得，再结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．过A作于M，过E作于H，
则，利用平行线分线段成比例可得，由勾股定理和等腰三角形的性质可求得，则，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解．
【详解】解：过A作于M，过E作于H，
则，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·山西·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线平分，与相交于点，且．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作于点，过点作于点，求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，设，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点作于点，过点作于点．
∵，
∴，
∴由勾股定理得
∵对角线平分，
∴
∵，
∴
又∵
∴
设．
由勾股定理得．
为的中点，
．
，即．
解得．
代入，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．（2025·山西吕梁·二模）如图，在中，以为直径的交边于点，交边于点，连接．若为的中点，，则的度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据为的直径，以及为的中点，可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，即，
∵为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
9．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，，点D为边上一点且，连接，作的垂直平分线，分别交线段，，于点E，F，G．则线段的长为 ．
【答案】/
【分析】解法一：过点作交于点，过点作交于点，先由三线合一、勾股定理得到、，由求出、、，结合勾股定理求出，证明后，根据相似三角形性质得出、，从而求得，最后证，由相似三角形性质可得线段的长；
解法二：过点作，通过已知条件与勾股定理得到的长，后以点为坐标原点建立平面直角坐标系，将所有点用直角坐标系中的坐标来表示，求出点的坐标，根据构建方程，再根据构建另一个方程，最后通过联立方程得到点坐标，最后通过勾股定理得到的长．
【详解】解：解法一：过点作交于点，过点作交于点，
，，
平分，
即，
中，，
，
又，
，，，
中，，
，，
，
，
，，
，
，且平分，
，，
，
，
，
；
解法二：在中，，，过点作，
则，
，
，
，，
，
，
垂直平分，
．
建立坐标系：设点，则，，，，
为的中点，则点，即，
设，作轴于点，于点，
垂直平分，
，
，
整理得：①，
，
，
，即，
整理得：②，
联立①②得，
．
以为斜边构建直角三角形，过点作垂直轴的直线，过点作平行轴的直线，故此三角形的一直角边长为：，另一直角边长为：，
根据勾股定理可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，解题关键是正确作出辅助线．
10．（2024·山西·中考真题）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【答案】（1）等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．
【详解】（1）解：依据1为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），依据2为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
如图2，连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴，
∵AC=BC，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半），
在△MOC和△NOB中
，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质．
命题点3 等边三角形的性质
1．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为 ．

【答案】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
2．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于C点，
是等边三角形，
，
由旋转可知：，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
3．（2024·山西·模拟预测）如图，在等边三角形中，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，．点，点分别为线段，上一点，连接，．如果，当取得最小值时，的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等，易证是等边三角 形，得出，再由旋转的性质得，，推出，，求出 ，得到，当时，取最小值，则是等腰直角三角形，当时，取最小值，即点与点重合，当都取最小值时，的值最小，然后由等腰直角三角形的性质得出，最后由三角形面积公式解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，，
∴，
∴，
如图，当时取最小值，
∴是等腰直角三角形，
当时，取最小值，即点与点重合，
当都取最小值时，的值最小，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 .
【答案】/
【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度．
【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，
是边长为的等边三角形，
，，
，
在中，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系．
5．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；

故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
6．（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高．如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则．证明：如图2，设等边的边长为，连接，，，，，，． ．思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．
任务：
(1)请完成该定理证明的剩余部分；
(2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____．
(3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，则点到其他三边的距离之和为_____．

【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形等，利用等面积法求解是解题的关键．
（1）根据可得，据此可证明结论；
（2）如图3所示，设等边的边长为b，连接，根据求解即可；如图4所示，设等边的边长为c，连接，根据列式求解即可；
（3）过点E作于T，过点D作于R，证明四边形是矩形，得到，；可证明，则，根据，，可推出；再证明，则点到其他三边的距离之和为．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图3所示，设等边的边长为b，连接，
∴，，，；
∵，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，设等边的边长为c，连接，
∴，，，；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图5所示，过点E作于T，过点D作于R，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
在中，，
在中，，
∴，
∴，
同理；
如图5所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴点到其他三边的距离之和为．
7．（2025·山西临汾·三模）阅读与思考
下面是一名同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
等腰三角形是指有两边相等的三角形，相等的两条边叫作这个三角形的腰，另一条边叫作底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形．约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，为半圆弧上一动点．
任务：
(1)如图，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，求的度数．
(2)如图，是的“沉毅三角形”，且与相切，
判断是否为的“完美三角形”，并说明理由；
若，则的周长为________．
【答案】(1)；
(2)是完美三角形，见解析；．
【分析】根据等边三角形和等腰直角三角形的性质，可知，，根据圆周角定理可知，根据一周角可以计算出；
根据是等边三角形，且与相切，可以求出，根据，可知，根据等边三角形的性质可知，从而可知，又因为是的直径，从而可证与相切；
根据锐角三角函数求出，根据等边三角形三边都相等，可得的周长为．
【详解】（1）解：以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，
是等边三角形，是以为底边的等腰直角三角形，
，，
为半圆的直径，
，
；
（2）解：是“完美三角形”，理由如下：
如下图所示，连接，
是的“沉毅三角形”，
是等边三角形，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
与相切，
又与相切，
是的“完美三角形”；
②，
由可知，，
为半圆的直径，且，
在中，，
的周长为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、角直角三角形、等边三角形的性质，解决本题的关键是读懂“朴实三角形”、“沉毅三角形”、“完美三角形”，根据这三个定义找图形中边、角之间的关系．
1．如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
2．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明为等边三角形，进而得到，三线合一求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
3．如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，根据可知当有最小值时，有最大值，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可求出的最小值为，则的最大值为．
【详解】解：如图所示，过点作于，
在中，，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当有最小值时，有最大值，
∴当有最小值时，有最小值，
∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
4．如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ．
【答案】
【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积．
【详解】解：过点E作交延长线于点H，
∵为等边三角形
∴，
∵是中线，
∴，，
∴由勾股定理得：，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
5．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解∶过D作于H，
∵菱形中，，，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
6．
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论；
（2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论；
（3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论．
【详解】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
（2）方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
7．四边形的对角线，相交于点O，，，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）首先证明出，得到，然后结合即可证明；
（2）首先由菱形的对称性得到；然后证明出，是等边三角形，得到，求出，得到；然后求出， 得到；然后求出，得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O，
∴点A和点C关于所在直线对称，
∴；
∵，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与线段相等的线段有，，，．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键：
（1）根据作图可知，结合，即可得证；
（2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：由作图可知，．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
由（1）得．
∴．
∴，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
∵且，
∴．
∴．
∵，设，则，即．
解得或（舍去）．
∴的长为．
9．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；
（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．
【详解】（1）解：是等边三角形，
．
D是的中点，
．
，
，
．
（2）由平移可知：，
，
又，
，
∴，
又，
垂直平分，
，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
10．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ：
（1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形：
（2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
1．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形为平行四边形，（3）
【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，根据等腰三角形的性质可证，证明，可得，从而可得当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，根据平行线的性质和平角的定义可得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∵为等边三角形，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下，
∵，，
∴，
∵绕点M逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则四边形为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值是解题的关键．
2．综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得．
【详解】解：（1）∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
∴．
（2）①如图，过点作，垂足为，
中，，
．
中，．
∴，
．
②，理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
3．综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则：，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．
1．如图，四边形中，，，，，是四边形边上一点，过点作于点，若，则的面积为
【答案】、或
【分析】先通过面积法求出点到的距离，与已知比较，确定点可能与重合，或在、边上；再分三种情况，利用等腰三角形三线合一和相似三角形性质求出的长度，最后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
．
．
设点到的距离为，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点与点重合或在、边上．
如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴．
当点与点重合时，如图，
在中，
∵，，
∴，
．
②当点在边上时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
③当点在边上时，如图，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
，
．
故答案为：、或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握面积法求点到直线的距离和相似三角形的性质是解题的关键．
2．如图，等边的边长为2，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接，，则的度数是 ，当的周长最小时，的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数．
【详解】解： 、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，，则，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，
由轴对称的性质，可得，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；．
3．在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则 ．
【答案】
【分析】取的中点G，连接，根据直角三角形的性质可得，进而得出，由，得，再根据勾股定理求出的长，得，进而可得．
【详解】解：取的中点G，连接，
∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，外角的性质以及勾股定理求边长，取的中点G找到直角三角形的中线是解决问题的关键．
4．如图，中，，延长至点，交的延长线于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识；延长至点，使得，连接，即有垂直平分，则有，；再证明，则有，根据，有，进而有，则，即可求解．
【详解】解：延长至点，使得，连接，如图，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
5．如图，在中，，，平分，，分别为，上一点，且． ，当的最小值为5时，的长为 ．
【答案】 60 5
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定．
作，使得，连接，证明，推出，可得A，Q，E三点共线时，的最小值等于的长，再证是等边三角形即可．
【详解】解：如图，作，使得，连接，
中，，，
，
平分，
，
；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
A，Q，E三点共线时，的最小值等于的长，
的最小值为5，
，
，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：60，5．
6．综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系．
特例感知
（1）如图，当，，，的数量关系为：______；
类比探究
（2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系；
拓展应用
（3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示）
（4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：．
【答案】（1）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；
（1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论；
（2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论；
（3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解；
（4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴三点共线，
又∵，
∴
即
∵点，，分别是边、，的中点，
∴
∴
（2）如图，连接，
∵
∴即
又∵，
∴
∴
∵点，，分别是边、，的中点，
∴
∴
（3）解：如图，设交于点，交于点，
∵
∴即
又∵
∴
∴
如图，设交于点，交于点，
∵点，，分别是边、，的中点，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
（4）如图，延长至，使得，连接，
∵
∴
同理可得
∴
又∵点是的边的中点，分别为的中点
∴
∴．
7．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题．
如图1，在中，，． D，E 分别为的中点，将以点C 为旋转中心，逆时针方向旋转后得到，连接．
初步感知
（1）如图2，当三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为 ．（用含的式子表示）
（2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
延伸探究
（3）如图4，当旋转角满足 时，连接，，请通过计算求四边形面积的最大值．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）72
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据线段中点的定义可得，则由旋转的性质可得，，，由等边对等角得到，则可求出；证明，即可得到；
（2）延长交于F，交于O，同理可证明，则，，导角可证明，则；
（3）如图所示，连接，二者交于T，证明，得到，；导角可证明，则可证明，则当有最大值，有最大值，而当三点共线时，有最大值，最大值为12，则的最大值为．
【详解】解：（1）∵，． D，E 分别为的中点，
∴，
∴；
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴；
（2），证明如下：
如图所示，延长交于F，交于O，
同理可证明，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，；
（3）如图所示，连接，二者交于T，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
设，则，
∴，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∴当有最大值，有最大值
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为12，
∴的最大值为．
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