2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第四章 三角形 专题五 全等三角形（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题五 全等三角形
命题点1 全等三角形的判定
1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
4．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则 ．
5．（2025·山西晋中·二模）如图，四边形中，，，平分交边于点，点恰好是边的中点，则的长为 ．
6．（2024·山西·模拟预测）如图，在菱形中，E为边上一点，，连接交于点F．若，，则的长为 ．
7．（2024·山西·模拟预测）如图，已知中，，是中线，点E是边上一点，连接交于点F，若，则线段的长为 ．
8．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
9．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
10．（2025·山西长治·一模）综合与实践
在中，，，是的中点，为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接．
(1)如图1，当是线段的中点时，判断四边形的形状，并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)若，设与直线的交点为，当时，直接写出的面积．
命题点2全等三角形的性质
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
3．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．证明：连接，，过点作边上的高，则．，，．．
任务：
(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．
(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．
(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．
4．（2025·山西大同·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形于点E，于点F，连接AF和CE．
(1)证明：四边形AECF是平行四边形；
(2)已知，，求CE的长．
5．（2025·山西·一模）如图在△ABC中，，D是BC的中点，，，点E、F分别为垂足．
(1)求证：△DEF是等腰三角形．
(2)当的度数为______时，△DEF是等边三角形．
命题点3 构造全等三角形
1．（2025山西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是 (写出正确结论的序号)
2．（2024·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ．
3．（2025·山西太原·一模）综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现
（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
4．（2025·山西·一模）综合与实践：
问题情境：（1）如图，点是正方形边上的一点，连接、，将绕点顺时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①线段和的数量关系是______．
②写出线段、和之间的数量关系．并说明理由；
操作探究：（2）在菱形中，，点是菱形边所在直线上的－点，连接、，将绕点顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①如图，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段和的长度．
5．（2025·山西·一模）阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
1．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A． B． C． D．2
2．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1．
3．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ．
5．如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
6．已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）．
7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
8．如图，在和中，延长交于点，，，，求证：．
9．如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
10．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
1．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．

(1)如图1，当点M在上时，___________度；
(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
2．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．3．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
1．如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在等腰中，，外有一点，连接、、，若，则的面积为 ．
3．如图，已知中，为边上的中线，，平分交于点，，则 ．
4．如图所示，以的斜边为边，在的同侧作正方形交于点，连接．若，，则 ．
5．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证≌；
(2)若连接，求的长；
(3)若P为的中点，连接，求的值．
6．如图，已知中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．
(1)当时，求的长；
(2)当时值；
(3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积．
7．综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【问题情境】
分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间的关系．
【初步感知】
（1）如图1，若，直接写出与之间的关系；
【深入探究】
（2）在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，过点C作，垂足为点H，的延长线交于点M，求证：．
8．综合与实践
【问题情境】：
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，正方形和正方形，连接，．
【操作发现】：
当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；
【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题五 全等三角形（解析版）
命题点1 全等三角形的判定
1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
【详解】在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故选：．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为
【答案】
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
4．（2025·山西长治·二模）如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则 ．
【答案】
【分析】过作，交于点，交于点，作于点，可得，，然后，再求，再证明，求出，最后在中根据勾股定理即可求解.
【详解】解：如图；过作，交于点，交于点，作于点，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵在中，，
∴
∵正方形的边长为4
∴，
∴在中，
在中，
∴
∵为的中点，
∴
∴在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，正方形的边长为4
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴在中，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，勾股定理，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．
5．（2025·山西晋中·二模）如图，四边形中，，，平分交边于点，点恰好是边的中点，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，证明，得到，，证明，，得到，根据勾股定理，得，由，进一步得到，即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
，
，
故答案为：．
6．（2024·山西·模拟预测）如图，在菱形中，E为边上一点，，连接交于点F．若，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一等，作，垂足为，由勾股定理求出，结合菱形的性质和等腰三角形三线合一可得，再证明，得出，再由得出，解比例即可．
【详解】解：作，垂足为，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
7．（2024·山西·模拟预测）如图，已知中，，是中线，点E是边上一点，连接交于点F，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理，分别取的中点，连接，易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，根据证明，推出，进而得到，再求出，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：分别取的中点，连接，
∵是中线，即点是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2025·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段． 【问题解决】问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________． 问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接． 求证：线段是线段的双关联线段．证明：延长交于点F．是等边三角形，．，（依据）．，，；…

任务：
(1)问题1中的________，问题2中的依据是________________；
(2)补全问题2的证明过程；
(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】(1)，等角的补角相等；
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【详解】（1）解：设的交点为O，如图；
∵四边形是矩形，
∴；
∵对角线与互为双关联线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；

故答案为：；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
（2）解：是的外角，
．
是的外角，
．
，
．
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是．
，
线段与线段是双关联线段．
（3）解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
9．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或
【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形；
（2）①由菱形和旋转得性质证，可证；
②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：（1）四边形为矩形．理由如下：
，
，
四边形为菱形，
∴，
∴，
，
∴，
四边形为矩形．
（2）①．理由如下：
∵四边形为菱形，
，
旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由旋转知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴
；
当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：

由旋转知：，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴ 四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
综上，四边形的面积是或．
【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键．
10．（2025·山西长治·一模）综合与实践
在中，，，是的中点，为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接．
(1)如图1，当是线段的中点时，判断四边形的形状，并证明；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(3)若，设与直线的交点为，当时，直接写出的面积．
【答案】(1)矩形，见解析
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）根据三角形中位线定理，矩形的判定定理解答即可．
（2）延长到点G；使，连接．证明得到平行线，继而得到，利用勾股定理，等量代换思想解答即可；
（3）取的中点M，连接，分点E在上和的延长线上两种情况，利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用解答即可．
【详解】（1）证明：∵是的中点，是线段的中点,
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴四边形是矩形．
（2）解：，理由如下：
延长到点G；使，连接．
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴， ．
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴直线垂直平分线段，
∴，
∴．
（3）解：取的中点M，连接，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
当点E在上时，
设，则
∵，
∴，
根据（2）的结论，得，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当点E在延长线上时，
设，则
∵，
∴，
根据（2）的结论，得，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键．
命题点2全等三角形的性质
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴
，
故选：B
2．（2024·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)作图见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
3．（2025·山西·模拟预测）【创新考法】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记（部分），请仔细阅读并完成相应任务．
等面积法在解题中的应用等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法．这种方法可以把问题简捷化，提高学习效率．下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子．例：如图1，，点在线段上，．记，，．求证：．证明：连接，，过点作边上的高，则．，，．．
任务：
(1)如图，是的内切圆，半径为，的周长为，则的面积为______．
(2)将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中．参照阅读材料中例题的证明方法，求证：．
(3)如图4，在菱形中，对角线，交于点，是上一点，且．若，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的内切圆，矩形的判定与性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键．
（1）设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，利用即可求解；
（2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决；
（3）先证明，结合菱形性质得出，再分别利用三角形的同高面积求出，，，最后利用即可求解．
【详解】（1）解：如图，设与三边的切点分别为，，，连接，，，，，，
∴于，于，于，
∵的半径为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，
∴，
，
，
．
；
（3）解：∵菱形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
4．（2025·山西大同·二模）如图，四边形ABCD是平行四边形于点E，于点F，连接AF和CE．
(1)证明：四边形AECF是平行四边形；
(2)已知，，求CE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证明由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论．
（2）由，得出BF的长，在中，根据勾股定理求出CF的长，在中，由勾股定理即可求出CE的长．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
在△ABE和△CDF中，
∴．
∵，
∴．
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵，
∴．
在中，
．
由（1）可知△ABE≌△CDF，
∴．
∴．
在中，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．
5．（2025·山西·一模）如图在△ABC中，，D是BC的中点，，，点E、F分别为垂足．
(1)求证：△DEF是等腰三角形．
(2)当的度数为______时，△DEF是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)120°
【分析】（1）根据题目条件利用AAS证明△BED△CFD，得到ED=FD，即可证明△DEF是等腰三角形．
（2）把△DEF是等边三角形当成已知条件，得到∠EDF=60°，推出∠B+∠C=60°，即可求出∠A的度数．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠BED=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED△CFD（AAS），
∴ED=FD，
∴△DEF是等腰三角形．
（2）解：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=120°，
∵∠B+∠BED+∠EDB+∠FDC+∠DFC+∠C=360°，
∴∠B+∠C=60°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=120°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，三角形的内角和．熟练掌握判定方法和性质是解题的关键．
命题点3 构造全等三角形
1．（2025山西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是 (写出正确结论的序号)
【答案】①②⑤
【详解】①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α
故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE(ASA)，
∴BF=BE，
∴A1B﹣BE=BC﹣BF，
∴A1E=CF；
故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④由△A1BF≌△CBE
那么A1F=CE．
故结论④正确．
2．（2024·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ．
【答案】．
【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即，,求得，．
【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，
∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
3．（2025·山西太原·一模）综合与探究
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．
探究发现
（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；
（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广
（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；
（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得；通过勾股定理，得；再通过勾股定理计算，记得得到答案；
（3）过点作交于点；根据等腰三角形三线合一的性质，得，再根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．
【详解】（1）由题意得，∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD+∠CAD =∠CAE+∠CAD
∴∠BAD=∠CAE
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE
∴AD=AE
又∵AB=AC，
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∴∠ECD=90°，BD⊥CE．
（2）由（1）得：△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°
∵，BD＝2DC，即,
∴，
∵AD=AE
∴
∴∠B=∠ACB=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE =90°
∴CD2+CE2=DE2，即，
∴；
（3）如图，过点作交于点
∵∠BAC＝90°，AB＝AC
∴
∴
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
4．（2025·山西·一模）综合与实践：
问题情境：（1）如图，点是正方形边上的一点，连接、，将绕点顺时针旋转90，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①线段和的数量关系是______．
②写出线段、和之间的数量关系．并说明理由；
操作探究：（2）在菱形中，，点是菱形边所在直线上的－点，连接、，将绕点顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．
①如图，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段和的长度．
【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）①，证明见解析；②，
【分析】（1）①根据旋转的性质证得，即可求解；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）①过点作于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②过点作，，同理①解答即可．
【详解】解：（1）①绕点顺时针旋转，
由旋转可知，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
②．
理由如下：由旋转可知，．
∵四边形是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵，即．
（2）①．
证明：在菱形中，，
由旋转120得，．
在中，，
∴，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
如图所示，过点作于点，
∵，
∴．
在中，，
∴．
设，则，．
∴，
∴，
∴．
②过点作，，如图，
，
由①中同理可得：，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了角平分线定理，全等三角形的判定和性质，正方形和菱形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
5．（2025·山西·一模）阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
【答案】详见解析
【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【详解】如图，延长至点，使得，并连结，
∵是三角形的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．
1．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，，，
∴（），
∴，．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，且．
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键．
2．如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1．
【答案】B
【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．
（1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确；
（2）因为，故（）正确；
（3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确；
（4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误．
【详解】解：如图，作于E，于F．
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，，故（）正确，
，
=定值，故（）正确，
为定值，故（2）正确，
，的位置变化，
的长度是变化的，故（4）错误．
正确的有（1）（2）（3），共3个
故选：B．
3．如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可．
【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，
则，
又∵，
∴，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当点P在时，的值最大为长，
∵是正方形，
，
∴，
∴的值最大为，
∴的最大面积是，
故选：C．
4．如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边．
首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得．
【详解】解：过A作于点H，
，
在中，．
，
∵，将分成面积相等的四部分，
∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O，
在中，，，
∴，．，，
连接，
∴经过中心点O，
∴，
∵
．
同理得：，
∴，．
设，过作于点Q，
在中，
在中，由三角形面积公式：
．
过E作于延长线上点G，
又，，
且．
在中，
又平行四边形的对称性与面积平衡可得，
，
解得，
．
过M作交于P，过A作于点H，
则．
，．
．
在中，由勾股定理：
．
故答案为：．
5．如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：
（1）的度数是 ；
（2）的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用三角形相似及可得，再利用三角形的外角性质结合可求得；
（2）作交的延长线于点，利用直角三角形的性质求得，，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】解：(已知)，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，，
如图，过点作的延长线于点，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，．
6．已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，过点作，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）由四边形 是正方形， 得，由是等边三角形，得，得，进而即可得证；
（2）先由等边三角形的性质，三角形的内角和及等角对等边证得，，再由，平分证得，得出，，，证得，进而即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：与线段相等的线段有，，，，理由如下，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形 是正方形， 为对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角和，内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误．
先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出．
【详解】证明：四边形是正方形，
．
，
，
，
，即．
8．如图，在和中，延长交于点，，，，求证：．
【答案】证明过程见解析
【分析】本题主要考查了利用全等三角形的判定条件来证明两个三角形全等，准确分析条件并判断是解题的关键．
根据等量代换得到，证明，可得出结论．
【详解】证明：，
，
在和中，
，
，
．
9．如图，，．

(1)求证：；
(2)若，则__________°．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用即可证得；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
故答案为：20．
10．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；
(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，
则MP=NP；
（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
1．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．

(1)如图1，当点M在上时，___________度；
(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)30
(2)，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质结合折叠的性质可得出，，进而可求出，即得出；
（2）由正方形的性质结合折叠的性质可证，即得出．
【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，
∴，．
∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：．
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识点．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键．
2．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案；
（2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案；
（3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案．
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
3．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：　　
（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．
【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18
【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴．
综上所述，或18．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
1．如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图得出，平分，根据角平分线性质得出，证明，得出，根据补角性质得出，根据题干信息无法证明，即可得出答案．
【详解】解：根据作图可知：，平分，
∵，
∴，故A一定正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故B一定正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，故D一定正确，不符合题意；
∵垂直，但不一定平分，
∴不一定正确，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，作角平分线，角平分线性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，补角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
2．如图，在等腰中，，外有一点，连接、、，若，则的面积为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，将求的面积转化为求已知线段长度的三角形的面积．
过点作于，过点作交BD于；证明，得到；在中，利用勾股定理求出BE的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】解：过点作于，过点作交BD于．
是等腰直角三角形，，
，
．
，
．
在和中，
，
．
在中，，，，
，．
设，则，
，
，
，
，
，
．
，
由，得，
．
故答案为：．
3．如图，已知中，为边上的中线，，平分交于点，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解．
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
平分交于点，
，
，
，
，
，
为的边上的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：
4．如图所示，以的斜边为边，在的同侧作正方形交于点，连接．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，余角定理，解题的关键是掌握以上性质．
过点作，交于点，根据正方形的性质得出直角和相等的边，根据余角定理得出，证明，得出相等的边，最后利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作，交于点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：．
5．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证≌；
(2)若连接，求的长；
(3)若P为的中点，连接，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知证明，结合已知即可证明；（2）求出的长度，即得的长度，可得长度，由，运用勾股定理即可求出的长度；
（3）在上截取，连接．证明，可得，得，由，即得．
【详解】（1）证明：如答图1，
∵，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∴
（2）解：如答图1，∵，
∴．
∴．
在中，由勾股定理得；
（3）解：如答图2，在上截取，连接．
∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线性质，是解题的关键．
6．如图，已知中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．
(1)当时，求的长；
(2)当时值；
(3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过F作，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，可得，所以，求出x值，再利用勾股定理求出即可；
（2）同（1）思路，证，即可得解；
（3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可．
【详解】（1）解：过F作，垂足为点H，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，即，
，
设，则，,
，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过F作，垂足为点H，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当时，如图，
此时，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴，
；
②当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
同理，得，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
解得，
∴
；
综上，四边形的面积为或．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
7．综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【问题情境】
分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间的关系．
【初步感知】
（1）如图1，若，直接写出与之间的关系；
【深入探究】
（2）在图2中，与之间有怎样的关系？说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，连接，过点C作，垂足为点H，的延长线交于点M，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线分线段成比例定理等．
（1）延长交于H，证明，得出，进而证明；
（2）延长交于H，交于M，证明，得出，进而证明；
（3）延长到Q，使，连接，分别交于N、T，证明，进而证明，即可证明结论．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于H，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
点在上，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图所示，延长交于H，交于M，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图所示，延长到Q，使，连接，分别交于N、T，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．综合与实践
【问题情境】：
在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动．
如图1，正方形和正方形，连接，．
【操作发现】：
当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______；
【深入探究】如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由；
【迁移探究】：如图，在（）的条件下，若，，直接写出线段的值．
【答案】[操作发现]，；[深入探究] ；；[迁移探究]线段的长．
【分析】[操作发现]由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
[深入探究]由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解；
[迁移探究]分当在上时和当在上时两种情况分析即可求解．
【详解】解：[操作发现]
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图，延长交于点，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴直线与的夹角度数为，
故答案为：，；
[深入探究]
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图，延长交的延长线于点，交于点，
∵，，，
∴，
∴直线与的夹角度数为；
[迁移探究]
如图，当在上时，连接，交于点，
∵，，四边形为菱形，
∴，，，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴点三点共线，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
如图，当在上时，延长，交延长线于点，
∵四边形为菱形，
∴，，，
由（）可得三点共线，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
由勾股定理得：，
综上可知：线段的长．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
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