2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）第四章 三角形 专题六 相似三角形（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题六 相似三角形
命题点1 平行线分线段成比例、黄金分割
1．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________．
2．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______．
3．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为______．
4．（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若，则的长为______．
5．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）．
6．（2025·山西吕梁·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一、如图，一个大唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离为___________（结果保留根号）．
7．（2023·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为______．
8．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考
在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：
角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程．证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1），又平分，（依据2），．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；
(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；
(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______．
9．（2025·山西忻州·二模）综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是_________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．
命题点2 相似三角形的判定
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
2．（2025山西太原一模）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西·二模）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为______．
5．（2025·山西阳泉·一模）如图，已知矩形及对角线．
(1)过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（③___________）．（填写推理的依据）
，
．
．
（④___________）．（填写推理的依据）
6．（2025·山西大同模拟）如图，在中，．
(1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）；
(2)证明：．
命题点3相似三角形的性质
1．（2024·山西大同·一模）若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025山西模拟预测）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
3．（2025·山西·二模）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山西·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
5．（2024·山西大同·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______．
6．（2025·山西·三模）综合与实践
问题情境
在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G．
分析探究
（1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
解决问题
（2）如图2，连接，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）图2中，若，直接写出和的长．
命题点4 位似
1．（2024·山西·模拟预测）如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．30
2．（2024·山西晋城·一模）如图，与是位似图形，是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是______．
4．（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______．
5．（2025·山西临汾·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________．
命题点5 相似三角形的实际应用
1．（2025·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西运城·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高为（　　）
A． B．6m C． D．25.8m
3．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米．
4．（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m．
5．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米）
6．（2025·山西太原·一模）综合与实践
校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下：
活动主题 测量运动场围网外路灯的高度
数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点．
测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下：第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数；第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数；第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
数据测量 测量对象测量结果米
解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：……（结果精确到0.1米，参考数据：； ．
实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3：第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米；第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上；第三步：测量……．
(1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程；
(2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米．
（用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）．
1．如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______．
2．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ．
3．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
4．综合与实践
【问题情境】
如图，四边形是菱形，，为其对角线，其中．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点．
【知识探究】
（1）求证：；
（2）如图2，若，．
①求菱形ABCD的面积；
②求的值．
【综合提升】
（3）如图3，若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
5．如图，在中，点在边上，．
(1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
6．综合与实践
问题情境：
某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究．
剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大．
特例探究：
博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据：
x/cm … 1 2 3 4 …
y/ … 4 6 6 4 …
数据分析：
小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论……
问题解决：
（1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）；
（2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大；
建模分析：
（3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），．
设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）．
7．阅读与思考
小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务．
问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图）
方法一：作法步骤：（1）以A为端点作射线．（2）在射线上依次截取线段．（3）连接，过点E作的平行线交AB于点C．证明：，．（依据） 方法二：作法步骤：（1）以为一边作出等边．（2）以为的一半为一边作出等边．（3）连接交于点C．证明：由作图可知和均为正三角形且∴……
任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________
任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程．
任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明）
8．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且．
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
9．如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接．
(1)求证：；
(2)取边的中点，连接，求证：．
10．如图，四边形中，对角线经过的中点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长．
1．综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：
①的度数为 　　；
②若，则的长为 　　；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
2．综合与实践．
在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片．
环节一：矩形纸片的折叠操作
（1）现有矩形纸片，执行以下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平；
操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和．
如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
环节二：正方形纸片的折叠延伸探究
（2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
环节三：折叠问题的拓展应用
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
3．综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示．
数学思考：
（1）四边形的形状为______．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．
1．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________．
3．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
4．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，一名主持人现在站在A处，要想主持效果最理想，则他至少要走______．
一
5．如图，内接于，是的直径延长线上一点，且满足，过圆心作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
6．如图，在中，点分别在边上，且，，，，．求的长；
7．综合与实践．
综合与实践活动是数学重要的学习内容之一，某活动小组利用两个全等的等边三角形做以下活动探究．
【问题情境】
将等边三角形和等边三角形按以下要求叠放：D为边上一点（不与点B，C重合），且（n为正整数），在等边三角形绕点D旋转的过程中，存在M，N分别为与，与的交点．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，活动小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）如图2，探究线段之间数量关系的一般结论，请写出证明过程．
【拓展运用】
（3）如图3，连接，若，，求的值．（用含n的代数式表示）
8．综合与实践：

在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题六 相似三角形(解析版)
命题点1 平行线分线段成比例、黄金分割
1．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ___________．
【答案】20
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点G．
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵点E为边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
故答案为：20．
2．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论．
【详解】解：作交于点H，
，
，
是的中点，
，
∵D是边上的中点，，
∴，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴（负值舍去），
，
∵是的中点，
，
，
∵，
∴，即，
，
故答案为：．
3．（2025·山西太原·二模）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．过A作于M，过E作于H，
则，利用平行线分线段成比例可得，由勾股定理和等腰三角形的性质可求得，则，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解．
【详解】解：过A作于M，过E作于H，
则，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·山西吕梁·二模）如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若，则的长为______．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，连接，利用平行线分线段成比例定理可得，又，即， 所以，证明为等边三角形，可得，由， 所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
5．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）．
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
6．（2025·山西吕梁·二模）唢呐是山西八大套的乐器之一、如图，一个大唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离为___________（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割得，进而可得出．
【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，
∴，即，
∴，
故答案为：．
7．（2023·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为______．
【答案】15
【分析】连接，则，根据解题即可．
【详解】解：连接，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查相似三角形和三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
8．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考
在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：
角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比例，如图1．若为的角平分线，则．下面是小宇对这个定理的证明过程．证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．则，且（依据1），又平分，（依据2），．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；
(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；
(3)如图3，在中，平分交于点D，，则的长为_______．
【答案】(1)平行线分线段成比例定理，等角对等边
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，面积法，掌握相关图形的性质是解题的关键．
（1）根据题中证明过程填写依据即可；
（2）运用面积法进行证明即可；
（3）利用（1）中的结论，求出的长即可．
【详解】（1）解：方法1中的依据1是：平行线分线段成比例；依据2指的是：等角对等边；
故答案为：平行线分线段成比例；等角对等边；
（2）证明：过点A作于点H，过D点作于点E，作于点F，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵中，是角平分线，
∴
∵，
∴，
∴．
9．（2025·山西忻州·二模）综合与探究
如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上．
问题解决：
（1）线段与之间的数量关系是_________；
（2）求的度数．
拓展探究：
（3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论；
（2）连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解；
（3）连接交于，分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别 求解即可．
【详解】解：（1）；
理由：菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
，
即；
故答案为：；
（2）如图，连接．
四边形是菱形，
，．
，
是等边三角形．
．
，
．
．
在和中，
，，，
．
，．
由旋转的性质，得．
．
．
，
，．
．
．
在和中，
，，，
．
．
，
即．
（3）的长为或．
解：连接交于点．
由（2）可知是等边三角形，，
．
四边形是菱形，
，，．
．
．
．
，，
．
．
分两种情况：
①当点在线段上时，如图．
．
由（1）可知．
．
由（2）可知，
．
．
．
②当点在线段上时，如图．
．
由（1）可知．
．
由（2）可知，
．
．
．
综上，的长为或．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
命题点2 相似三角形的判定
1．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　）
已知：如图，在中，点分别在边上，且，求证：．
证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，∴．
A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】证明：②，
④，
①又，
③，
．
故选：B．
2．（2025山西太原一模）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意；
当时，满足两组角对应相等，可判断，故D不符合题意；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意；
当时，其夹角不相等，则不能判断，故B符合题意；
故选：B．
3．（2025·山西·二模）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可推出，再利用相似三角形的性质即可作出选择．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又m，m，m，
∴
解得PA=30m．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质在实际问题中的运用．相似三角形的判定常用的方法有：1、两角对应相等，两个三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；3、三边对应成比例，两个三角形相似．对于两个直角三角形，除了上述方法以外，还有“直角三角形相似的判定定理”：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
4．（2025·山西太原·模拟预测）的三条中线、、交于点，若，则的长为______．
【答案】15
【分析】连接，则，根据解题即可．
【详解】解：连接，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查相似三角形和三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
5．（2025·山西阳泉·一模）如图，已知矩形及对角线．
(1)过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整．
证明：四边形是矩形，
___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（③___________）．（填写推理的依据）
，
．
．
（④___________）．（填写推理的依据）
【答案】(1)图见详解
(2)过程见详解
【分析】本题主要考查垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，在以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半长为半径画弧，然后问题可求解；
（2）根据矩形的性质、平行线的性质及相似三角形的判定定理可进行求解．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）证明：四边形是矩形，
，（矩形的对边平行，每个角都是直角）．
（两直线平行，内错角相等）．
，
．
．
（有两组角对应相等的两个三角形相似）．
6．（2025·山西大同模拟）如图，在中，．
(1)在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定，掌握作图方法是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可．
（2）先证，再结合即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长为半径化弧，分别交，于，，
然后分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，作射线交于，
即为所求；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
命题点3相似三角形的性质
1．（2024·山西大同·一模）若，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理先求出，再根据相似三角形对应角相等即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
2．（2025山西模拟预测）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
3．（2025·山西·二模）如图，某“综合与实践”小组为测量河两岸A，P两点间的距离，在点A所在岸边的平地上取点B、C、D，使A、B、C在同一条直线上，且；使且P、B、D三点在同一条直线上．若测得m，m，m，则A、P两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可推出，再利用相似三角形的性质即可作出选择．
【详解】解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又m，m，m，
∴
解得PA=30m．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质在实际问题中的运用．相似三角形的判定常用的方法有：1、两角对应相等，两个三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；3、三边对应成比例，两个三角形相似．对于两个直角三角形，除了上述方法以外，还有“直角三角形相似的判定定理”：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
4．（2024·山西·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：，
∴，
如图，过作于点，交于点，
∴，，
∴，即，
∴（），
即小孔到的距离为，
故答案为：．
5．（2024·山西大同·一模）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，
∴，
∵的面积为6，
∴，
即阴影部分的面积为，
故答案为：．
6．（2025·山西·三模）综合与实践
问题情境
在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G．
分析探究
（1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
解决问题
（2）如图2，连接，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）图2中，若，直接写出和的长．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），．
【分析】(1)根据矩形的性质证明，再证明，根据边相等逐步推出；
(2)根据矩形的性质和折叠的性质证明，再根据HL证明，得到FG=DG，推出；
(3)根据勾股定理求出BC和CF的长度，过点F作BC的垂线FH，先证明∽，再根据相似求对应边的长度．
【详解】解：（1）
理由如下：∵ 四边形是矩形，
．
．
是边的中点，
．
又，
．
．
，
．
．
（2），
理由如下：如答图，连接，
∵四边形是矩形，
．
．
由折叠可知，
．
，
，
，
又，
，
．
．
．
是边的中点，
．
．
又，
，
．
（3）∵AB=4，
∴ BF=AB=4，
∴，
过点F作BC的垂线FH，如图，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定定理、勾股定理、相似三角形，掌握相关的性质和定理是解题的关键．
命题点4 位似
1．（2024·山西·模拟预测）如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．30
【答案】C
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，
，
，
，
，
的周长的周长
的周长为6，
的周长为24．
故选：C．
2．（2024·山西晋城·一模）如图，与是位似图形，是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵与是位似图形，位似比为，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为．以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，则点B的对应点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，两个坐标的横坐标的比值的绝对值，以及纵坐标的比值的绝对值均为位似比，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵以原点O为位似中心，在第四象限画，使它与的相似比为2，
∴两个三角形的位似比为2，
∴，即：；
故答案为：．
4．（2025·山西长治·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在的延长线上，与关于点位似．若，点的坐标为，则点的坐标为_______．
【答案】
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，由题意得，则与的相似比为，进而可得点的横坐标为，纵坐标为．解题的关键是掌握位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或．．
【详解】解：∵，与关于点位似，
∴，
∴与的相似比为，
即与的相似比为，
∵点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
5．（2025·山西临汾·一模）如图，与位似，点为位似中心，若与的面积比为，则为__________．
【答案】
【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解．
【详解】解：∵与位似，与的面积比为，
∴与位似的位似比是，
∴．
故答案为：．
命题点5 相似三角形的实际应用
1．（2025·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，，，
，
，
，
，则；
，
，
，
，则，
，
，解得，
即蜡烛火焰倒立的像的高度是，
故选：D．
2．（2025·山西运城·一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高为（　　）
A． B．6m C． D．25.8m
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先说明，可得，再代入数值计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，
所以树高为．
故选：B．
3．（2025·山西运城·二模）如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米．
【答案】7
【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得（舍去），
∴，
故答案为：7．
4．（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m．
【答案】36
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，，
由题意可知，，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：36．
5．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米）
【答案】路灯的高度约为7.7米．
【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
【详解】解：设米，
由题意得，
米，
，
，
，
米，米，米，
∴(米），
米，
，
，
，
，
，
解得．
答：路灯的高度约为7.7米．
6．（2025·山西太原·一模）综合与实践
校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下：
活动主题 测量运动场围网外路灯的高度
数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点．
测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下：第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数；第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数；第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
数据测量 测量对象测量结果米
解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：……（结果精确到0.1米，参考数据：； ．
实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3：第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米；第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上；第三步：测量……．
(1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程；
(2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米．
（用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）．
【答案】(1)8.9米
(2)线段；或；或：；
【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用．
（1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题；
（2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度．
【详解】（1）解：设路灯的高度为米，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
米，
，
解得米，
即米；
（2）解：，
，
，
，
米，米，
米，
，
解得；
要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米；
，
米，米，，
，
，
，
要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米；
故答案为：线段，或；或，．
1．如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由勾股定理得：，
∴，解得：，
即，
∴，
故答案为：．
2．如图，在平行四边形中，，E，F分别为的中点，连接并延长至G，满足，连接，．点M是的中点，连接交于点H，若，．则的长为__________________ ．
【答案】
【分析】取的中点N，连接，由平行四边形的性质和线段之间的数量关系，求出，，，，等线段的长，利用“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得和是等边三角形，求出，，利用中位线定理得到，，进而说明，最后根据相似三角形的对应边成比例，计算即可求解．
【详解】解：如图：取的中点N，连接，
平行四边形中，，
，，，
，
，
F是的中点，
，
点N是的中点，
，
，
E为的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点M是的中点，点N是的中点，
，，
，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，中位线定理等知识，正确掌握相关知识是解题的关键．
3．综合与探究
问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或
【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形；
（2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，
由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解：②∵，，，
∴，
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则，
同理得，，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵是以为腰为底的等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想是解题的关键．
4．综合与实践
【问题情境】
如图，四边形是菱形，，为其对角线，其中．点是边延长线上的任意一点，连接交于点，平分交于点．
【知识探究】
（1）求证：；
（2）如图2，若，．
①求菱形ABCD的面积；
②求的值．
【综合提升】
（3）如图3，若，当的大小发生变化时，在上找一点，使为定值，说明理由并求出的值．
【答案】（1）详见解析
（2）①；②
（3）图见解析，理由见解析，
【分析】对于（1），根据菱形的性质得 ，再根据角平分线的定义得，然后根据可得答案；
对于（2）①，连接交于点，交于点，先根据菱形的性质得，再根据勾股定理求出，进而求出，然后根据得出答案；②，先说明，再根据平行线分线段性质得，进而说明，然后根据，可得，
即可求出，接下来求出，最后根据得出答案；
对于（3），作，交于点，连接AC交BD于点K，交DE于点L，根据，可知当的大小发生变化时，始终都有，即可得，进而说明，再根据平行分线段成比例，接下来说明，可得，然后根据，可求出为定值，最后求出即可.
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
．
，
．
（2）解：①如图2，连接交于点，交于点，
，
，
，，
．
，
，
，
；
②，
，
，
.
，
，
.
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作，交于点，则为定值
理由：连接AC交BD于点K，交DE于点L，
，
当的大小发生变化时，始终都有，
.
，
，
.
∵，
，
.
，
∴，
，
.
，
，
为定值；
，
.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求菱形的面积，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质，求正切，作出辅助线构造相似是解题的关键.
5．如图，在中，点在边上，．
(1)实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据相似三角形的判定作，即可满足题意；
（2）根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
（2）∵，
∴．
∵，，，
∴．
解得．
答：的长为3．
6．综合与实践
问题情境：
某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究．
剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在上，使能够剪出的矩形的面积最大．
特例探究：
博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）．剪切并得出以下数据：
x/cm … 1 2 3 4 …
y/ … 4 6 6 4 …
数据分析：
小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论……
问题解决：
（1）博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围）；
（2）选择一块特殊废料如图3所示，．当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大；
建模分析：
（3）如图4所示，若（其中a，b，c为常数），．
设，当矩形的面积y取最大值时，求的长（用含常数的代数式表示）．
【答案】（1）；；（2）；（3）矩形的面积取最大值时，的长为
【分析】本题考查二次函数的应用，判断出用自变量表示的 的长度是解决本题的关键．
(1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，长，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到 的长度，即可得到y与x的关系式；
(2)设，则， 得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值；
(3)用含x的代数式表示出的长，进而可得长，那么可得用x表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当x的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值．
【详解】解：（1） 由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下，
∵二次函数过，
∴当时，y最大，
当时，能够使剪出的矩形的面积最大，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
(2)∵，
∴，
设，则，
∴，
∴ ，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，矩形的面积最大，
∴，
故答案为；
(3)∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，矩形的面积y取最大值，
∴．
故答案为：．
7．阅读与思考
小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务．
问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图）
方法一：作法步骤：（1）以A为端点作射线．（2）在射线上依次截取线段．（3）连接，过点E作的平行线交AB于点C．证明：，．（依据） 方法二：作法步骤：（1）以为一边作出等边．（2）以为的一半为一边作出等边．（3）连接交于点C．证明：由作图可知和均为正三角形且∴……
任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________
任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程．
任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明）
【答案】[任务一] 平行线分线段成比例定理；[任务二]见解析；[任务三]见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质等知识点．
任务一：由平行线分线段成比例定理即可判定；
任务二：根据等边三角形导角得到，则，那么，则，即可得到．
任务三：分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则，那么四边形是菱形，则，再在射线上截取，则，那么，所以，那么，由可得，则，因此，故．
【详解】解：任务一：
证明：，．
（平行线分线段成比例定理），
故答案为：平行线分线段成比例定理；
任务二：
证明：由作图可知和均为正三角形
且
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
任务三：
解：如图，点即为所求：
8．如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且．
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
又在中，点为中点，
，
，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
又点是中点，，
，
，
∵
，
，
．
9．如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接．
(1)求证：；
(2)取边的中点，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，得到，结合点是边的中点，得到，最后结合，即可得证；
（2）由（1）可知，得到，，再证明，推出，然后证明，得到，最后利用，即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
点是边的中点，即，
，
又∵，
；
（2）证明：如图2，
由（1）知：，
，，
，
，
，
又，
∵，
，
点是边的中点，点是边的中点，
，
在中，，即，
．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，解直角三角形，熟练掌握以上知识点灵活证明三角形相似是解题的关键．
10．如图，四边形中，对角线经过的中点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先证明可得，再结合可证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明结论；
（2）由菱形的性质结合已知条件可得、、，得，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：．
1．综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：
①的度数为 　　；
②若，则的长为 　　；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；
②结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案；
（3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案．
【详解】解：（1）①将绕点逆时针旋转得，
，，
为等腰直角三角形，
；
②为等腰直角三角形，，
，
故答案为：①；②；
（2）将绕点逆时针旋转得，如图，
由旋转的性质可得，，，，
，
，，共线，
，
，
，，，
，
，
，
，
设正方形边长为，则，，
在中，，
即，
解得或（负值舍去），
正方形的边长为；
（3）如图，将绕逆时针旋转至，连接，
由旋转的性质可得，，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．
2．综合与实践．
在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片．
环节一：矩形纸片的折叠操作
（1）现有矩形纸片，执行以下操作：
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平；
操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和．
如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
环节二：正方形纸片的折叠延伸探究
（2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
环节三：折叠问题的拓展应用
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用翻折的性质得出，然后利用全等三角形的性质得出相等的边和角，求出，利用含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）利用翻折的性质得出全等三角形，得出对应边相等，然后证明即可得出结论；
（3）设，则，，利用全等三角形表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）如图，假设与的交点为,
在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点
则点为中点，，
在直角三角形中，，
，
∵，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）得
∴，
在正方形中，
,
由题意可知，在和中，
∴，
；
（3），理由如下：
假设，则，，
，点为线段中点，
，
，
，，
由勾股定理得
即
解得，
∴．
3．综合与探究
问题情境：
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示．
数学思考：
（1）四边形的形状为______．
深入探究：
（2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长．
【答案】（1）矩形；（2），详见解析；（3）面积的最大值是6，的长是3
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质及二次函数的应用；
（1）证明即可证明结论；
（2）先证明，再证明，从而证明结论；
（3）先证明，设，则，根据相似三角形性质得出，进而求出面积，再根据二次函数性质求出最值．
【详解】解：（1）由折叠得：，
，
四边形矩形；
（2）．
理由：如解图，连接．
由（1）知四边形是矩形，则．
∵F为的中点，
∴．
∴．
∴．
由折叠的性质，得．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）面积的最大值为6，此时．
设，则．
，
则．
∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最大值，最大值为6．此时．
1．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
过点作交的延长线于点，首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
由作图可知，平分，
．
∵四边形是平行四边形，
．
．
是等边三角形．
．
，
．
．
，．
．
．
，
．
．
故选：A．
2．如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________．
【答案】1
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
3．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．
【答案】/
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴．
∵AB=2米，
∴米．
故答案为：（）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
4．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，一名主持人现在站在A处，要想主持效果最理想，则他至少要走______．
一
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设一个主持人现在站在处，则他应至少再走才最理想，则，
若是与的比例中项，
则，即，
解得（负值舍去）；
若是与的比例中项，
则，即，
解得：或（舍去）；
∵，
∴他应至少再走才最理想，
故答案为：．
5．如图，内接于，是的直径延长线上一点，且满足，过圆心作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由是直径得到，因此，又，，得到，即可证明；
（2）根据勾股定理求出，得到半径．证明，得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求出，根据得到，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∵在中，，
∴
解得，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴．
6．如图，在中，点分别在边上，且，，，，．求的长；
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，代入已知线段长度即可得到答案．
【详解】解：，
∵
∴，
．
又，
．
7．综合与实践．
综合与实践活动是数学重要的学习内容之一，某活动小组利用两个全等的等边三角形做以下活动探究．
【问题情境】
将等边三角形和等边三角形按以下要求叠放：D为边上一点（不与点B，C重合），且（n为正整数），在等边三角形绕点D旋转的过程中，存在M，N分别为与，与的交点．
【初步感知】
（1）如图1，当n＝1时，活动小组探究得出结论：，请写出证明过程．
【深入探究】
（2）如图2，探究线段之间数量关系的一般结论，请写出证明过程．
【拓展运用】
（3）如图3，连接，若，，求的值．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3）
【分析】
本题主要考查等边三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质：
（1）证明可得，由可得结论；
（2）证明可得，由知，代入替换即可得;
（3）由证明是等边三角形，得,由得，求出．
【详解】解：（1）证明：∵是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴，即，
∵，且
∴
∴，
∴；
（2）猜想：，证明如下：
同理可证：
∴，即，
∵，
∴，
∴，
整理得，；
（3）∵是等边三角形，
∴
同（2）可证
∴
∴，
∵，
∴
又
是等边三角形，
∴
∴,
∴
8．综合与实践：

在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠．
矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N．
【问题提出】
（1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______；
【再次探究】
（2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若，，当时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证；
（2）同（1）的方法证明即可；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴
∴
由折叠可知：，
∴
故答案为：．
（2）证明：四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴；
（3）当时，线段的长为或．
①当点在线段上时，如图1，
由可得：，
∴，
∴，，
∴，
∵ 折叠可得，又在上，则
∴点与点重合，
∴；
②当点在的延长线上时，如图2，
由可得：，
∴，即，
则，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴．
综上所述：当时，线段的长为或．

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