2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷） 第四章 三角形 专题七 锐角三角函数及其应用（含解析）

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2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题七 锐角三角函数及其应用
命题点1 锐角三角函数
1．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

4．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
5．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为___________．
6．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为_____．
7．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为______．
8．（2024·山西大同·三模）阅读与思考
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：
(1)如图1，在中，，，，则______；
(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）
(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
命题点2 特殊角的三角函数值
1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 _________．
2．（2025·山西·一模）计算：；
3．（2025·山西·一模）计算：
4．（2025·山西太原·二模）计算：；
5．（2025·山西晋中·二模）计算：
6．（2025·山西晋中·三模）计算：；
7．（2025·山西临汾·二模计算：；
命题点3 锐角三角函数的实际应用
1．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
2．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
3．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
4．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
5．（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：

项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度
驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
人员分工 测量组：××× 记录组：×××
测量方案 方案一： 说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二： 说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上
方案论证
计算结果
交流展示
项目反思
请根据活动报告，完成下面的问题：
(1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，）
(2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由．
6．（2024·山西·模拟预测）崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告．
课题 崛围山舍利塔的调研与计算
调查方式 资料查阅、文物部门走访、实地查看了解
调查内容 结构 舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构……
塔高测量设计图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为．
计算结果 …
交流展示 …
请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
1．如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______．
2．如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
3．如图，四边形中，，，平分交边于点，点恰好是边的中点，则的长为 __．
4．如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______．
5．如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______．
6．在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表：

课题 测量藏经楼的高度
测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
参考数据 CE的坡度，，，．
……
请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到）
7．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．
课题 测量学校艺体中心的消防安全电梯楼的高度
实物图 如图为某校的艺体中心的消防安全电梯楼的实景照片，底部有围栏不可以直接到达，数学综合实践小组计划应用所学知识，计算出电梯楼的总高度．
测量数据及绘图 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，楼梯高为，水平宽为；在A点测的对楼顶C的仰角α为，在B点测的对楼顶C的仰角β为．
任务 求电梯楼的高度．
（结果精确到，参考数据：，，，，，）
8．汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点处，测得观景台正对岸处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，已知观景台高为10米，台面宽为16米（图中所有点均在同一平面内，三点共线），求此河段的宽．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
9．太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在处测得处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔的高度(结果精确到1米．参考数据： )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ．
10．拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容：
活动主题 测量拱极门的高度
测量工具 卷尺、测角仪
方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数；第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长；第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数．说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直．
测量数据 ，，，
参考数据 ，，，，，．
备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏
请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）．
1．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
2．江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案：
课题 测量桥塔顶到江面的距离AB
实物图
测量工具 卷尺、测角仪…
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45°
测量说明 点在同一水平直线上，且均垂直于
参考数据
… …
请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m)
3．同安文笔塔，又名凤山石塔，始建于1600年，位于厦门市同安区城东的九跃山顶峰，文笔塔为砖木结构，五级六面，实心石塔，塔下有曲池、拱桥、“夕照塔影”为文笔胜景，寓意同安学子们考出好成绩、榜上有名．某数学“综合与实践”小组把“测量文笔塔的高度”作为一项课题活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．下面是“综合与实践”小组的测量方案：
课题 测量文笔塔的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪，皮尺
测量示意图
说明：①线段表示塔，垂直地面于点．“综合与实践”小组在该塔底部所在的平地上，选取两个不同的测点，观测塔顶，利用测角仪测得仰角分别为，，并测量这两个测点间的距离．测角仪高度.点，，在同一直线上，点，之间的距离可以直接测得．②为了减小测量误差，小组成员在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
点，之间的距离
参考数据：(，，，，，)
(1)两测点之间的距离平均值为______；
(2)根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践”小组求出文笔塔的高度．
1．先化简，再求代数式的值，其中．
2．计算：．
3．计算：．
4．五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题．
调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响
调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为．②一楼窗户下端距离地面的高度为．③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上．
建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，，，．
测量工具 卷尺
参考数据 ，，，．
问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）；（2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．
5．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
6．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．7．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角；4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示 测量数据 1．2．3．4．5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直．参考数据：，，；，，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．
8．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）
2026年中考数学第一轮复习分层练（山西卷）
第四章 三角形
专题七 锐角三角函数及其应用（解析版）
命题点1 锐角三角函数
1．（2025·山西长治·三模）如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，，，
∴为直径，且，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
2．（2025·山西运城·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据正弦的定义求出，进而求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．（2023·山西·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

【答案】
【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键．
4．（2025·山西长治·二模）在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为，则点的坐标为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为
∵正六边形，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴
在中，
∵在第二象限
∴
故答案为：.
5．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，即，解得：，
∴，
∴，
如图：过B作于G，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵的边上的高相等，
∴，
如图：过D作，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
6．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，求一个角的正弦值，连接，将要求的值转化到中求解是解题的关键；
连接，利用题中条件和勾股定理得出的三边长，进而可求的值，根据同弧所对的圆周角相等得，即可作答．
【详解】如图，连接，
为直径，的半径是6.5，
，
，
，
又在中，，
，
故答案为：
7．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为______．
【答案】
【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，，
∴可推导一般性规律为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，余弦，正弦，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
8．（2024·山西大同·三模）阅读与思考
阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：
(1)如图1，在中，，，，则______；
(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）
(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正弦定理，正确的理解正弦定理是解题的关键．
（1）由题意根据正弦定理即可得到结论；
（2）由题意得到，根据正弦定理即可得到结论；
（3）先求出以及的长，根据正弦定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图：
由题意可知，，，海里，，
∴，
∴，即，
∴，
∴B处与灯塔的距离为海里，
故答案为：．
（3）解：如图：
由题可知，海里，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，海里，
海里，
在中，海里，
∴海里，
由前面定理可知：，
则，
∴，
∴的正弦值．
命题点2 特殊角的三角函数值
1．（2024·山西·中考真题）如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为 _________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质等知识点，正确地添加辅助线构造相似三角形并利用相似三角形的性质进行计算是解题的难点和关键．
如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，由得，进而得，则，再由得，则，由，得，在中由勾股定理得，则，证明得，则，再证明得，由此可得BG的长．
【详解】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得： ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2025·山西·一模）计算：；
【答案】
【分析】题目主要考查特殊角的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算特殊角的三角函数、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
3．（2025·山西·一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的化简、0指数幂和特殊角的三角函数；
根据有理数乘方，开平方，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则化简各项，再合并各项，即可解题；
【详解】解：原式
．
4．（2025·山西太原·二模）计算：；
【答案】3
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
利用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的性质进行化简，再计算即可；
【详解】解
；
5．（2025·山西晋中·二模）计算：
【答案】)3
【分析】本题考查实数的混合运算涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值的化简，再加减运算即可求解；
【详解】解：
；
6．（2025·山西晋中·三模）计算：；
【答案】；
【分析】本题主要考查实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键。
先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案；
【详解】解：（1）原式
．
7．（2025·山西临汾·二模计算：；
【答案】（1）
【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂、含特殊角的三角函数的混合运算，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先化简零次幂、负整数指数幂、含特殊角的三角函数值，算术平方根，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
；
命题点3 锐角三角函数的实际应用
1．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上．图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
2．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，．
【答案】点A到地面的距离的长约为27米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：延长交于点，
由题意得，四边形为矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
设米．
，
，
，
解得，
（米）；
答：点到地面的距离的长约为27米．
3．（2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
【答案】的长约为的长约为．
【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，

∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
4．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】点到工作台的距离为6.1米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，
则四边形是矩形，，
米，，
，
在中，，
（米），
，
，
在中，，，
（米），
（米），
，
点到工作台的距离和点到工作台的距离相等．
答：点到工作台的距离为6.1米．
5．（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：

项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度
驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
人员分工 测量组：××× 记录组：×××
测量方案 方案一： 说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二： 说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上
方案论证
计算结果
交流展示
项目反思
请根据活动报告，完成下面的问题：
(1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，）
(2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由．
【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为；
(2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一）
【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）延长交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，然后求出的长，再在中求出的长即可求解；
（）答案不唯一，合理即可；
【详解】（1）解：如解，延长交于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：百团大战纪念碑主碑的高度约为；
（2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一）
6．（2024·山西·模拟预测）崛围山位于山西省太原市尖草坪区，从山顶向下俯视，四周群山如涛似浪，宛转盘旋，形成一个巨大的漩涡，像倒立的喇叭，又如硕大的圆盘，“崛围山”之名由此而来．在山顶处建有舍利塔，做工精巧别致，立于崛围山之巅．某校“综合与实践”小组的同学把“测量崛围山舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查、并形成了如下活动报告．
课题 崛围山舍利塔的调研与计算
调查方式 资料查阅、文物部门走访、实地查看了解
调查内容 结构 舍利塔位于多福寺东南的山顶，原是宋代建筑，共7层，塔基呈6角6面、平台用砖石砌成，塔身为砖木结构……
塔高测量设计图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E、F均在同一竖直平面内，与地面平行，斜坡的坡角，塔顶端E的仰角，从点A出发沿着坡面前行36米到达点D处，测得塔顶点E的仰角为．
计算结果 …
交流展示 …
请根据活动报告计算舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】舍利塔的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用——仰角、俯角，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作的垂线，交延长线于点，易求，，进而求出，证明，再根据直角三角形的性质求出，求出，解直角三角形求出，即可解答．
【详解】解：过点D作的垂线，交延长线于点，则，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：舍利塔的高度约为．
1．如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理．
作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，可得，即可求解．
【详解】解：作，交于点F，过点E作，垂足为点G，
则．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
设，
则．
∴．
∵，
∴．
即．
解得：．
∴．
故答案为：．
2．如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，过点作的垂线，与交于点为的中点，连接，若，则_____．
【答案】
【分析】过作，交于点，交于点，作于点，可得，，然后，再求，再证明，求出，最后在中根据勾股定理即可求解.
【详解】解：如图；过作，交于点，交于点，作于点，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵在中，，
∴
∵正方形的边长为4
∴，
∴在中，
在中，
∴
∵为的中点，
∴
∴在中，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，正方形的边长为4
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴在中，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，勾股定理，题目综合性强，理清思路，准确作出辅助线是解题的关键．
3．如图，四边形中，，，平分交边于点，点恰好是边的中点，则的长为 __．
【答案】
【分析】此题考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，证明，得到，，证明，，得到，根据勾股定理，得，由，进一步得到，即可求出答案．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理，得，
，
，
，
，
故答案为：．
4．如图，在中，，D为的中点，将直角三角形纸片的直角顶点放置在点D处，点E在的延长线上，点F在上，且．若，，则的长为_______．
【答案】
【分析】如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为，易证四边形是矩形，再证明，推出，再证明，由，，求出，设，则，，得到，再求出，由建立方程求解出的值，进而得到，，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点D分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，合理作出辅助线构造三角形全等，三角形相似是解题的关键．
5．如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论．
【详解】解：作交于点H，
，
，
是的中点，
，
∵D是边上的中点，，
∴，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴（负值舍去），
，
∵是的中点，
，
，
∵，
∴，即，
，
故答案为：．
6．在太原市迎泽公园内，矗立着一座层台耸翠，飞阁流丹的巍峨建筑——藏经楼．这座于世纪年代由晋中市太谷县整体迁移而来的楼阁，在近半个世纪的时间里，一直是太原城的一处标志性景观．某数学课外活动小组开展了“测量藏经楼的高度”的课题活动，具体方案和数据如下表：

课题 测量藏经楼的高度
测量方案 活动小组在距坡底C处5m的E处测得藏经楼顶A的仰角为，在坡底C处测得藏经楼顶A的仰角为．点A，B，C，E都在同一平面内．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
参考数据 CE的坡度，，，．
……
请你帮忙求出藏经楼的高度．（结果精确到）
【答案】
【分析】由CE的坡度和长度，利用勾股定理可求出长度，设，在和中，利用和，表示出，列方程求解即可．
【详解】解：过点E作于点G，作于点F．
由题意可得，，，
则四边形是矩形．
∴，．
∵的坡度，
∴设，，
∵在中，，
∴，即，
解得（负值舍去）．
∴，．
设．
∵在中，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵在中，，，
即，
∴．
解得．
答：藏经楼的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，矩形的判定，坡比，仰角俯角，掌握相关知识是解决问题的关键．
7．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．
课题 测量学校艺体中心的消防安全电梯楼的高度
实物图 如图为某校的艺体中心的消防安全电梯楼的实景照片，底部有围栏不可以直接到达，数学综合实践小组计划应用所学知识，计算出电梯楼的总高度．
测量数据及绘图 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，楼梯高为，水平宽为；在A点测的对楼顶C的仰角α为，在B点测的对楼顶C的仰角β为．
任务 求电梯楼的高度．
（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】电梯楼的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点B作于点F，则四边形为矩形，得到，，在中，由，得到，设长为x，则长为，，，在中，利用，得，求出x的值，进而即可求出答案．
【详解】解：过点B作于点F，则四边形为矩形，
，
在中，，，
．
．
设长为x，则长为，，，
在中，，，
．
．
．
．
答：电梯楼的高度约为．
8．汾河是三晋大地的母亲河，以七百里的磅礴之躯滋养千年文明，用一泓碧水映照新时代的生态华章．在综合实践课上，实践小组使用无人机测量汾河（图1）某段的宽度．如图2，他们在河岸一侧的观景台（矩形）上升起一架无人机，当无人机飞到河面上方点处，测得观景台正对岸处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，测得观景台顶端处的俯角为，已知观景台高为10米，台面宽为16米（图中所有点均在同一平面内，三点共线），求此河段的宽．（结果保留一位小数，参考数据：，，）
【答案】该河段的宽约为米．
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质．过点作于点，过点作于点．设米，米，利用解直角三角形得到，以及，建立等式求出，进而求出，再根据求解，即可解题．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．
则四边形为矩形，
根据题意得，米，米．
设米，米，
在中，，
即．
在中，，
即，
，
解得，
．
在中，
（米），
该河段的宽约为米．
9．太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点是桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在处测得处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔的高度(结果精确到1米．参考数据： )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ．
【答案】（1）；（2）56米和
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键；
（1）延长交于点，则，分别解，，求得，进而根据，，即可求解；
（2）依题意由（1）可得只需要求得的长度，则只需要数据，即可求解．
【详解】解：（1）如图，延长交于点，则，
在中，，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵沿水平方向由点 飞行米到达点 处，
∴，
解得；，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴（米），
答：桥塔的高度约为米；
（2）考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，
由（1）可得只需要求得的长度，
∴只需数据，则原数据采集方案( ，米， ）中至多可以删减的数据为56米和，
故答案为：56米和．
10．拱极门位于太原市北大街，是明太原府城八门中从未更名的城门之一．某数学兴趣小组开展实践活动、采用如下方案测量拱极门的高度，下面是他们实践报告的部分内容：
活动主题 测量拱极门的高度
测量工具 卷尺、测角仪
方案设计 第一步：在G处使用测角仪测得拱极门顶部点A的仰角，的度数；第二步：沿着方向走到I处，用皮尺测得的长；第三步：在I处使用相同高度的测角仪测得拱极门顶部点A的仰角的度数．说明：地面上的点G，I，B在同一水平直线上，，表示测角仪，表示拱极门的高，，，均与垂直．
测量数据 ，，，
参考数据 ，，，，，．
备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏
请根据该小组的报告计算拱极门的高度（结果精确到）．
【答案】拱极门的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键．
延长交于点C，求出，，解直角三角形得到，求出，进而求解即可．
【详解】解：延长交于点C，
由题可知，四边形和四边形为矩形，
，，
在中，，，
，即．
在中，，
，即．
，
．
解，得．
，
．
答：拱极门的高度约为．
1．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
【答案】(1)点A的铅直高度是
(2)A，E两点的水平距离约为
【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和解直角三角函数的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
（1）作，，，垂足分别为点G，H，M，根据含的直角三角形的性质可得，再在中运用三角函数进而即可求解；
（2）在中，根据含的直角三角形的性质可得，最后在中运用三角函数进而即可求解．
【详解】（1）解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M，
在中，，，
，
，
在中，，
，
．
点A的铅直高度是；
（2）解：在中，，
在中，，
，
，
答：A，E两点的水平距离约为．
2．江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案：
课题 测量桥塔顶到江面的距离AB
实物图
测量工具 卷尺、测角仪…
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45°
测量说明 点在同一水平直线上，且均垂直于
参考数据
… …
请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m)
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，，则，继而求得，再用的正切值建立方程求解即可．
【详解】解：由题意，得，，
设，则．
，
在中，
∴
在中，
，即
解得
∴主桥塔顶到江面的距离为．
3．同安文笔塔，又名凤山石塔，始建于1600年，位于厦门市同安区城东的九跃山顶峰，文笔塔为砖木结构，五级六面，实心石塔，塔下有曲池、拱桥、“夕照塔影”为文笔胜景，寓意同安学子们考出好成绩、榜上有名．某数学“综合与实践”小组把“测量文笔塔的高度”作为一项课题活动．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．下面是“综合与实践”小组的测量方案：
课题 测量文笔塔的高度
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 测角仪，皮尺
测量示意图
说明：①线段表示塔，垂直地面于点．“综合与实践”小组在该塔底部所在的平地上，选取两个不同的测点，观测塔顶，利用测角仪测得仰角分别为，，并测量这两个测点间的距离．测角仪高度.点，，在同一直线上，点，之间的距离可以直接测得．②为了减小测量误差，小组成员在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取他们的平均值作为测量结果．
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角的度数
仰角的度数
点，之间的距离
参考数据：(，，，，，)
(1)两测点之间的距离平均值为______；
(2)根据以上测量数据，请你帮助“综合与实践”小组求出文笔塔的高度．
【答案】(1)
(2)文笔塔的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题；
（1）求出测量距离的平均数即可；
（2）过点作于点，延长与测角仪交于点，构造两个直角和，解直角三角形求出，然后计算即可解答．
【详解】（1）解：两测点之间的距离平均值为：．
故答案为：；
（2）过点作于点，延长与测角仪交于点，
由题意得，，，，
在中，，
在中，，
，
即)
解得，
，
答：文笔塔的高度约米．
1．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
2．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键．
分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
3．计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．
【详解】解：原式
．
4．五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题．
调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响
调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为．②一楼窗户下端距离地面的高度为．③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上．
建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，，，．
测量工具 卷尺
参考数据 ，，，．
问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）；（2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．
【答案】（1）；
（2），不会影响一楼的采光
【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
（1） 根据正切的定义求出；
（2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可．
【详解】解：（1）根据题意，得，
在Rt中，，，，
∵，
∴，
∴楼房的高度为；
（2）如图，延长交的延长线于点F，
∵，
∴
在Rt中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在Rt中，
∵一楼窗户下端距离地面的高度为，
∴不会影响一楼的采光．
5．小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求．
【详解】解：如解图，延长交于点，则，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，
河宽约为．
6．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
【答案】(1)10米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作于点E，则
∵斜坡的坡度，
∴，
∵在中，，
即，
∴米，
∴平台的高度是10米．
（2）解：延长交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，则（米），
∵在中，，
∴（米），
∵在中，，
∴（米），
∴米，
由（1）有（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
即建筑物的高度（即的长）为米．
7．某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角；4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示 测量数据 1．2．3．4．5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．均与地面垂直．参考数据：，，；，，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：校徽的高度为．
8．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）
【答案】大楼的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：大楼的高度约为．
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