分式的化简求值
2026
春
季
班
分式的化简求值 1
课堂讲解 1
1. 用直接代入法求值 1
2. 用挑选合适的数值代入求值 2
3. 用整体代入法求值 3
4. 对有条件的分式化简求值 4
课后练习题 5
1. 给定字母的值,代入求值 5
2. 选择合适的值,代入求值 5
3. 整体代入求值 6
4. 化简已知条件求值 6
分式的化简求值
课堂讲解
1.用直接代入法求值
x21. +2x+1 1 x
2
例题 先化简，再求值： x-1 ÷ x-1 - x-1 ，其中 x=-3．
【分析】根据分式的运算法则先将原式化简，再将 x的值代入即可求解．
(x+1)2 2 (x+1)2 (x+1)2
解：原式= ÷ 1-x x-1x-1 x-1 = x-1 2 =
x-1 x+1
1-x x-1 (1+x)( -
=
1 x) 1-x ，
当 x= 1时，原式= -3+1 1
1-(- =- ．3) 2
变式1.1 a 1 a-1先化简，再求值： a+2 + 2 ÷ a+2 +
1
a ，其中 a=
1
a -4 2
．
【分析】首先将括号里面通分运算，进而分解因式化简求出即可．
= a(a-2)
2
解：原式 ( + )( - ) +
1 × a+2 + 1 = (a-1) × a+2 + 1
a 2 a 2 (a+2)(a-2) a-1 a (a+2)(a-2) a-1 a
= a-1 1 a
2-2
a-2 + a = a(a-2) ，
1 -2
把 a= 1 4 72 代入得，原式= 1 1 = 3 ．
2 2 -2
变式1.2 a- 2ab-b
2 2
÷ a -b
2
先化简，再求值： a a ，其中 a= 2，b= 3．
【分析】根据分式的减法运算法则以及除法运算法则进行化简，然后将 a与 b的值代入化简后的式子
即可求出答案．
- 2ab-b
2 2 2 2 2
÷ a -b = a -2ab+b a = (a-b)
2
a a = a-b解： a a a 2 2 a ( + )( - ) + ，a -b a b a b a b
当 a= 2，b= 3时，原式= 2-3 12+3 = 5 ．
变式1.3 x+3 5先化简，再求值：x-2 ÷ x+2- x-2 ，其中 x= 20220+ 2-1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到
最简结果，
x+3 (x+2)(x-2)-5 x+3 x-2 1
解：原式= x-2 ÷ x-2 = x-2 × ( + = ，x 3)(x-3) x-3
∵ x= 20220+ 2-1= 1+ 1 = 32 2
x= 3 = 1 2当 2 时，原式 3 =- 3 ．
2 -3
1
2.用挑选合适的数值代入求值
2. 1 a
2-1
例题 先化简，再求值： 1- a+2 ÷ 2 ，其中 a可能是-2，0，1，-1，2022，请选择你喜欢的 aa +2a
的值，再化简求值．
= a+2-1 a(a+2) a(a+1)解：原式 aa+2 (a+1)( = = ，a-1) (a+1)(a-1) a-1
由分式有意义的条件可知 a不能取±1，0，-2，
故 a= 2022，
原式= 2022 20222022-1 = 2021 ．
变式2.4 5 1 4m先化简，再求值： m-3 + 3-m ÷ 2 ，设m是你喜欢的一个数字，代入计算．m -6m+9
(m-3)2 (m-3)2
解： 5 1 4m 5-1 4 m-3m-3 + 3-m ÷ 2 = m-3 4m = m-3 m -6m+9 4m = m ，
∵m- 3≠ 0且 4m≠ 0，
∴m≠ 3且m≠ 0，
1-3
故当m= 1时，原式= 1 =-2．
2
变式2.5 3 a -4a+4先化简： a-1 -a-1 ÷ a-1 ，然后从 0≤ a< 3中选一个合适的整数作为 a的值代
入求值．
3
2
-a-1 ÷ a -4a+4 3
2
解 ： a-1 a-1 = a-1 -( + )
a-1 = 3-(a -1)a 1 a-1 =(a-2)2 a-1 (a-2)2
4-a2 a-1 = (2+a)(2-a) a-1 = 2+aa-1 (a-2)2 a-1 (2-a)2 2-a
，
∵ a- 1≠ 0，a- 2≠ 0，
∴ a≠ 1，a≠ 2，
∵ 0≤ a< 3且 a取整数，
∴ a= 0，
∴当 a= 0 2+0时，原式= 2-0 = 1．
2
变式2.6 1 x -1先化简，再求值： x+2 -1 ÷ 2 ，从-2≤ x≤ 2的范围内选一个合适的整数作为x +4x+4
x的值代入求值．
2 2
1 -1 ÷ x
2-1 = 1-x-2 (x+2) -(x+1) (x+2) x+2解： x+2 x2+4x+4 x+2 (x+1)(
=
x-1) x+2 ( + )( - ) =x 1 x 1 1-x ，
∵ x≠±1或 x≠-2时原分式无意义，
∴在-2≤ x≤ 2的范围内使分式有意义的 x的整数值为 x= 0，2
∴ x= 0 = 0+2当 时，原式 1-0 = 2．
2
3.用整体代入法求值
例题3.已知 x2+ x- 5= 0 1 1 5，求代数式 x + x+1 6x+3 的值．
解 ： 1 + 1 5 = x+1 + x 5 = x+1+x 5x x+1 6x+3 x( =x+1) x(x+1) 6x+3 x(x+1) 3(2x+1)
2x+1 5 5( + ) ( = ，x x 1 3 2x+1) 3x(x+1)
∵ x2+ x- 5= 0，
∴ x2+ x= 5，
x22+ = = +x = x(x+1)当 x x 5时，原式 1
3x(x+1) = ．3x(x+1) 3
2
变式3.7 x 3先化简，再求值： y -y x-y ，其中 3x+ 4y= 0．
x2 x2-y2 (x+y)(x-y) 3x+3y
解： y -y
3 3 3
x-y = y x-y = y x-y = y ，
∵ 3x+ 4y= 0，
∴ 3x=-4y，
-4y+3y
当 3x=-4y时，原式= y =-1．
变式3.8 已知 a+ b= 5 ab= 3 b + a， ，则求 a 的值.b
解：∵ a+ b= 5，ab= 3，
b a b2+a2∴ + = = (a+b)
2-2ab 52= -2×3 = 25-6a 3 3 =
19
，
b ab ab 3
∴ b + a 19a 的值是 3 ．b
变式3.9 如果 3x- 2y= 0 x 3x，求代数式 y +1 x+y 的值.
x + 3x = x+y解： y 1 x+y y
3x
x+y =
3x
y ，
∵ 3x- 2y= 0 ∴ x， y =
2
3 ，
∴ x 2原式= 3× y = 3× 3 = 2．
3
4.对有条件的分式化简求值
2y2-xy x2-2xy
例题4.先化简，后求值： x-y +x-2y ÷ 2 ，其中 |x+ 3| + y+5= 0．x -xy
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选 x、y的值代入计算可得．
= -y(x-2y) + - x(x-y) = -y(x-2y) x(x-y) + ( - ) x(x-y)解：原式 x- y x 2y x( - x 2yx 2y) x-y x(x-2y) x(x-2y)
=-y+ x- y= x- 2y，
∵ |x+ 3| + y+5= 0，
∴ x+ 3= 0，y+ 5= 0，
∴ x=-3，y=-5，
∴原式=-3- 2× (-5) = 7．
2 2
变式4.10 a +2ab+b 1先化简，在求值： + ÷ a +
1 ，其中 a，b互为倒数．a b b
(a+b)2= ÷ a+b解：原式 + = (a+ b)
ab
a b ab a+ = ab，b
∵ a，b互为倒数，
∴ ab= 1，
∴原式= 1．
3 x-2 x-3(x-2)≥2变式4.11 化简： x-1 -x-1 ÷ 2 ，并从不等式组 的解集中选择一个合x -2x+1 4x-2<5x-1
适的整数解代入求值．
= 3-(x+1)(x-1) (x-1)
2 2 2
= 4-x
2
(x-1) (x+2)(x-2) (x-1)解：原式 x-1 x-2 x-1 x-2 =- x-1 x-2 =- (x+ 2) (x
- 1) =-x2- x+ 2，
x-3(x-2)≥2①∵ ，4x-2<5x-1②
∴-1< x≤ 2，
由分式有意义的条件可知：x不能取 1和 2，
故 x= 0，
原式= 0+ 0+ 2= 2．
1 x2-4x+4 x2变式4.12 - ÷ -2x先化简，再求值：x-1 2 x+1 ，其中 |x- 2| = 1．x -1
2
= 1 - (x-2) x+1 = 1 - x-2 = x-(x-2) x-x+2解：原式 x-1 (x+1)(x-1) x(x-2) x-1 x(x-1) x( - ) = ( =x 1 x x-1)
2
，
x2-x
∵ |x- 2| = 1，∴ x- 2=±1，∴ x= 3或 x= 1，
∵ x2- 1≠ 0，x(x- 2) ≠ 0，∴ x≠±1，x≠ 0，x≠ 2，
∴当 x= 3 2 2 1时，原式= 2 =3 -3 6
= 3 ．
4
课后练习题
1.给定字母的值,代入求值
1. , : ab ÷ 1 + 2b先化简 再求值 - + ,其中 a= 5+ 1 , b= 5- 1.a b a b a2-b2
解: ab- ÷
1
+ +
2b
2 2 = ab- ÷
a-b+2b
( + )( - ) =
ab
- ·
(a+b)(a-b) = ab,
a b a b a -b a b a b a b a b a+b
当 a= 5+ 1 , b= 5- 1时,
原式= ( 5+ 1) ( 5- 1) = 5- 1= 4.
2 -1
2.先化简,再求值: a+1- 5+2a ÷ a +4a+4a+1 a+1 ,其中 a= 9+ |-2| -
1
2 .
2
解: a+1- 5+2a ÷ a
2+4a+4 = (a+1) -(5+2a) a+1 a
2+2a+1-5-2a a+1
a+1 a+1 a+1 · (a+2)2
= a+1 · (a+2)2
a2= -4 · a+1 = (a+2)(a-2) a+1 a-2a+1 (a+2)2 a+1
· = ,
(a+2)2 a+2
-1
∵ a= 9+ |-2| - 12 = 3+ 2- 2= 3,
∴原式= 3-2 13+2 = 5 .
2.选择合适的值,代入求值
3. 1- 1 ÷ a-2 + a-1先化简 a-1 2 2 ,再从 1 , 2 , 3中选一个适当的数代入求值.a -2a+1
解: 1- 1 ÷ a-2 + a-1 = a-2 · 2 + a-1 = 2 + 1 3a-1 2 a2-2a+1 a-1 a-2 (a-1)2 a-1 a-1 = a-1 .
因为 a= 1 , 2时分式无意义,所以 a= 3.
当 a= 3时,原式= 3 33-1 = 2 .
4. , : x+2+ 4 ÷ x
3
先化简 再求值 x-2 2 ,其中 x是满足条件 x≤ 2的合适的非负整数.x -4x+4
4 x3 x2
2
解: x+2+ ÷ = -4 4 x
3 x2 (x-2) x-2
x-2 2 +x -4x+4 x-2 x-2 ÷ = · = ,(x-2)2 x-2 x3 x
∵ x≠ 0且 x- 2≠ 0,
∴ x≠ 0且 x≠ 2 ,∴ x= 1,
∴原式= 1-21 =-1.
3.整体代入求值
5
5. 已知m+n= 2 ,mn=-1 , m+1 n+1则 n + m = -8 .
: m+1 + n+1
2
= m +m+n
2+n = (m+n)
2-2mn+m+n 22= -2×(-1)+2解 n m mn mn -1 =-8.
6. 先化简, (a+1)(a+2)再求值. 1 a+2已知实数 a满足 a2+ 2a+ 1= 2 ,求 a+1 - 2 ÷ 的值.a -1 a2-2a+1
解: 1 - a+2 ÷ (a+1)(a+2) = 1 - a+2 (a-1)
2
1 a-1
a+1 a2-1 a2-2a+1 a+1 ( + )( - )
· ( + )( + ) =a 1 a 1 a 1 a 2 a+1 - (a+1)2
= a+1 - a-1 = 2 ,
(a+1)2 (a+1)2 a2+2a+1
∵ a2+ 2a+ 1= 2 ,∴原式= 22 = 1.
4.化简已知条件求值
7. , : 1 2 x-2先化简 再求值 x+y - 2 ÷ 2x ,其中实数 x , y满足 y= x-3- 6-2x+ 1.x +xy
解: 1 - 2x+y x2+xy ÷
x-2 = 1 2 2x x-2 2x 22x x+y - × = ×x(x+y) x-2 x(x+y) x-2 = x+y ,
∵实数 x , y满足 y= x-3- 6-2x+ 1,
x-3≥0, x≥3,∴ 解得 6-2x≥0, x≤3,
∴ x= 3 ,∴ y= 1,
∴原式= 2 13+1 = 2 .
2(x-1)8. 2 x-1先化简,再求值: 2 ÷ 1- 2 ,其中 x是不等式组 的整数解.x +x x -1 5x+3≥2x
解: 2 ÷ 1- x-1 = 2
2
÷ x -1-x+1 = 2 · (x+1)(x-1) = 2 .
x2+x x2-1 x(x+1) (x+1)(x-1) x(x+1) x(x-1) x2
2(x-1)∴该不等式组的整数解为-1 , 0 , 1 , 2,
∵ x≠ 0 , x+ 1≠ 0 , (x+ 1) (x- 1) ≠ 0 , x(x- 1) ≠ 0,
∴ x只能取 2,
当 x= 2时,原式= 2 = 1
22 2
.
6分式的化简求值
2026
春
季
班
分式的化简求值 1
课堂讲解 1
1. 用直接代入法求值 1
2. 用挑选合适的数值代入求值 2
3. 用整体代入法求值 3
4. 对有条件的分式化简求值 4
课后练习题 5
1. 给定字母的值,代入求值 5
2. 选择合适的值,代入求值 5
3. 整体代入求值 6
4. 化简已知条件求值 6
参考答案 7
分式的化简求值
课堂讲解
1.用直接代入法求值
x21. +2x+1
2
例题 先化简，再求值： x-1 ÷
1 x
x-1 - x-1 ，其中 x=-3．
变式1.1 a + 1 ÷ a-1 + 1 1先化简，再求值： a+2 a2-4 a+2 a ，其中 a= 2 ．
2 2 2
变式1.2 a- 2ab-b a -b先化简，再求值： a ÷ a ，其中 a= 2，b= 3．
变式1.3 x+3 5先化简，再求值： 0 -1x-2 ÷ x+2- x-2 ，其中 x= 2022 + 2 ．
1
2.用挑选合适的数值代入求值
2. 1- 1 ÷ a
2-1
例题 先化简，再求值： a+2 2 ，其中 a可能是-2，0，1，-1，2022，请选择你喜欢的 a的a +2a
值，再化简求值．
变式2.4 5 1 4m先化简，再求值： m-3 + 3-m ÷ 2 ，设m是你喜欢的一个数字，代入计算．m -6m+9
3 a2变式2.5 先化简： a-1 -a-1 ÷
-4a+4
a-1 ，然后从 0≤ a< 3中选一个合适的整数作为 a的值代入
求值．
1 x2变式2.6 -1 ÷ -1先化简，再求值： x+2 ，从-2≤ x≤ 2的范围内选一个合适的整数作为 xx2+4x+4
的值代入求值．
2
3.用整体代入法求值
例题3.已知 x2+ x- 5= 0，求代数式 1 + 1 5x x+1 6x+3 的值．
2
变式3.7 x先化简，再求值： y -y
3
x-y ，其中 3x+ 4y= 0．
变式3.8 已知 a+ b= 5，ab= 3 b a，则求 a + 的值.b
变式3.9 如果 3x- 2y= 0 x 3x，求代数式 y +1 x+y 的值.
3
4.对有条件的分式化简求值
2y2-xy x2-2xy
例题4.先化简，后求值： x-y +x-2y ÷ 2 ，其中 |x+ 3| + y+5= 0．x -xy
2
变式4.10 a +2ab+b
2
÷ 1 + 1先化简，在求值： + a ，其中 a，b互为倒数．a b b
3 x-2 x-3(x-2)≥2变式4.11 化简： x-1 -x-1 ÷ ，并从不等式组 的解集中选择一个合适x2-2x+1 4x-2<5x-1
的整数解代入求值．
变式4.12 1 x
2
- -4x+4 ÷ x
2-2x
先化简，再求值：x-1 x2-1 x+1
，其中 |x- 2| = 1．
4
课后练习题
1.给定字母的值,代入求值
1. 先化简, ab 1 2b再求值: - ÷ + + 2 2 ,其中 a= 5+ 1 , b= 5- 1.a b a b a -b
2 -1
2. 5+2a先化简,再求值: a+1- a+1 ÷
a +4a+4
a+1 ,其中 a= 9+ |-2| -
1
2 .
2.选择合适的值,代入求值
3. 1- 1 ÷ a-2 + a-1先化简 a-1 2 2 ,再从 1 , 2 , 3中选一个适当的数代入求值.a -2a+1
3
4. 先化简,再求值: x+2+ 4x-2 ÷
x
2 ,其中 x是满足条件 x≤ 2的合适的非负整数.x -4x+4
第5页，共10页
3.整体代入求值
5. 已知m+n= 2 ,mn=-1 , m+1 + n+1则 n m = .
, (a+1)(a+2)6. 先化简 再求值.已知实数 a满足 a2+ 2a+ 1= 2 , 1求 a+1 -
a+2
2 ÷ 2 的值.a -1 a -2a+1
4.化简已知条件求值
7. 1 2 x-2先化简,再求值: x+y - 2 ÷ 2x ,其中实数 x , y满足 y= x-3- 6-2x+ 1.x +xy
2(x-1)8. 2先化简,再求值: 2 ÷ 1- x-12 ,其中 x是不等式组 的整数解.x +x x -1 5x+3≥2x
第6页，共10页
参考答案
例题1.【分析】根据分式的运算法则先将原式化简，再将 x的值代入即可求解．
= (x+1)
2
÷ 1-x
2
= (x+1)
2
x-1 (x+1)2 x-1 x+1
解：原式 x-1 x-1 x-1 = 1-x2 x-1 (1+x)(1-x)
= 1-x ，
当 x= 1时，原式= -3+1-(- ) =-
1
1 3 2
．
变式1.1【分析】首先将括号里面通分运算，进而分解因式化简求出即可．
= a(a-2) + 1 × a+2 + 1 = (a-1)
2
a+2 1
解：原式 (a+2)( × +a-2) (a+2)(a-2) a-1 a (a+2)(a-2) a-1 a
= a-1 1 a
2-2
a-2 + a = ( - ) ，a a 2
1
a= 1 4
-2 7
把 2 代入得，原式= 1 1
=
-2 3
．
2 2
变式1.2【分析】根据分式的减法运算法则以及除法运算法则进行化简，然后将 a与 b的值代入化简后
的式子即可求出答案．
a- 2ab-b
2 a2 ÷ -b
2 a2= -2ab+b
2
a = (a-b)
2
解： a a a 2 2 a
a a-b
a -b (a+b)(a-b)
=
a+ ，b
当 a= 2 2-3 1，b= 3时，原式= 2+3 = 5 ．
变式1.3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，
解：原式= x+3 ÷ (x+2)(x-2)-5x-2 x-2 =
x+3 x-2 1
x-2 × ( + )( - ) = x-3 ，x 3 x 3
∵ x= 20220+ 2-1= 1+ 1 = 32 2
x= 3当 2 时，原式=
1
3 =-
2
-3 3
．
2
= a+2-1 a(a+2) a(a+1) a例题2.解：原式 a+2 (a+1)(a-1) = ( = ，a+1)(a-1) a-1
由分式有意义的条件可知 a不能取±1，0，-2，
故 a= 2022，
= 2022 = 2022原式 2022-1 2021 ．
(m-3)2 (m-3)2
变式2.4 5 + 1 ÷ 4m 5-1 4 m-3解： m-3 3-m m2 = = = ，-6m+9 m-3 4m m-3 4m m
∵m- 3≠ 0且 4m≠ 0，
∴m≠ 3且m≠ 0，
1-3
故当m= 1时，原式= 1 =-2．
变式2.5 3
2 2
解： a-1 -
3-(a -1)
a-1 ÷ a -4a+4 3 a-1 a-1a-1 = a-1 -(a+1) = =(a-2)2 a-1 (a-2)2
第7页，共10页
4-a2 a-1 = (2+a)(2-a) a-1 2+aa-1 (a-2)2 a-1
= ，
(2-a)2 2-a
∵ a- 1≠ 0，a- 2≠ 0，
∴ a≠ 1，a≠ 2，
∵ 0≤ a< 3且 a取整数，
∴ a= 0，
∴当 a= 0 = 2+0时，原式 2-0 = 1．
2
变式2.6 1 -1 ÷ x -1 = 1- -
2 2
x 2 (x+2) -(x+1) (x+2)解： x+2 2 = =x +4x+4 x+2 (x+1)(x-1) x+2 (x+1)(x-1)
x+2
1-x ，
∵ x≠±1或 x≠-2时原分式无意义，
∴在-2≤ x≤ 2的范围内使分式有意义的 x的整数值为 x= 0，2
∴当 x= 0 0+2时，原式= 1-0 = 2．
3. 1 + 1 5 = x+1 + x 5 = x+1+x 5例题 解 ： x x+1 6x+3 x(x+1) x(x+1) 6x+3 =x(x+1) 3(2x+1)
2x+1 5 = 5 ，
x(x+1) 3(2x+1) 3x(x+1)
∵ x2+ x- 5= 0，
∴ x2+ x= 5，
2
当 x2+ = x(x+1)x 5 x +x 1时，原式= = =
3x(x+1) 3x(x+1) 3 ．
x2 2 2- 3 = x -y 3 = (x+y)(x-y) 3 = 3x+3y变式3.7 解： y y x-y y x-y y x-y y ，
∵ 3x+ 4y= 0，
∴ 3x=-4y，
=- = -4y+3y当 3x 4y时，原式 y =-1．
变式3.8 解：∵ a+ b= 5，ab= 3，
2
∴ b + a = b
2+a2 = (a+b) -2ab = 5
2-2×3 = 25-6 = 19a b ab ab 3 3 3 ，
∴ b + a 19a 的值是 3 ．b
x+y
变式3.9 x 3x 3x 3x解： y +1 x+y = y x+y = y ，
∵ 3x- 2y= 0 ∴ x = 2， y 3 ，
∴ x原式= 3× y = 3×
2
3 = 2．
例题4.【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选 x、y的值代入计算可得．
= -y(x-2y) + - x(x-y) = -y(x-2y) x(x-y) + ( - ) x(x-y)解：原式 x-y x 2y x(x-2y) x-y x(x- x 2y2y) x(x-2y)
=-y+ x- y= x- 2y，
∵ |x+ 3| + y+5= 0，
∴ x+ 3= 0，y+ 5= 0，
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∴ x=-3，y=-5，
∴原式=-3- 2× (-5) = 7．
(a+b)2
变式4.10 = ÷ a+b解：原式 + = (a+ b)
ab
a b ab a+ = ab，b
∵ a，b互为倒数，
∴ ab= 1，
∴原式= 1．
= 3-(x+1)(x-1) (x-1)
2
= 4-x
2
(x-1)
2
=- (x+2)(x-2) (x-1)
2
变式4.11 解：原式 x-1 x-2 x-1 x-2 x-1 x-2 =
- (x+ 2) (x- 1) =-x2- x+ 2，
x-3(x-2)≥2①∵ ，4x-2<5x-1②
∴-1< x≤ 2，
由分式有意义的条件可知：x不能取 1和 2，
故 x= 0，
原式= 0+ 0+ 2= 2．
= 1 - (x-2)
2 x-(x-2)
变式4.12 x+1 1 x-2解 ：原式 x-1 (x+1)(x-1) x( = - = =x-2) x-1 x(x-1) x(x-1)
x-x+2 = 2
x(x-1) x2
，
-x
∵ |x- 2| = 1，∴ x- 2=±1，∴ x= 3或 x= 1，
∵ x2- 1≠ 0，x(x- 2) ≠ 0，∴ x≠±1，x≠ 0，x≠ 2，
∴当 x= 3 2 2 1时，原式= 2 =3 -3 6
= 3 ．
1. : ab ÷ 1 + 2b = ab ÷ a-b+2b ab
(a+b)(a-b)
解
a-b a+b a2-b2 a-b (a+b)(a-b)
=
a- · + = ab,b a b
当 a= 5+ 1 , b= 5- 1时,
原式= ( 5+ 1) ( 5- 1) = 5- 1= 4.
2 2
2. : a+1- 5+2a ÷ a +4a+4
(a+1) -(5+2a) a+1 a2+2a+1-5-2a a+1
解 a+1 a+1 = a+1 · 2 =(a+2) a+1
·
(a+2)2
2
= a -4 · a+1 = (a+2)(a-2) a+1 a-2a+1 (a+2)2 a+1
· = ,
(a+2)2 a+2
-1
∵ a= 9+ |-2| - 12 = 3+ 2- 2= 3,
∴ 3-2 1原式= 3+2 = 5 .
3. : 1- 1 a-2 a-1 a-2 2 a-1 2 1 3解 a-1 ÷ 2 + a2 =-2a+1 a-1 · a-2 + (a-1)2 = a-1 + a-1 = a-1 .
因为 a= 1 , 2时分式无意义,所以 a= 3.
3 3
当 a= 3时,原式= 3-1 = 2 .
3 2
4. : x+2+ 4 ÷ x = x
2-4 4 3 2
解 x-2 2 x-2 + x-2 ÷
x = x · (x-2) = x-2 ,
x -4x+4 (x-2)2 x-2 x3 x
∵ x≠ 0且 x- 2≠ 0,
∴ x≠ 0且 x≠ 2 ,∴ x= 1,
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∴ = 1-2原式 1 =-1.
5. -8
m+1 n+1 m2: + = +m+n
2+n = (m+n)
2-2mn+m+n 2= 2 -2×(-1)+2解 n m mn mn -1 =-8.
: 1 - a+2 ÷ (a+1)(a+2)6. 1 a+
2
2 (a-1) 1 a-1
解 a+1 a2-1 a2
=
-2a+1 a+1
- ( + · = -a 1)(a-1) (a+1)(a+2) a+1 (a+1)2
= a+1 - a-1 = 2 ,
(a+1)2 (a+1)2 a2+2a+1
∵ a2+ 2a+ 1= 2 ,∴ 2原式= 2 = 1.
7. : 1 - 2 ÷ x-2 = 1 - 2 × 2x = x-2 × 2x = 2解 x+y x2+xy 2x x+y x(x+y) x-2 x(x+y) x-2 x+y ,
∵实数 x , y满足 y= x-3- 6-2x+ 1,
x-3≥0, x≥3,∴ 解得6-2x≥0, x≤3,
∴ x= 3 ,∴ y= 1,
∴ 2 1原式= 3+1 = 2 .
2 28. : ÷ 1- x-1 = 2 ÷ x -1-x+1 2 (x+1)(x-1) 2解
x2+x x2-1 x(x+1) (x+1)( = ·x-1) x(x+1) x(x- = .1) x2
2(x-1)∴该不等式组的整数解为-1 , 0 , 1 , 2,
∵ x≠ 0 , x+ 1≠ 0 , (x+ 1) (x- 1) ≠ 0 , x(x- 1) ≠ 0,
∴ x只能取 2,
当 x= 2 2 1时,原式= 2 =2 2
.
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