2026学年北师大版八年级数学下学期月考测试卷（1-2章）（含答案）

2026学年八年级数学下学期月考测试卷（1-2章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列式子中，属于一元一次不等式的是( )
A． B． C． D．
2．如图， ABC中，，点在的延长线上，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子的变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　）
A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于
6．育才中学组织初二年级研学，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满：若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．现在设租36座的车x辆，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离．若，且，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小 B．
C．方程组的解为 D．当时，
10．如图，点E，F分别在 ABC的边，的延长线上，，的角平分线，交于点P，，，垂足分别为M，．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．若m与3的和小于0，则可列出不等式：_______．
12．命题“若，则的逆命题是 ____________ ，它是一个 ______ 命题（填“真”或“假”）．
13．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______．
14．如图，是 ABC的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G．，则的值为________．
15．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____．
16．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为____________．
三、解答题（本题共9小题，共72分．）
17．（6分）解不等式组，并将不等式组的解集表示在如图所示的数轴上．
18．（6分）如图，交于点，于点．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的长．
19．（6分）如图，在 ABC中，于D，平分．
(1)若，且，求和的度数；
(2)若，，，，求 ABC的面积．
20．（6分）［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”．
(1)［概念运用］在 ABC中，，若 ABC为“好运三角形”，求的长；
(2)［变式运用］已知 ABC的周长为长为偶数，求出的范围，判断 ABC是不是“好运三角形”？
21．（8分）如图，是 ABC的角平分线．
(1)如图①，于点E，于点F，连接．求证：所在直线是的垂直平分线；
(2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，于点E，于点F，此时（1）中的结论是否成立？请证明；
(3)如图③，当点G沿方向从点D沿的延长线运动时，（或其延长线）于点E，（或其延长线）于点F，此时（1）中的结论是否成立？不需证明．
22．（8分）国家主席习近平在2025年新年贺词中提到：“区域发展协同联动、积厚成势，新型城镇化和乡村振兴相互融合、同频共振．”为建设新农村，某村计划购进一批甲、乙两种太阳能路灯，若购买甲种路灯15盏，乙种路灯10盏，共需10800元；若购买甲种路灯10盏，乙种路灯15盏，共需11200元．
(1)求购买甲种和乙种路灯每盏分别需要多少元？
(2)若该村计划购买这两种太阳能路灯共60盏，为支持新农村建设，太阳能路灯商家对两种路灯进行了优惠：甲种路灯打九折，乙种路灯每盏降价50元，要求乙种路灯的数量不得少于甲种路灯数量的一半，则该村购买这批路灯最少需要花费多少元？
23．（8分）我们规定：不等式组的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”__________；“整点”为__________；
(2)若关于的不等式组的“长度”，求的值．
24．（12分）已知：在 ABC中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，．
(1)如图1，证明 ABC为等边三角形；
(2)如图2，过点作于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长．
25．（12分）在 ABC和中，，．
(1)如图1，若，连接，．
①求证：；
②设和的交点为点，求证：平分；
(2)如图2，若，连接，设的中点为点，连接，求证：．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式．
∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式．
∵C项是方程，不是不等式，∴不符合．
∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式．
∴属于一元一次不等式的是B项．
故选：B．
2．C
解：．
故选：C．
3．D
解：A、，两边同时加得，变形正确．
B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确．
C、∵，
∴，
∵，
∴，变形正确．
D、当时，，此时
∴不能推出，变形错误．
4．A
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：．
解得：．
所以这个多边形是七边形．
5．A
解：由题意得
需假设两锐角都大于．
6．D
解：设租36座的车x辆，
由题意得，
故选：D．
7．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为．
8．D
解：解不等式，得；
∵解不等式，
移项得，
即，
∴；
∵不等式组无解；
∴两个解集无公共部分，即，
∴解得，
故选：D．
9．D
解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图像可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、把代入得，解得，
故方程组的解为，
故选项C正确，不符合题意．
D、由图像可知：当时，，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
10．C
解：①过点P作于点H，如图所示：
是的平分线，，，
，
是的平分线，，，
，
，
又点P在的内部，
点P在的平分线上，
平分，故结论①正确；
②，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，故结论②不正确；
③，，
，，
，
又，
，故结论③正确；
④设，
在 ABC中，，
，，
，
当时，，即当时，，
依题意可知：不一定等于，
不一定等于，故结论④不正确，
综上所述：正确结论的序号是①③，共2个．
二、填空题
11．
解：m与3的和小于0，用不等式表示为．
故答案为 m+3<0
12． 若，则 假
解：原命题若，则中，条件为，结论为．
交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则．
取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题．
13．
解：解不等式，得；
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
因为有且只有4个整数解，所以整数解为，
因此，
解得．
故答案为：．
14．
解：是 ABC的角平分线，，，垂足分别是E、F，
，，
在和中，
，
，
，
又是 ABC的角平分线，
是的垂直平分线，
，
，
，
∵DE=2DG，，
，
故答案为：．
15．
解：根据题意，得
，
解得．
故答案为：．
16．或或
解：对于直线，
当时，，
即点，
当时，得，
即点，
故，，
由勾股定理得，
令点的坐标为，
故当时，
即，
解得（舍去）或，
即，
当时，
故，
∴，
得或，即或，
综上，点的坐标为或或．
三、解答题
17．解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
不等式组的解集在数轴上表示如图：
18．（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：如图，过点作于点，

∵，，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴由（1）得：.
19．（1）解：，
，，
，
，
又∵平分，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于点F，于点M，如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即
解得，
∴，
∴．
20．（1）解：在 ABC中，，，
，
，
，
ABC为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）解： ABC是“好运三角形”，理由如下：
已知 ABC的周长为16，，
设为偶数），则，
依题意得：
解得，
的长为偶数，
，
，
，
ABC是“好运三角形”．
21．（1）证明：如图①∵BD平分，，，
，则点D在线段的垂直平分线上；
在和中，
，
，
，则点B在线段的垂直平分线上；
∴所在直线是的垂直平分线；
（2）解：成立，即，理由如下：
∵BD平分，，，
，则点G在线段的垂直平分线上；
在和中，
，
，
,则点B在线段的垂直平分线上，
∵点G在直线上，
∴所在直线是的垂直平分线；
（3）解：成立，即，理由如下：
∵BD平分，，，
，则点G在线段的垂直平分线上；
在和中，
，
，
，则点B在线段的垂直平分线上，
∵点G在直线上，
∴所在直线是的垂直平分线．
22．（1）解：设购买甲种和乙种路灯每盏分别需要元和元，由题意，得：
，解得，
答：购买甲种路灯每盏需要400元，乙种路灯每盏需要480元；
（2）解：设购买甲种路灯的数量为盏，则购买乙种路灯盏，
由题意，，解得；
设购买这批路灯需要元，则，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，的最小值为；
故该村购买这批路灯最少需要花费23000元．
23．（1）解：，
解得，
∴，
“整点”为，0，1，
故答案为：3；，0，1．
（2）解：，
，
当时，可以是任意实数，
不等式组的解集为，
，不符合题意；
当时，即，
则：，
∵且，，
∴不等式的解集为，
∴，
解得：；
当时，即，
则：，
此时，
∴不等式组的解集为，
，不符合题意；
综上所述：的值为．
24．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴ ABC为等边三角形；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ABC为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取一点，使，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
25．（1）证明：①∵，，，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图，
则，
由①可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，即平分；
（2）延长至点，使得，连接，，，
∵点为的中点，
，
在和中，
，
∴，
，，
又，
，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
又∵，
∴，即．