2026学年北师大版七年级数学下学期月考测试卷（1-2章）（含答案）

2026学年七年级数学下学期月考测试卷（1-2章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下面四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
2．系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到米，将数字米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ）
A．减少 B．不变 C．减少 D．增加
5．若则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知，则的值为（ ）
A．27 B．9 C．6 D．1
8．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（ ）
A．6 B．15 C．18 D．30
10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：
①； ②； ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知，则的余角为______．
12．已知代数式的展开式中不含的二次项，则______．
13．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________．
14．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______．
15．设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________．
16．将一个三角板如图所示摆放，其中，，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当________时，与三角板的直角边平行．
三、解答题（本题共9小题，共72分．）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）化简求值：，其中，．
19．（6分）如图，已知直线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．（6分）已知，，．
(1)先化简，再计算当时，求该式子的值；
(2)若，求x的值．
21．（8分）在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑）
(1)过点画直线；
(2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________；
(3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个．
22．（8分）如图，点是上一点，，，，．
(1)___________；
(2)求证：直线；
(3)若，求的度数．
23．（8分）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题：
(1)已知，则 ．
(2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）．
(3)已知，，，，解关于s的方程：．
24．（12分）问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）．
（1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（2）在（1）的条件下若，，分别求，的值．
（3）已知，求的值．
拓展运用：
（4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）．
25．（12分）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分；
(3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．C
解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是，
故选：．
2．D
解：米米．
3．B
解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A选项计算错误；
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B选项计算正确；
选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C选项计算错误；
选项D：根据完全平方公式展开，可得，故D选项计算错误.
故选：B.
4．C
解：∵，
∴减小时，减小，
故选：C．
5．B
∵ ，
，
，
，
又∵ ，
∴ ．
6．C
解：第一个图形中，
∵，
∴，
∴，
第二个图形，如图：
∵，
∴，
第三个图形中，
∵，
∴，
第四个图形中，
∵，
∴，
∴，
综上，符合题意的有个，
故选：C．
7．B
解：，
，
，
故选：B．
8．B
解：过点作，为法线，如图：
∵，
∴，
由题意得，
∴，
∴为法线，
∴，
∵为法线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
9．B
解：图①中阴影部分面积，
图②中阴影部分面积，
，
当时，的值为．
故选：B．
10．C
解：∵平分，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；故④错误；
设，则：，
由④可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤．
二、填空题
11．
解：的余角为：．
12．
，
∵代数式的展开式中不含的二次项，
∴，
解得．
13．
解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．
解：根据题意得，
15．
解：由新定义可知，．
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
16．或或
解：如下图所示，
当时，延长交于点，
，
在中，，
，
，
秒；
当时，如下图所示，
可得：，
在中，，
，
秒；
当时，如下图所示，
可得：，
，
，
，
，
绕点旋转的度数为，
秒；
综上所述，当秒或秒或秒时，与三角板的直角边平行．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解：
当，时，
原式．
19．（1）解：，
，
；
（2）解：，且，
，
，
，
．
20．（1）解：原式
，
当时，原式．
（2）解：由题意可得：，
解得：．
21．（1）解：即为所求，
（2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短；
（3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个．
故答案为：4．
22．（1）解：∵，，
∴，
故答案为：70；
（2）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
23．（1）解：∵，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
，
把，代入得：
，
解得：．
24．解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为，
．
图2：左下角的正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
．
故答案为：，．
（2）∵，，
∴，，
,
，．
．
（3）设，，
则，
，
．
．
（4）设，，则，，
．
25．（1）解：设，则，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴；
（2）证明：作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
由（1）知，
∴，即，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
当点在线段上时，作，
∴，，
∴即，
∴；
当点在射线上时，作，
∴，，
∴，即，
∴；
综上，或．