苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形 同步练习 （含答案）

8.2 《特殊的平行四边形》同步练习
一、单选题
1．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠B=90 B．（2）处可填
C．（3）处可填 D．（4）处可填
3．下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分．真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下面是一张正方形彩纸，现要交叉裁剪两刀，使其分成面积相等的四部分，则裁剪方案有（ ）
A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
5．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若 ADE的面积为14，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
9．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________．
12．如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，，则的长为 _______________ ．
13．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为________．
14．如图，E是边长为2的正方形的对角线上一点，且，P为上任一点，于点Q，于点R，则的值是______．
三、解答题
15．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形．
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出的最小值．
16．如图，在 ABC中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点F在的延长线上，且．
(1)四边形是平行四边形吗？说明理由；
(2)当的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明你的结论；
(3)四边形有可能是正方形吗？为什么？
17．如图，在中，，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求四边形的面积；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
18．如图，是矩形的对角线，延长至点，使，请用无刻度的直尺及圆规按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)作 BDE的边上的高，并写出简单的作图说明；
(2)延长交，分别于，两点，连接、，请你判断四边形的形状并说明理由；
(3)若，，请你求出的长度．
19．综合与探究．
【问题背景】（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．

参考答案
一、单选题
1．D
解：A、，∵四边形是平行四边形，对角线相交于，∴， ，
∵，∴，∴，∴平行四边形为矩形，
故A能判定，该选项不符合题意；
B、，∴平行四边形为矩形，故B能判定，该选项不符合题意；
C、∴是直角三角形， ，
∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意；
D、添加， 不能判定或，
∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意．故选： D．
2．D
【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
（1）处可填∠B=90 是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，（2）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，（3）处可填是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意；故选：D．
3．C
解：①菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有菱形为正方形时对角线才相等，故①是假命题；②矩形的对角线相等且平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故②是假命题；
③平行四边形的对角线一定互相平分，这是其基本性质，故③是真命题；
④正方形的对角线相等且互相垂直平分，故④是真命题；综上，真命题为③和④，一共2个．故选：C．
4．D
解：如图，连接交于点O，则点O是正方形的对称中心；
则沿裁剪，分成面积相等的四部分；
当过点O，且时，沿裁剪，也分成面积相等的四部分；
一般地，只要沿着过正方形中心O裁剪，且裁剪的两刀相互垂直，则可以分成面积相等的四部分，因此裁剪方案有无数种；故选：D．
5．B
解：∵矩形中，，，
∴，，∴，
∵平分，∴，∴，故选：B ．
6．B
解：∵在矩形中，，
∴，，，∴，，
又 ADE的面积为14，∴，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，∴．
7．D
解：A项：在中，与是一组邻边，当时，满足菱形的定义，
∴可以证明是菱形，故不符合题意；
B项：∵在中，，∴，
∵，∴，∴，∴是菱形，故不符合题意；
C项：∵四边形ABCD是平行四边形，且，满足菱形的判定条件，
∴可以证明是菱形，故不符合题意；
D项：在中，对角线互相平分，∴是平行四边形本身就具有的性质，
但仅由不能证明是菱形，故符合题意，故选：D．
8．C
解：A、∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，∴四边形是矩形，不符合题意．
B、∵，，，∴，∴，
，，，∴．
∵，，∴四边形是平行四边形．
∵，∴四边形是矩形，不符合题意．
C、，∴四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等，可得到，
即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意．
D、∵，，∴四边形是平行四边形．
又∵，∴四边形是矩形，符合题意．故选：C．
9．B
解：四边形是正方形，，对角线相交于点，
，，，，
，，，，
，四边形是正方形，
，，
在和中，，，
，，
，故选：B．
10.C
解：如下图所示，过点作，
当点与点重合时，的值最小，四边形是菱形，，，，
，，，，，
，，解得：，
，的最小值为．故选：C．
二、填空题
11.
解：如图：连接，
根据作图可知，，∴四边形是菱形，
∴，，，∴，
由勾股定理得：，∴，
∴四边形的面积为．故答案为：．
12.
解：如图，连接，
∵四边形为正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴四边形是矩形，∴，，，
∵在中，，，∴ ，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
13.
解：由题意，当时，
∵，∴四边形是正方形，
又∵，，∴；
当时，∵，∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，则，∴，则，
∴四边形的面积为，故答案为：．
14.
解：连接，，记交于O，如图所示：
∵四边形是正方形，∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
三、解答题
15.（1）证明：如图，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，∴，∵，，
∴，∴四边形是矩形，∴，
∵是正方形对角线的一点，∴，，
∴，∴四边形是正方形，∴，∵四边形为矩形，∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，∴矩形为正方形；
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
∵矩形为正方形，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，
∴，即，
在 ADE和中，，∴，∴，
∴，∴是定值，定值为．
（3）解：∵矩形为正方形，∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
此时，有最小值，由（2）知，∴的最小值为．
16.（1）解：四边形是平行四边形，理由如下，
垂直平分，为的中点，，
又∵AC BC，，为中点，是 ABC的中位线．
，，，中，是斜边的中线，
，，，，
又，四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形为菱形，理由如下，
理由：，，，由（1）知，，
又四边形为平行四边形，四边形为菱形；
（3）解：四边形不可能是正方形，，，
即，不能为直角，所以四边形不可能是正方形．
17.（1）证明：∵，D是的中点，∴，
∵，，∴，∴四边形为菱形；
（2）解：∵，∴，∴，
∴，∴，
∵D是的中点，∴，
∵四边形为菱形，∴，
∴四边形的面积；
（3）如图所示，射线就是所求的射线
18.（1）解：如图，连接交于点，连接，由四边形是矩形可知点为中点（矩形对角线互相平分），由可知即为中边上的高（三线合一）；
（2）解：四边形是菱形，如图，
∵四边形是矩形，∴，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；
（3）解：∵四边形是矩形，∴，，
设，则，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
解得，即的长度为．
19.解：（1）如图，过点E作于点F，

∴，，∴；
（2）如图，过点D作于点G，连接，
∵，∴四边形是矩形．∴．
∵，，∴，
∴．∴．
∵四边形是矩形，∴，，，
设，则，∴．
∴．∴．
∴，∴，∴；
（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，
由（1）知，∴，即，
∵，∴，∴点A在的平分线上，即平分．