2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第八章实数单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．的立方根是（ ）
A． B． C． D．
2．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（ ）
A． B． C． D．
3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一组按规律排列的式子：第个式子是（ ）
A． B． C． D．
5．一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（ ）
A．9 B． C．2 D．
6．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
7．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（ ）
A． B． C． D．
9．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（ ）
A． B． C． D．
10．对于两个正整数a，，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算b与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法（ ）
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当，2，3，…n时，对应b的值分别为，，，，若，则n的值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．计算： ．
12．已知，，且，则的值为 ．
13．已知与互为相反数，的立方根是2，则的平方根为 ．
14．如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是 ．
15．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为 ．
16．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表：
0.04 4 400 40000 …
0.2 2 20 200 …
已知，，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．求x的值：
(1)
(2)
19．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
20．一个正数的两个不同的平方根分别是和．
(1)求和的值．
(2)判断是有理数还是无理数，并说明理由．
21．已知，．
(1)若x的一个平方根为3，求a的值．
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
22．（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______．
（2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题：
①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________．
②利用你总结的规律化简：
若，则_______；_______．
23．如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为．
(1)求该长方形的长与宽．
(2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆．
24．阅读下面的文字：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分．
根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)的整数部分是________，小数部分是________；
(3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值．(共6张PPT)
人教版2024 七年级下册
第八章 实数 单元测试·巩固卷
分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 求一个数的立方根
2 0.85 实数与数轴
3 0.85 无理数的大小估算；无理数整数部分的有关计算
4 0.75 单项式规律题；与算术平方根有关的规律探索题
5 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
6 0.65 算术平方根和立方根的综合应用
7 0.65 算术平方根的实际应用
8 0.65 计算器——平方根和立方根
9 0.65 立方根的实际应用
10 0.65 求一个数的算术平方根；新定义下的实数运算
三、知识点分布
二、填空题
11 0.75 求一个数的算术平方根；求一个数的绝对值；求一个数的立方根
12 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；求一个数的算术平方根；绝对值的几何意义
13 0.65 利用算术平方根的非负性解题；相反数的定义；求一个数的平方根；已知一个数的立方根，求这个数
14 0.85 程序设计与实数运算；程序流程图与有理数计算；求一个数的算术平方根
15 0.65 不等式的性质；与实数运算相关的规律题；实数与数轴
16 0.64 与算术平方根有关的规律探索题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 实数的混合运算；求一个数的算术平方根；求一个数的绝对值；求一个数的立方根
18 0.75 利用平方根解方程；求一个数的立方根
19 0.65 实数运算的实际应用；求一个数的平方根
20 0.65 已知一个数的平方根，求这个数；求一个数的立方根
21 0.65 已知一个数的平方根，求这个数
22 0.65 求一个数的算术平方根；与算术平方根有关的规律探索题
23 0.65 估计算术平方根的取值范围；算术平方根的实际应用
24 0.64 无理数的大小估算；无理数整数部分的有关计算2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第八章实数单元测试·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B A A B B A D
1．A
本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键．
根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可．
解：，
的立方根是．
故选：A．
2．C
本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答．
解：依题意，，且与是符号不相同，
观察数轴，得，
∴，
则，
∴在和之间，
∴表示1的点可能是，
故选：C
3．B
本题考查了估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键．
先估算的大小，再得到的整数部分，最后依据定义求解即可．
解：∵ ，，
∴，
∴ ，
∴，
故选：B．
4．B
本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键．
通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案．
解：第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子： ；
第4个式子：；
综上所述，该组式子的规律为：，
故选：B．
5．A
本题考查了根据平方根求原数．
利用正数的平方根互为相反数的性质，列方程求出a，再计算平方根和原数．
解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
即，
∴，
∴一个平方根为，
∴这个正数为．
故选：A．
6．A
本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键.
解： ∵；
∴
故选：A.
7．B
根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可．
本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长．
解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，
故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，
故选B．
8．B
此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键．
因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现．
解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意；
C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．A
本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案．
解：设一种球形容器的半径为，则，解得：
另一种球形容器的半径为，则，解得：
则这两种容器的半径差为：，
故选：A
10．D
本题考查算术平方根以及新定义．关键是根据给定的操作规则，得到a和b之间的关系．
先得到和的代数式，进而根据和相等可得a和b的关系式．把代入得到的关系式中可得b的值，即可判断（1）；把代入得到的关系式中可得b的值，即可判断（2）；分别得到，，的值，进而根据所给等式可得n的值，即可判定（3）．
解：由题意得：，
，
，
则，
故，
∴，
即，
当时，，
故（1）正确；
当时，，
故（2）正确；
（3）由题意得：，，
，
，
则，
即，
，
，
故（3）正确，
故正确的个数是3个．
故选：D
11．
本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，先分别求出算术平方根，立方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答．
解：
，
故答案为：．
12．或
此题主要考查了二次根式的意义与化简以及绝对值，根据绝对值的意义及二次根式的性质正确得出a，b的值是解题关键．
直接利用绝对值的意义以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴；
当时，，符合题意；
∴；
综上可得：的值为或，
故答案为：或．
13．
此题主要考查了相反数的定义，立方根，平方根，正确掌握相关定义是解题关键．先利用立方根、互为相反数的定义得出，，的值；代入求解得出的值，再求解平方根即可．
解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，，
∵的立方根是2，
∴，
∴
∴
∴的平方根是．
故答案为：．
14．
根据程序计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键．
解：根据题意，得∵，
∴，是有理数，
∵，
∴，是有理数，
∵，
∴，是无理数，可以输出，
∴，
故答案为：．
15．/
本题考查了实数的运算的规律，实数与数轴，先求出点B表示的数得到，则表示的数为，再求出表示的数为，则，然后依次表示，，；；即可找到规律求解．
解：由题意得，点表示的数为，
∵，
∴，
∴表示的数为2，
，∴，则表示的数为，
∵，
∴
∴，
表示的数为，
，
同理可得；
；
；
；
……，
以此类推可得，当n为奇数时，当n为偶数时，
∴
故答案为：．
16．
本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律．
解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，
，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键．
（1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可；
（2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)或
(2)
本题考查了平方根解方程，立方根解方程．
（1）两边同时除以4后开平方即可；
（2）两边同时除以2后开立方即可．
（1）解：，
两边同时除以4，得，
开平方，得或，
即或，
解得或；
（2）解：，
两边同时除以2，得，
开立方，得，
解得．
19．(1)3，2
(2)
此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键．
（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可；
（2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可．
（1）解：，其中，为有理数，为无理数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，为有理数，为无理数，
∴，
解之，得．
则．
∴的平方根是．
20．(1)
(2)是有理数 见解析
本题考查了平方根的性质、立方根的计算以及有理数与无理数的定义，解题关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”建立方程，以及掌握立方根的计算方法．
（1）一个正数的两个不同平方根互为相反数，所以它们的和为，据此可以列方程求出的值，再代入求出其中一个平方根，进而求出；
（2）将（1）中求得的代入表达式，计算出结果后根据有理数和无理数的定义进行判断．
（1）解：由题意，得，
解得，
将代入，得其中一个平方根为，
则．
（2）解：将，代入，得
∵ 是整数，属于有理数，
∴是有理数．
21．(1)
(2)这个数是1或9
（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案；
（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案．
（1）解：∵的一个平方根是3，
∴，解得．
（2）解：∵都是同一个数的平方根，
∴或，解得或，
∴或，
∴这个数是1或9．
本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键．
22．（1）3 ，0.5 ， 7 ， ， 0
（2）①不一定等于a，当时，；当时，
②，
（1）根据算术平方根定义进行计算即可；
（2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可．
解：（1）计算：，，，，．
（2）①不一定等于，
当时，；
当时，．
②，
，，
；．
本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键．
23．(1)该长方形的长为，宽为
(2)4个
本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键．
（1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案．
（1）解：设该长方形的长为，宽为，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
答：该长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵一个圆的面积为，
∴该圆的半径为，
∴该圆的直径为，
∵，
∴最多能裁剪出4个面积为的圆．
24．(1)2
(2)4
(3)
本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键．
（1）通过平方数比较确定 的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；
（2）先分别确定 和 的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；
（3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算．
（1）解：且
∴的整数部分是；小数部分是．
（2）解：，，且，
，
，，且，
，
，
的整数部分是，小数部分：．
（3）解：，
，
，，
．
