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人教版2024 八年级下册
第二十章 勾股定理
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 2
较易 5
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.85 三角形三边关系的应用；勾股树（数）问题
2 0.84 勾股树（数）问题
3 0.85 与三角形的高有关的计算问题；用勾股定理解三角形
4 0.75 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股树（数）问题
5 0.65 利用勾股定理的逆定理求解；用勾股定理解三角形
6 0.65 含30度角的直角三角形；解决航海问题(勾股定理的应用)
7 0.65 用勾股定理构造图形解决问题；用勾股定理解三角形
8 0.65 勾股定理的证明方法
9 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系；全等的性质和SAS综合（SAS）；两点之间线段最短
10 0.65 勾股定理与折叠问题；两直线平行内错角相等；含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 确定第三边的取值范围；用勾股定理解三角形
12 0.75 利用勾股定理的逆定理求解；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
13 0.65 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
14 0.65 勾股定理的证明方法
15 0.65 勾股定理与折叠问题
16 0.65 勾股树（数）问题
三、知识点分布
三、解答题
17 0.94 用勾股定理构造图形解决问题
18 0.75 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；求一个数的算术平方根；全等三角形的性质；用勾股定理解三角形
19 0.65 判断三边能否构成直角三角形；勾股定理逆定理的实际应用
20 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
21 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
22 0.65 勾股定理与折叠问题；根据成轴对称图形的特征进行求解；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形
23 0.65 勾股定理的证明方法；选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
24 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．1，1，
C．9，12，15 D．5，7，12
2．如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
4．如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．14 C．24 D．26
6．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（ ）海里/小时
A． B． C．40 D．20
7．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（ ）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
8．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．直角三角形中三条边的长分别是3，4，，则的值是 ．
12．如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若，，，则的长为 ．
13．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
14．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个．
15．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ．
16．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（1）小明家新房入户门门框的尺寸如图1所示，一块长，宽的装修木板能否从门框内通过？请通过计算进行说明．（参考数据：）
（2）新房装修完后，要在卧室墙角放一个横截面是一个等腰直角三角形的立柜（图，截面如图3，腰长为，小明家通往卧室的过道宽为，这个立柜能通过吗？请通过计算进行说明．
18．如图，在中，，，，平分交于点，于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
19．如下图，，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村；
方案二：过点作的垂线，垂足为，先从铺设管道到点处，再从点处分别向，两村铺设管道．
(1)求证：是直角三角形．
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道更短？请说明理由．
20．每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米．
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长；
(2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米．
21．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
22．如图，在四边形中，，．现沿着对角线翻折，点落在点处，与相交于点．若，．
(1)求证：．
(2)求的长．
23．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________
则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离．
24．（1）【问题初探】在数学活动课上，梅老师提出如下问题：如图1，在中，平分，．求证：；
小李同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为与的数量关系；请根据小李同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】如图2，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，，探究、、之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）【学以致用】如图3，在中，，垂足为D，，．，平分交于点E；求的长．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A A D B C C C C
1．C
本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件．
根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义．
解：勾股数需为正整数且满足勾股定理，
对于A：，，不是正整数，故不是勾股数；
对于B：不是正整数，故不是勾股数；
对于C：9，12，15均为正整数，且，满足勾股定理，故是勾股数；
对于D：5，7，12均为正整数，但，不能构成三角形，故不是勾股数；
故选：C．
2．A
本题主要考查了勾股定理；
由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可．
解：由勾股定理结合正方形的面积可知，，
又∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
3．A
本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解．
根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高．
解：∵直角三角形的两条直角边分别为和，
∴斜边长为.
设斜边上的高为，
∵面积相等，即，
解得，
故选A．
4．A
本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键．
根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积．
解：假设正方形、、的边长分别为、、，
由勾股定理可得，
由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，
故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和，
即为，
故选A，
5．D
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积．
解：，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：D
6．B
本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键．
过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度．
解：如图所示，过点A作交于点D，
∴，
∵海里，
∴在中，海里，
（海里），
∵，，
∴，
∵，
∴海里，
∴海里，
则该船行驶的速度为：（海里/小时）．
故选：B
7．C
本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．
解：由题意可知，，，，则，
在中，由勾股定理得：，
∴米，
即门铃恰好自动响起，则的长为4米，
故选：C．
8．C
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可．
解：A、由等面积法得，
整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、由等面积法得，
整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、由等面积法得，
整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．C
由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误．
解∵和都是等腰直角三角形，
∴,
，.
∴.
∴.①正确；
∴，，．
∴；
∵，
∴．
∵，
∴．故②正确；
中，
而
∴；④正确；
∵的顶点A在的斜边上，
∴．
而
∴，故③错误．
故选：C
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键．
10．C
本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可．
解：∵长方形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，；
故选C．
11．5或
本题考查了勾股定理，分类讨论思想，掌握直角三角形中，分斜边和直角边两种情况运用勾股定理计算边长是解题的关键．
利用勾股定理，分为斜边或直角边两种情况计算．
解：在直角三角形中，设三条边长为．
若为斜边，则根据勾股定理，有，故；
若为直角边，则斜边为4，故有，即，，故．
故答案为：5或．
12．
本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长．
先根据尺规作图特征，确定是的垂直平分线、是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出．
解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）．
∴
在中，，
∵，即，
∴为直角三角形，且，即．
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
13．2
本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键．
如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可．
解：如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
14．3
本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法．
根据图形利用面积关系可得解．
解：对图①，大正方形的面积为：，
也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，故图①能证明勾股定理；
对图②，梯形的面积为，
也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
，
整理可得：，故图②能证明勾股定理；
对图③，大正方形的面积为：；
也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
，
整理可得：，故图③能证明勾股定理；
对图④，大正方形的面积为：；
也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：,
，故图④不能证明勾股定理．
综上，图①②③可证明勾股定理，有个，
故答案为：．
15．5
本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键．
设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值．
解：长方形中，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则
∴，
故答案为：5．
16．2022
本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．
根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．
解：如图，
由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022．
故答案为：2022．
17．（1）能，理由见解析；（2）能，理由见解析．
本题主要考查勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键．
（1）连接，则与、构成直角三角形，由勾股定理得到，进行比较即可求解；
（2）过点作，则△是等腰直角三角形，即，由勾股定理得到，由此即可求解．
解：（1）能，理由是：
如下图，连接，则与、构成直角三角形，
根据勾股定理得，．
∵ ，
∴该长方形能从内框内通过（将该长方形的宽沿着斜着进去）；.
（2）能，理由是：
过点作，则△是等腰直角三角形，即，
，
，即,
∴，
∴这个立柜能通过过道．
18．(1)见解析
(2)
（1）根据“”证明即可；
（2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可．
（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的长为．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)方案一所修的管道更短，理由见解析
（1）要证明是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证三边长度是否满足
（2）比较两种方案的管道总长度，需要先求出方案二中、、的长度，再计算总长度，与方案一的总长度进行比较．
（1）解：证明：，，，，
．
是直角三角形．
（2）解：方案一：管道总长度为．
方案二：由（1）知是直角三角形，
．
又，
．
．
∴方案二铺设管道的长度．
，
∴方案一所修的管道更短．
本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是利用勾股定理逆定理判断直角三角形以及通过面积法求高，再结合勾股定理计算线段长度，从而比较两种方案的总长度．
20．(1)
(2)
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据勾股定理即可得出结论．
（1）解：∵在中，，，
∴由勾股定理得，
即，
解得：，
即云梯顶端C与墙角O的距离的长为．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得，
即，
解得：，
∵，
∴．
即云梯底端在水平方向上滑动的距离为．
21．(1)见解析
(2)的周长为，
本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证；
（2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
∵
∴，
即，
解得：．
22．(1)证明见解析
(2)
本题考查的是等腰三角形的判定，勾股定理的应用；
（1）由平行线的性质证明，由轴对称证明，可得，从而可得结论；
（2）设，而，，可得，，再利用勾股定理求解即可．
（1）解：∵，
∴，
由翻折的性质可知，
，
∴，
；
（2）解：设，而，，
∴，，
∵，，
∴，
解得：；
∴；
23．小试牛刀：；；；；
知识运用：（1）41；（2）（千米）；
本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；
知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得．
（2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可．
解：小试牛刀：由图可知：
，
，
，
则它们满足的关系式为：．
知识运用：
（1）如图2①，连接，作于点E，
则：，，
，
在中，由勾股定理，得，
（千米），
∴两个村庄相距41千米．
（2）连接，作的垂直平分线交于点，则，
设千米，则千米，
在中， ，
在中，，
∵，
∴，
解得，，
即千米．
24．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
（1）根据全等三角形的判定求出，根据全等三角形的性质得出，，求出，，即可得出答案；
（2）作交的延长线于点，则，所以，则，再证明，得，由，得；
（3）延长至，使，连接，过作于点，证，得，，设，则，再由勾股定理求出，则，进而证是等腰直角三角形，得，然后由三角形面积求出，则，最后由勾股定理得，根据线段的和差即可解决问题．
（1）证明：如图1（1）：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2），
证明如下：如图2，作交的延长线于点，则，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长至，使，连接，过作，交延长线于点，
则，
，
，
设，则，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
解得：，
，
，
，
即的长为．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
