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人教版2024 八年级下册
第二十章 勾股定理
单元测试·提升卷分析
一、试题难度
整体难度：难
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 判断三边能否构成直角三角形
2 0.84 用勾股定理解三角形
3 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
4 0.75 已知两点坐标求两点距离
5 0.65 勾股定理与折叠问题；利用勾股定理的逆定理求解；用勾股定理解三角形
6 0.65 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
7 0.65 求旗杆高度(勾股定理的应用)
8 0.65 勾股定理与折叠问题
9 0.65 勾股定理的证明方法
10 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；列代数式
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.75 线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
13 0.65 判断三边能否构成直角三角形；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
14 0.65 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
15 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
16 0.65 勾股定理与网格问题；数轴上两点之间的距离；实数与数轴
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
18 0.65 用勾股定理构造图形解决问题；解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
19 0.65 勾股定理的证明方法；用勾股定理解三角形
20 0.65 勾股定理的证明方法；以弦图为背景的计算题；完全平方公式在几何图形中的应用
21 0.65 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
22 0.65 勾股定理与折叠问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题
23 0.65 以直角三角形三边为边长的图形面积；勾股定理的证明方法
24 0.4 勾股定理的证明方法；选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)；求最短路径(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．以下列各组数为三边长的三角形中不是直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．24，7，25 D．15，20，25
2．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（ ）
A．9 B．7 C．6 D．8
3．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．36 B．24 C． D．
6．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
8．如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（ ）
A． B．5 C． D．6
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图①，是一个封闭的勾股水箱，其中甲，乙，丙三个部分是可以盛水且互相连通的正方形．已知，开始时，丙刚好盛满水，且甲，乙无水．当转动这个勾股水箱到图②位置时，水面刚好经过丙的中心（正方形两条对角线的交点），则此时乙中有水部分的面积为 ．
12．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为 ．
13．如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为P、Q，过P、Q两点作直线交于点D，则的长为 ．
14．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
16．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则 ，数轴上点所表示的数为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，距学校A的正南方向的B处有一辆汽车，且该汽车正以的速度沿北偏东的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音．若汽车周围以内会受到噪音的影响，请问：
(1)求点A到的距离，并判断该学校是否会受到噪音影响．
(2)若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长．
18．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
19．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．
(1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？
20． “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值．
21．已知中，，D是边上一个动点，连接，以为直角边作等腰，其中．
(1)如图1，
①求证：．
②线段之间存在的数量关系为_________．
(2)如图2，若，在动点D运动过程中，当周长取得最小值时，求此时的长．
22．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求．
23．如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，
(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）
(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个．（不需证明）
(3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为S3，请判断的关系，并说明理由．
24．【探究】
（1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理．
【运用】
（2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离．
【拓展】
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十章 勾股定理 单元测试·提升卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B A B C B B A
1．A
根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形是直角三角形；否则不是. 逐项验证即可．
解：A、 + ， ， 以为边的三角形不是直角三角形，故符合题意；
B、 + ， ， + = ， 是直角三角形，故不符合题意；
C、 + ， ，∴ + = ， 是直角三角形，故不符合题意；
D、 + ， ， + = ，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
本题主要考查了勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握该定理．
2．C
本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可．
解：∵点D、E分别为中点，
∴，
在中，，
∴；
故选C．
3．C
本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积．
解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
4．B
本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可．
解：∵点，，
∴线段，
故选：B．
5．A
本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键．
先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积．
解：在中，，，，
，
为直角三角形，且．
设．
由折叠的性质，得，，
．
∵在中，根据勾股定理，得，
，
解得，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为．
故选：A．
6．B
本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键．
如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答．
解：依题意画出图形：
如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺，
∵尺，
∴尺，
在中，，
∴．
故选B．
7．C
本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答．
解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴旗杆的高度为12米，
故选：C．
8．B
本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理；
先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可．
解：由折叠得，，
∵在长方形中，，
∴，
，
，
设，则，
在直角三角形中，，即，
解得，
的长为，
故选：B．
9．B
本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答．
解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，故选项A能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，故选项B不能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和，
则其面积为，
∴，即，故选项C能证明勾股定理；
D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和，
则其面积为，
∴，即，故选项D能证明勾股定理．
故选：B．
10．A
本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可．
解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，
即：，，，
根据题意可得：，即，
故选A．
11．
本题考查了勾股定理．丙部分的面积是，甲部分的面积是，根据已知条件得到丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，即丙中有水部分的面积为，据此计算于是得到结论．
解：∵，
∴丙部分的面积是，甲部分的面积是，
∵水面刚好经过丙的中心O，
∴丙中有水部分的面积为丙整个正方形面积的一半，
即丙中有水部分的面积为，
∴乙中有水部分的面积为，
故答案为：．
12．
本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，
先根据勾股定理求得，再根据中垂线的性质得，然后根据的周长为得出答案．
解：∵，
根据勾股定理，得．
∵是的中垂线，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
13．
本题考查了线段垂直平分线的性质，用勾股定理解三角形，判断三边能否构成直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先根据线段垂直平分的性质得出，从而可用表示出，再证明是直角三角形，，从而可利用勾股定理求得，进而求得．
解：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．12
此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，
尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
15．73
本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答．
解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴.
故答案为：73．
16．
本题考查了勾股定理，实数在数轴上表示，数轴上两点间的距离，解题关键利用勾股定理求出相应线段的长．
先利用勾股定理求得，再利用数轴上两点间的距离求出点表示的数．
解：设点表示的数为，
，
由作法可知，
∴，解得：，
∴数轴上点所表示的数为，
故答案为： ，．
17．(1)点A到的距离为120米，该学校受到噪音影响；
(2)噪音影响该学校的持续时间有10秒．
本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的构建图形是解本题的关键．
（1）过点A作于D，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较即可；
（2）过点A作，根据勾股定理求出的长即可得出噪音影响该学校的持续时间．
（1）解：如图：过点A作，
∵，米，
∴米米，
点A到的距离为120米，该学校受到噪音影响；
（2）过点A作，
∴，
由勾股定理得：，
则，
则，
则影响时间：（秒）．
答：噪音影响该学校的持续时间有10秒．
18．(1)12尺
(2)
本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
（1）设为x尺，
则，尺．
在中，，
由勾股定理，得
．
．
解得 ．
答：水池的深度为12尺．
（2）图中，，，
则，，
在中，，
由勾股定理，得．
．
解得．
19．(1)见解析
(2)原路长6.5千米
本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解；
（2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可．
（1）解：∵，
∴梯形的面积为或，
∴，
∴，
即；
（2）解：设千米，则千米，
在中，，即，
解得，即，
答：原路长千米．
20．(1)见解析
(2)
本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系．
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论．
（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
∴
∴．
（2）解：大正方形面积为13，
，
，
，
又小正方形面积为3，
，
，
，
．
21．(1)①见解析；②
(2)
（1）①先判断出，得出，即可得出结论；
②先判断出，进而判断出，再用勾股定理得出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而得出的周长为，进而判断出当时，最短，即可得出结论．
（1）①证明：，
，
在和中，
，
，
；
②；
证明：在中，，
，
由（1）知，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由（1）知，，
∵，，
∴，
．
（2）解：在中，，
，
的周长为，
要使的周长最小，则最短，
当时，最短，
在中，，根据勾股定理得，，
，
．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出时，最短是解本题的关键．
22．(1)见详解
(2)
（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论；
（2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键．
（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置，
，，
又四边形为长方形，
，
，
而，
在与中：
；
（2）解：∵四边形为长方形，
，，
，
，
设，
则，，
在中，，
即，
解得．
23．(1)
(2)3个
(3)，见解析
（1）A、C、D三点在同一条直线上，得，．由组合图形，知，可证得．
（2）如图③，，可得；如图④，，故得．如图⑤，如图，对于等边，若边长为a，过点D作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ；
（3）如图⑥，，可证得．
（1）解：∵A、C、D三点在同一条直线上，
∴.
∴．
又，
∴．
∴．
（2）解：如图③，，
∵，
∴．
如图④，，
∵，
∴．
如图⑤，如图，对于等边，若边长为a，过点D作，垂足为I，
中，，，
∴．
∴．
同理有：，．
∵，
∴；
故有：3个．
（3）解：；如图⑥，
，
．
∵，，
∴．
本题考查勾股定理的证明及运用；理解勾股定理所表达的直角三角形三边关系是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）千米；（3）
（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理．
（2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解．
（3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值．
解：（1）∵四边形是梯形，，
∴．
又∵，
∴，
展开得，
化简得．
（2）设千米，则千米．
∵，，，
∴，
即，
展开得，
化简得，
∴，即千米．
（3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式．
作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则，
∴，
∴的长为的最小值．
在中，，，
∴，
∴代数式的最小值为．
本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键．
