高三数学参考答案
一.选择题部分
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A B D A C B
9 10 11
AD BCD ACD
a a
7.【详解】对于①选项,设 an 的前 n项和为 S ,S 1 2n 1n 2n 1 2n 1 2n 1 a ，2 n
所以数据a1,a2 ,a3, ,a2n 1的平均数是 an ，故①选项正确：
对于②选项，当 n 2时，取 bn 为 2，4，8，
2 4 8 14
平均数为 b2 4，故②选项错误；3 3
对于③选项，a1,a2 ,a3, ,a2n 1的中位数是 an ，b1,b2 ,b3, ,b2n 1的中位数是
bn ,bn b1b
a1 a2n 1
2n 1 a1a2n 1 an ，故③选项正确；2
对于④选项，数列 an 的前 2n 1项和为 S2n 1 2n 1 an，
所以数列 an
S
的前 2n 1项和的平均数为 2n 1 a
2n 1 n
，
数列 bn 是各项均为正数，且公比 q 1的等比数列，
所以b1 b2 b2 n 1 ，
所以 bn 的前 2n 1项和b1 b2 b2n 1 2n 1 b2n 1，
b 2n 1 b所以数列 n 的前 2n
1项和的平均数小于 n b ，
2n 1 n
由③选项知，bn an，所以数列 an 的前 2n 1项和的平均数比 bn 的前 2n 1项和的平均数
大，④选项正确.
b
8【. 2 b 1详解】由关于 x的方程 2ln(ax ) 4x 1 有实根，得关于 x的方程 ln(ax ) x 2
2 2 4
有实根，
b 1 b 1
设方程 ln(ax ) x 2 的实根为 x0，则 ln(ax 22 4 0
) x ，
2 0 4
b x2 1 1 x2 10 0
得到 ax 40 e ，即 ax b e 40 0，2 2
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{#{QQABCQAt5ggw0ITACA4LAUFoCQgYsIAiLMgMwQCYKAZCCANABKA=}#}
1 x2 10
设点 P(a,b)，则点 P在直线 x0x y e 4 0上，2
x2 10
1 x2 1 e
4
点O(0,0)
到直线 x0x y e
0
4 0的距离d ，
2 x20
1
4
1 1 et 1 et (t 1)
设 t x20 ，函数 f (t) , t ，求导得 f (t) 4 2 t 2 t 2
，
1
当 t 1时， f (t) 0；当 t 1时， f (t) 0，
2
函数 f (t) [
1
在 ,1)上单调递减，在[1, )上单调递增，
2
因此 f (t)min f (1) e， |OP | d f (t) e，则 a2 b2 |OP |2 e2，
3 3
a b e 0 a e
检验：当 t 1 3时， x0 ，由 2 2 ，解得
2
，此时 a2 b2 e2 ；
2 a2 b2 e
2 b e
2
3 b 3
a e 0 a e
2 2 2由 ，解得 ，此时 a2 b2 e2
a2 b2 2 e b
e
2
1
11.根据题意可知准线方程为 2x 1 0，即C的准线方程为 x ，
2
p 1
所以 ，即 p 1，
2 2
所以m 2 p 2，
则抛物线C的方程为： y2 2x，故 A正确；
依题意得直线 l的方程为 y kx 1，
当 k 0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
当 k 0时，代入 y2 2x，
得 k 2x2 (2k 2)x 1 0，
则 4(k 1) 2 4k 2 8k
1
4 0 且 k 0，解得 k 且 k 02 ，
1
所以 k的取值范围是 ,0 (0, )，故 B错误；
2
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，根据韦达定理可得：
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x x 2k 21 2 2 ， x x
1
1 2 ，k k 2
所以OA OB x1x2 y1y2 x1x2 kx1 1 kx2 1 1 k 2 x1x2 k x1 x2 1，
1 k 2 2k 2 2k 1 2
代入可得：
k 2
1
k 2 k 2
；
k
1 1
若 k m，即 k 2，则0 ，
k 2
1 2 1
2
1 3 所以
k 2 k k
1 , 0 ，
4
3
即OA OB的取值范围是 ,0 ，故 C正确；
4
y2
因为直线 OB的方程为 y xx ，2
x y
所以点D的坐标为 x , 1 21 ，
x2
y x y
设线段 AD的中点为 N x , y x 1 1 20 0 ，则 0 x1， y0 2 2x ，2
则 x y x
y1 x1y2 2x 1x2 x2 y1 x1y2
2x1x2 x2 kx1 1 x1 kx2 1
0 0 1 2 2x2 2x2 2x2
1 2k 2
(2k 2)x1x2 x1 x (2k 2)2 k 2 k 2 0，
2x2 2x2
所以点 N x0 , y0 在直线 x y 0上，故线段 AD的中点在一条定直线上.故 D正确
二.填空题
12. 150 13. 2 , 2 3
14. 2
2 3
三.解答题
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15.（1）零假设H0为：学生的满意度与学部无关..........1分
代入2 2列联表中的数据可得：
K 2 500 (100 150 50 200)
2 250
3.968 6.635 x
150 350 300 200 63 0.01
........4分
根据小概率值 0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，
故可认为学生的满意度与所处学部无关.........5分
（2）从不满意的学生中，采用分层抽样的方法，得到初中部学生与高中部学生的抽样比为
2 :1，则 9名使用者中初中部 6人 高中部 3人..........6分
因为 4人中高中部人数为 X ，所以 X 的可能取值为0,1,2,3，其对应的概率分别为：
P X 0 C
4 3 1
6
5
4 ， P X 1
C6C3 10
C9 42 C
4
9 21
C2C2 1 3P X 2 6 3 54 ， P X 3
C C 1
6 34 ............10分C9 14 C9 21
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
5 10 5 1
P
42 21 14 21
5 10 5 1 4
故数学期望为 E X 0 1 2 3 . .........13分
42 21 14 21 3
16.（1）连接 AC、BD、EF，
根据题意可设其交于点 O，则 A、E、C、F四点共面，且 O为 AC、BD、EF的中点，
所以四边形 AECF、BEDF都是平行四边形，所以 AE∥FC,DE∥BF，......2分
又 AE 平面 EAD， FC 平面 EAD，AE∥FC，所以 FC//平面 EAD，.....3分
DE 平面 EAD， FB 平面 EAD，所以 FB∥平面 EAD，.......4分
FB//平面 EAD，FC//平面 EAD，又 FB、FC在平面 ECB内相交于点 F，
所以平面 EAD//平面 FCB.....6分
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（2）根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系
则 A 2,0,0 ,D 0, 2,0 ,F 0,0, 2 ,B 0, 2,0 ，......7分
所以DA 2, 2,0 ,FA 2,0, 2 ,AB 0, 2,0 ，
设平面 FAD的一个法向量为 n x, y, z ，则 n DA, n FA，
n DA 0 2x 2y 0
所以
，即 ，令 x 1，则 y z 1，
n FA 0 2x 2z 0
所以平面 FAD的一个法向量为 n 1,1,1 ，.....9分
因为点 P为棱 EB上的动点，
所以设 BP BE， 0 1
则 AP AB BP AB BE - 2, 2,0 0, - 2 , 2 - 2, 2 1 , 2 ，....10分
设直线 AP与平面 FAD 成的角为 ，
n AP
sin 2 2 2 2 n AP 3 2 2 1 2 2 2 212 1 3
，......12分
2 4
又 0≤ ≤1，
1 sin 2 2 6当 时， ，当 1或 0时， sin ，.......14分2 max 3 min 3
6 2 2
故直线 AP与平面 FAD 成的角的正弦值的范围 , ........15分
3 3
17.（1）因为 pn qn 1，即： 4Sn 2n 1 an 1 4Sn 2n 1 an 1．①.......1分
当n 1时， 4S1 3a1 1，
又 S1 a1，所以a1 1．.....2分
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当 n 2时， 4Sn 1 2n 1 an 1 1，②
由①-②整理得： 4an 2n 1 an 2n 1 an 1．
an 2n 1
整理得 n 2 a 2n 3 ，......3分n 1
a2 a3 an
由累乘法得： an a1 a1 a2 a
，
n 1
a 1 3 5 2n 1代入比值： n 2n 1, ...5分1 3 2n 3
当 n 1时， a1 1 2 1 1，符合上式，
所以数列 an 的通项公式为 an 2n 1．......6分
（2）当 n为偶数时，
Tn b1 b3 b5 bn 1 b2 b4 b6 bn
a1 1 a3 1 a5 1 an 1 1 3a2 3a4 3a6 3an
S n n 2 a2 a4 a6 an 2
n 3 2n 1
n
Sn 2 2 S n
2 3n ，
2 2 n 2
所以Tn S n
2 3
n n， n为偶数 n 2 ，.........9分2
由Tn S
3
n n恒成立，得 n ，2
n n 3 7 7是偶数，当 n 2时， 有最小值 ，所以 ；......11分
2 2 2
当 n为奇数时， n 1为偶数，
Tn Tn 1 bn 1 Sn 1 n
2 3 1 1
1 n 1 3a 2
2 n 1
Sn n n ，2 2
所以Tn S
2 1 1
n n n ， n为奇数，.......13分2 2
1 1
由Tn Sn n恒成立，得 n ，2n 2
又 f x x 1 1 在 1, 上单调递增，
2x 2
1 1
所以当 n 1时， f n n 有最小值 1，所以 1．
2n 2
综上，实数 的取值范围是 ,1 .......15分
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π b π
18.（1）由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为 ，有 tan ，可得
a 3 b 3a
，......1分
3
4 9
又由点T 在双曲线C上，有 2 2 1 ,a b
4 9
代入b 3a，有 2 2 1，可得 a 1， ，.......2分a 3a b 3
y2
故双曲线的标准方程为 x2 1......3分
3
2
（2）设点 M的坐标为 x0 , y0 y 2，则 x2 00 1，即3x0 y20 3．3
双曲线的两条渐近线 l1， l2的方程分别为 3x y 0, 3x y 0，
3x y 3x y
则点 M到两条渐近线的距离分别为 0 0 0 0d1 ,d ，....5分2 2 2
3x 2 2
则 0
y0 3x0 y0 3x
d d 0
y0 3
1 2 ．2 2 4 4
所以点 M到双曲线 C的两条渐近线的距离之积为定值．.....7分
（3）存在 2．
①当 x0 2时， MF AF 3，又 N是 AM 的中点，
所以 AFN MFN 45 ，所以 AFM 2 AFN ，此时 2．....9分
②当 x0 2时．
y
ⅰ 0）当 M在 x轴上方时，由 A 1,0 ,M x0 , y0 ，可得 kAM x0 1
，
y0
所以直线 AM 的直线方程为 y x 1 x ，.....10分0 1
把 x
1 N 1 3y 代入得
2
0
, ．
2 2 x0 1
3 y
0
2 x 1 y
所以 k 0 0 ，则 tan AFN
y
0
NF x 1．.....11分1
2 x0 1 0
2
2 y0
x0 1 2 x0 1 y0 y0
由二倍角公式可得 tan2 AFN 2 x 1 2
y2 2 x ．.......13分
1 y 0 0 0 0
x
0 1
y
因为直线MF 0的斜率 kMF tan AFM kx0 2
及 MF，
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tan AFM y所以 02 x ，则 tan AFM tan 2 AFN ．.....14分0
因为 AFM 0, π , AFN 0, π ，
2
所以 AFM 2 AFN ．......15分
ⅱ）当 M在 x轴下方时，同理可得 AFM 2 AFN ．
故存在 2，使得 AFM 2 AFN ．......17分
1 lnx
19.（1）由题意求导可得 f x 2 ......1分x
当 x 0,e 时， f x 0, f x 在 x 0,e 上单调递增，
当 x e, 时， f x 0, f x 在 x e, 上单调递减，
则 f (x)max f e
1
.......2分
e
当 x 1时， f x 0，当 x 时， f x 0，当 x 0时， f x .
所以 f x 的大致图象如图所示.
...3分
m 1当 时， f x 的图象与直线 y m的交点个数为 0；
e
当m
1
或m 0时， f x 的图象与直线 y m的交点个数为 1；
e
当 0
1
m 时， f x 的图象与直线 y m的交点个数为 2.....5分
e
（2） x 0, f x 1 1 等价于 alnx x 1，
x
令 g x alnx x 1，则不等式等价于 g x alnx x 1 0 ，
g x a 1，
x
a
当 a 0，则 g x 1 0,g x 在 0, 上单调递减， g 1 0，
x
x 0,1 时 g x 0不合题意；....7分
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当 a 0，令 g x 0得 x 0,a ，令 g x 0得 x a, ，
故 g x 的递增区间为 0,a ，递减区间为 a, ，
若0 a 1，
Qg 1 0，则当 x a,1 时， g x 0，不合题意；...8分
若 a 1， g x alnx x 1 g 1 0，适合题意；.....9分
若 a 1，
Qg 1 0，则当 x 1,a 时， g x 0，不合题意；
综上， a 1 .....10分
（3）由（2）知：当 a 1时，有 lnx x 1 0，当且仅当 x 1时等号成立
n n
n N*时， ln 1 0，....11分
n 1 n 1
n n 1
ln 1 ，
n 1 n 1 n 1
ln n 1 1 ，
n n 1
ln n 1 lnn 1 ，
n 1
ln2 1 ln1 , ln3 ln2 1 , ln4 ln3 1 , , ln
2 3 4
1
n 1 ln n ，n 1
ln n 1 ln1 1 1 1 ，即 ln n 1 1 1 1 ，
2 3 n 1 2 3 n 1
1 1 1 1
n 1 e2 3 4 n 1 ,n N* .......17分
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.如果集合A={ax2-4x-1=0只有一个元素，则实数a的值是
A.0或4
B.4
C.0或-4
D.0
2.己知向量a,6不共线，若AB=2a+6,A元=a+1,b(其中1∈R),且4，B,C三点共线，
则24值是
A.-1
B.1
C.-2
D.2
3.为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法
得到y关于x的线性回归方程为y=0.8x+12.5,则样本点(80,66)的残差为
A.-10.5
B.10.5
C.9.5
D.-9.5
4.已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面a,B,下列四个命题中正确的是
A.若m⊥l,n⊥1，则m∥n
B.若Ma,l⊥B,则a⊥B
C.若la,lWB,则aWB
D.若llm,mca,则1lla
5.已知a、P均为锐角，如a=25,6如a-)=-o,则ana+-
5
10
4.2
C.32
10
10
n是
6.在平面直角坐标系x0y中，己知圆0：x2+y2=16,点M(-2,0).点P在直线2x+y+10=0
上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B,则点M到直线AB的距离的最大值
为
A.2
B.3
C.4
D.5
7.已知数列{a,}是各项均为正数的等差数列，且公差d>0:数列{，}是各项均为正数的等比
数列，且公比g>1,若项数均为2n-1项(n≥2，n∈N),下列说法正确的个数是
①数据a,42,4,,a2的平均数是a,:
②数据b,b2,b,…,b2的平均数是b,:
③若4=6，a4=64,则数据a,a,4,,a1的中位数大于数据4，，4，A的中位数：
④若a=6,a24=b4,则数据a,a,4,,a的平均数大于数据，，…，b1的平均数
A,1
B.2
C.3
D.4
第1页共4页
8.关于x的方程2n(ar+名=4r2+1有实根，则a+b的取值范国为
A.[c,+o)
B.【c2,+∞)
C.[2c,+o)
D.[4e2,+∞)
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知复数2=-a+6+i,其中a∈R,beR,i为嘘数单位，则下列说法正确的是
1+i
A.若z=2-i,则a-b=-3
B.b=0是z为纯虚数的充要条件
C.若zeR,则a=1
D.若|zl,则a+b的最大值为√2
10.春节假期过后，车主小张选择去该市新开的A,B两家共享自助洗车店洗车，已知小张第一
次去A,B两家洗车店洗车的概率分别为和子，如果小张第一次去A洗车店，那么第二次
去A洗车店的概率为宁：如果小张第一次去B洗车店，那么第二次去4流车店的概率为)
则下列结论正确的是
A。小张第一次去B洗车店第二次也去B洗车店的概率为号
B.小张第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率小
C若小张第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为号
D.若小张第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为
3
11.已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x+1=0.过点(0，-)且斜率为k的直线1与C交于A,
B两个不同的点，O为坐标原点，过点A作x轴的垂线，交直线OB于点D.则下列说法正
确的是
A.曲线C的方程是y2=2x
上的限值瓶得为宁+网
C若k>m,则所，O丽的取值范围为(-，0）
D.线段AD的中点在一条定直线上
第2页共4页
2
