8.6.2第一课时　直线与平面垂直的判定

(共61张PPT)
第一课时　直线与平面垂直的判定
1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念（直观想象、数学抽象）.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直（逻辑推理）.
课标要求
　　木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直.
情景导入
知识点一　直线与平面垂直
01
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
02
知识点三　直线与平面所成的角
03
目录
课时作业
04
知识点一
直线与平面垂直
01
PART
问题1　（1）如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直
立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC
的位置在不断地变化，旗杆所在的直线AB与其影子
BC所在直线的位置关系如何？
提示：始终保持垂直.
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一
结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示：可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
【知识梳理】
1. 定义：一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们
就说直线l与平面α互相垂直，记作 .
任意一条　
l⊥α　
2. 相关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面唯一的公共点
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段
点到平面的距离 垂线段的长度
【例1】　下列结论中正确的个数为（　D　）
①直线l与平面α垂直是直线与平面相交的一种特殊情况；②如果直线l不
垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；③如果一条直线与一
个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
D
【规律方法】
1. 直线与平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实
际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，
该直线就垂直于这个平面内的任何直线.
2. 由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
训练1　〔多选〕下列说法中，正确的是（　　）
A. 若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线
B. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也
可能平行
C. 若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D. 若a⊥b，b⊥α，则a∥α
解析： 　由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交
或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，
故D错误.
√
√
知识点二
直线与平面垂直的判定定理
02
PART
问题2　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸
片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌
面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
提示：不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直.
【知识梳理】
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交直线　
m∩n　
　　提醒：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键
性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平
面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.
【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC.
证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
变式　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置
关系是什么？
解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
由例题知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD 平面SAC，
故BD⊥平面SAC.
【规律方法】
证明线面垂直的方法
（1）由线线垂直证明线面垂直：
①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条
相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直.
（2）平行转化法（利用推论）：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.
证明：法一　∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，
令正方体的棱长为2，连接OM，A1M（图略），则A1O＝ ，OM＝
，A1M＝3，
∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，BD，OM 平
面MBD，∴A1O⊥平面MBD.
法二　连接A1B，A1D，OM（图略）.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B＝A1D，O为BD的中点，
∴A1O⊥BD.
令正方体的棱长为2，在Rt△A1AO和Rt△OCM中，tan∠AA1O＝ ＝
，tan∠COM＝ ＝ ，故∠AA1O＝∠COM，∴∠AOA1＋∠COM＝
90°，∴∠A1OM＝90°，
∴A1O⊥OM，∵BD∩OM＝O，BD 平面MBD，OM 平面MBD，
∴A1O⊥平面MBD.
03
PART
知识点三
直线与平面所成的角
问题3　当一个直尺一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，直尺和桌面
所成的角逐渐增大，观察思考直尺和桌面所成的角怎样定义？
提示：直尺和它在桌面上的射影所成的角.
【知识梳理】
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面 ，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中
斜足 斜线和平面的 ，如图中
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过
和 的直线叫做斜线在这个平面上的射
影，如图中斜线PA在平面α上的射影为
相交　
垂
直　
直线
PA　
交点　
点A　
垂线　
垂
足　
斜足　
直线AO　
有关概念 对应图形
直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 ； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直
线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是
取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则
∠PAO　
90°　
0°　
0°≤θ≤90°　
　　提醒：（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在
平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；
解：∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成角的大小是45°.
（2）求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.
解： 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，
B1D1 平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体
的棱长为1，则A1B＝ ，A1O＝ .
又∵∠A1OB＝90°，∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ，
又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成角的大小是30°.
变式　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
解：如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O1，连接
A1O1.
设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，
A1B1，B1C 平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1，
所以A1O1为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O1为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO1中，A1B＝ a，BO1＝ a，所以BO1＝ A1B. 所以∠BA1O1＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
【规律方法】
求直线与平面所成的角的步骤
训练3　如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝
∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝ .求OA与平面α所成的角的
大小.
解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC
＝ ，∴△BAC为等腰直角三角形.
∵OB＝OC＝1，BC＝ ，∴△BOC为等腰三角形.
如图，取BC的点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，AH
＝OH＝ ，∴AH⊥OH，又BC∩OH＝H，BC，OH 平面α，
∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与α所成的角.
∴在Rt△AOH中，AH＝OH，
∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角的大小为45°.
1. 直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角
为（　　）
A. 40° B. 50°
C. 90° D. 150°
解析：　若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a
与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°.
故选B.
√
2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直
B. 过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30°
C. 一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平
面垂直
D. 一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直
√
√
√
3. （2025·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 .
解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
4　
4. 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面
ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值.
解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD.
因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.因为AA'⊥
底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D.
又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B' 平面ABB'A'，所以C'D⊥平面
ABB'A'，
所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.因为等边三角形
A'B'C'的边长为1，所以C'D＝ .在Rt△BB'C'中，BC'＝ ＝ ，所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝ .
课堂小结
1.理清单
（1）直线与平面垂直；
（2）直线与平面垂直的判定定理；
（3）直线与平面所成的角.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
易忽视线面垂直判定定理中平面内两直线“相交”这一条件.
课时作业
04
PART
1. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能推出该直线与平面垂直为真命
题的个数为（　　）
A. 0 B. 1
解析：　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相
交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能推出直线与平面垂直.
而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两
边可能是互相平行的两边，不满足定理条件.
C. 2 D. 3
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2. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所
成的角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC（图
略），AC＝ ，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC中点为O，由正四
棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B.
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3. 若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在
△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（　　）
A. 内心 B. 外心
C. 重心 D. 垂心
解析：　如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且
PA∩PO＝P，PA，PO 平面PAO，所以BC⊥平面
PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心.
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4. 如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直
线l与直线AC的关系是（　　）
A. 异面 B. 平行
C. 垂直 D. 不确定
解析：　因为AB⊥α，l α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l β，所以
BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，所以l⊥平面ABC，又
AC 平面ABC，所以l⊥AC.
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5. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　）
A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B. m⊥b，b∥α
C. m∩b＝A，b⊥α
D. m∥b，b⊥α
解析：　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故
A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；
m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；由线线
平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D.
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6. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA
＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　）
A. BC⊥平面PAB
B. AD⊥PC
C. AD⊥平面PBC
D. PB⊥平面ADC
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解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝
A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面
PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，
∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC 平面PBC，
∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，
即PB不垂直于平面ADC，故D不正确.
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7. 〔多选〕如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面
ABCD，则下列结论中正确的是（　　）
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
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解析：对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；
对于选项B，因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，所以AB∥
平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角
与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的
角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D
不正确.
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8. 设直线l 平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只
有 条.
解析：如图所示，和α成30°角的直线一定是以A为顶
点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°
时，直线AC，AB都满足条件.
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9. （2025·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 .
线段B1C　
解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与
AC交于点C，CB1，AC 平面B1AC，∴ BD1⊥平面
B1AC，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面
B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点
时，均有AP⊥BD1.
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10. 如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一
点，且AD＝ DB，点C为圆O上一点，且BC＝ AC. 点P在圆O所在
平面上的射影为点D，PD＝DB.
（1）求证：CD⊥平面PAB；
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解：证明：连接CO，
由AD＝ DB知，点D为AO的中点.
又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.
由 AC＝BC知，∠CAB＝60°，
所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.
因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面
ABC，又CD 平面ABC，所以PD⊥CD，
又PD，AO 平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB.
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（2）求直线PC与平面PAB所成的角.
解：由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的
角.又△AOC是边长为2的正三角形，
所以CD＝ .
在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝ ，
所以tan∠CPD＝ ＝ ，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°，
即直线PC与平面PAB所成的角为30°.
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11. 如图所示，设四面体A-BCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（　　）
解析：　因为四面体A-BCD是正四面体，所以点B在面ADC上的射影是
△ADC的重心，而重心应在EF的下方.
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12. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运
动，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
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解析： A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，
且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1 平面A1B1C1D1，则BB1
⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BD1B1，
所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1 平面BD1B1，所以A1C1
⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项， ＝ ，因为点P在线段B1C上运动，所以 ＝ A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；
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C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成
角取得最小值，最小值为 ，故C错误；D项，因为直线
BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成
角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦
值最大，即点P运动到B1C中点处时，直线C1P与直线
BD1所成∠C1BD1的余弦值最大，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中， cos ∠C1BD1＝ ＝ ＝ ，故D正确.
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13. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，Q为
棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为 .
解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所
以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的
角.由于tan θ＝ ，其中PA＝2，当PQ最小时，正切
值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝
＝ ，在Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ .
　
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14. 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝
60°，OA＝1，求证：OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线.
证明：如图，过A作AP⊥α于P，连接OP，OP即为直
线OA在平面α内的射影，
∠AOP为直线OA与平面α所成的角.
过P作PM⊥OB于M，PN⊥OC于N，连接AM，AN.
易得OB⊥平面AMP，OC⊥平面ANP，
∵∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1，
∴AM＝AN＝ ，OM＝ON＝ ，
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易得△PAN≌△PAM，
∴PN＝PM，易得△POM≌△PON，
∴∠POM＝∠PON，
∴OP为∠BOC的平分线.
∴OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线.
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15. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱）中，AC＝
BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1的中点.
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
解：证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，
又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B.
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（2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.
解：当点F为BB1的中点时，满足AB1⊥平面C1DF. 证
明如下：
设F为BB1的中点时，DF与AB1交于点E，易知A1B1＝ ，
∵AA1＝ ，∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴DF⊥AB1，
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
又DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF.
故当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.
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THANKS
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