8.6.3第一课时　平面与平面垂直的判定

(共54张PPT)
第一课时　平面与平面垂直的判定
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角（数学抽象、数学运算）.
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直（逻辑推理）.
课标要求
　　如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹
角”变大的感觉.其实，这就是我们即将学习的二面角的概念.
情景导入
知识点一　二面角
01
知识点二　平面与平面垂直的定义与判定
02
目录
课时作业
03
知识点一
二面角
01
PART
【知识梳理】
1. 概念：从一条直线出发的两个 所组成的图形叫做二面角，这
条直线叫做二面角的 ，这两个半平面叫做二面角的面.
2. 画法：
半平面　
棱　
3. 记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q或二面角P-AB-Q.
4. 二面角的平面角
（1）在二面角α-l-β的棱l上 一点O，以点O为垂足，在半平面α
和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成
的 叫做二面角的平面角，如图；
（2）二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是 的
二面角叫做直二面角.
任取　
∠AOB　
直角　
【例1】　如图，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小.
解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥AC，
PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC. 又PC 平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P-
BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
【规律方法】
1. 求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2. 作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，
通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点.
训练1　如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.
解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为
二面角A-CD-B的平面角.
设点H是△BCD的中心，连接AH，则AH⊥平面BCD，且
点H在线段BM上.
在Rt△AMH中，AM＝ ×2＝ ，HM＝ ×2× ＝ ，则 cos ∠AMB＝ ＝ ，即所求二面角的平面角的余弦值为 .
知识点二
平面与平面垂直的定义与判定
02
PART
问题　为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
提示：通过观察可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直.
【知识梳理】
1. 平面与平面垂直的定义
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是
，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β；
（2）画法：
直二面
角　
2. 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个
平面垂直.
符号语言：a α，a⊥β α⊥β.
　　提醒：（1）判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应
用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线；（2）过平面α外一点，可作
无数个平面与已知平面α垂直.
【例2】　如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一（定义法）　因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA
＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝
AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平
面ABC⊥平面SBC.
法二（判定定理法）　因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝
∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为
△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为
斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC. 又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
【规律方法】
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，
即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂
直于此平面.
训练2　（1）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出
下列说法，其中正确的是（　　）
A. 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B. 若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D. 若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
解析：　A中，α，β可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正
确；C中，α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C不正确；D
中，α，β可能平行也可能相交，所以D不正确.故选B.
√
（2）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，
M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM 平面
BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝ ＝ ，同理BM＝
＝ ，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M 平面A1B1M，所以BM⊥平面
A1B1M，
因为BM 平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
1. 已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（　　）
A. 有1个 B. 有2个
C. 有无数个 D. 不存在
解析：　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样
的平面有无数个.
√
2. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那
么这两个二面角（　　）
A. 相等 B. 互补
C. 相等或互补 D. 关系无法确定
解析：　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面
HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因
为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小
关系不确定.
√
3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1，则二面角C1-AB-C
为 .
解析：由图可知C1B⊥AB，CB⊥AB，所以∠C1BC是二面角C1-AB-C的
平面角，在Rt△C1BC中，tan∠C1BC＝ ＝1，又0≤∠C1BC≤π，所以
∠C1BC＝ .
　
4. 如图1所示，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高.以AD为折痕将
△ABD折起，使∠BDC为直角，如图2所示，求证：平面ABD⊥平面
BDC，平面ACD⊥平面BDC.
证明：易知AD⊥BD，AD⊥DC，又BD，DC 平面BDC，且BD∩DC
＝D，所以AD⊥平面BDC.
又AD 平面ABD，AD 平面ACD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.
课堂小结
1.理清单
（1）二面角及二面角的平面角；
（2）平面与平面垂直的定义；
（3）平面与平面垂直的判定.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
证明两平面垂直时，在一个平面内找与另一平面垂直的直线的过程中必
经证明.若直接找不到时，作辅助线后证明满足垂直.
课时作业
03
PART
1. 以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平
面角，其中可能为钝角的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解析：　异面直线所成的角α的范围为0°＜α≤90°，直线和平面所成的
角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，
只有二面角的平面角可能为钝角.
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2. 下列命题中正确的是（　　）
A. 平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有
可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.
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3. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则
BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以∠ABC为二面角A-BB1-
C的平面角，因为△ABC是正三角形，所以∠ABC＝60°.故选C.
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4. 如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一
点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有
（　　）
A. 平面ABC⊥平面BCD B. 平面BCD⊥平面ACD
C. 平面ABD⊥平面ACD D. 平面BCD⊥平面ABD
解析：　因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直
于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD 平面
ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面
ACD，故选B.
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5. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后的△ABC是
（　　）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角（非等边）三角形 D. 钝角三角形
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解析：　如图1，设正方形ABCD的边长为1，AC与BD相交于点O，则
折成直二面角后如图2，AB＝BC＝1，AC＝ ＝
＝1，则△ABC是等边三角形.
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6. 〔多选〕如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，
∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A'的位
置，此时A'C＝ ，构成三棱锥A'-BCD，则（　　）
A. 平面A'BD⊥平面BDC
B. 平面A'BD⊥平面A'BC
C. 平面A'DC⊥平面BDC
D. 平面A'DC⊥平面A'BC
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解析： 　在三棱锥A'-BDC中，A'D＝A'B＝1，∠BA'D＝90°，故
BD＝ ，易知DC＝ ，又A'C＝ ，故A'C2＝A'D2＋DC2，则
CD⊥A'D，又CD⊥BD，A'D∩BD＝D，所以CD⊥平面A'BD，故平
面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD，所以CD⊥A'B，又
A'B⊥A'D，A'D∩CD＝D，所以A'B⊥平面A'DC，故平面A'DC⊥平
面A'BC.
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7. 〔多选〕如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，
B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，以下四个
命题正确的是（　　）
A. PA∥平面MOB
B. MO∥平面PAC
C. OC⊥平面PAC
D. 平面PAC⊥平面PBC
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解析： 　因为PA 平面MOB，故A错误；因为OM是△PAB的中位
线，所以OM∥PA，又OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以OM∥平面
PAC，故B正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
故C错误；又BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故D正确.故选
B、D.
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8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 ，CC1＝ ，则二面角C1-BD-C的大小为 .
30°　
解析：如图，取BD中点O，连接OC，OC1，因为AB＝
AD＝2 ，所以CO⊥BD，CO＝ .因为CD＝BC，
所以C1D＝C1B，所以C1O⊥BD. 所以∠C1OC为二面
角C1-BD-C的平面角.因为tan∠C1OC＝ ＝ ＝ ，
所以∠C1OC＝30°，即二面角C1-BD-C的大小为30°.
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9. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，
平面MBD⊥平面PCD. （只要填写一个你认为是正确的条件即可）
DM⊥PC（或BM⊥PC）　
解析：由题意得BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD. 又PA∩AC
＝A，PA，AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当
DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
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10. （2025·宁德月考）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯
形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四边形ABB1A1和四边形
ADD1A1均为正方形.
（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解：证明：因为四边形ABB1A1和四边形ADD1A1均
为正方形，所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，所以AA1⊥平
面ABCD. 因为AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解：过点B作BH⊥CD于点H，连接B1H（图略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面BB1H，所以CD⊥平
面BB1H，所以B1H⊥CD，所以∠BHB1为二面角B1-
CD-A的平面角.由等面积法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，所以B1H
＝ ＝ ，故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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11. （2025·焦作月考）若正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱
AA1＝ ，D是CB延长线上一点，且BD＝BC，则二面角B1-AD-B的大
小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由题意知AB＝DB＝3，BB1＝AA1＝ 且
∠ABD＝ ，过B作BE⊥AD于E，连接B1E，
则BE＝ ，而BB1⊥平面ABD，AD 平面ABD，
∴AD⊥BB1，而BB1∩BE＝B，即AD⊥平面BEB1，∴AD⊥B1E，
故二面角B1-AD-B的平面角为∠BEB1，∴tan∠BEB1＝ ＝ ，而
∠BEB1∈[0，π]，即∠BEB1＝ .
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12. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点
E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是（　　）
A. 平面EFG∥平面PBC
B. 平面EFG⊥平面ABC
C. ∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D. ∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
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解析：对于A，因为点E，F分别是AB，AP的中点，所以EF∥PB，又EF 平面PBC，PB 平面PBC，所以EF∥平面PBC. 同理，EG∥平面PBC. 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面PBC，因此A中结论正确；对于B，因为PC⊥BC，PC⊥AC，BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC. 又FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，又FG 平面FGE，所以平面FGE⊥平面ABC，因此B中结论正确；对于C，在平面PBC中，由BC⊥PC，得∠BPC为直线BP与直线PC所成的角，又EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，因此C中结论正确；对于D，由于FE，GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D中结论不正确.
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13. 如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，
PC，PD，AC，BD，则下列关系正确的是 .
（填序号）
①②　
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.
解析：由于BC⊥AB，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，所以
BC⊥PA，又PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面
PBC. 又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB. 分析易知
平面PAB与平面PAC，平面PCD均不垂直.
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14. 如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD＝2AB＝
4，BC＝3，E为AD的中点，EF⊥BC，垂足为F. 沿EF将四边形ABFE
折起，连接AD，AC，BC，得到如图2所示的六面体ABCDEF. 已知折起
后AB的中点M到点D的距离为3.
（1）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
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解：证明：取EF的中点N，连接MN，DN，MD（图略）.根据题意可
知，四边形ABFE是边长为2的正方形，又M，N分别为AB，EF的中点，∴MN⊥EF，MN＝2.
由题意得DN＝ ＝ ，又MD＝3，∴MN2＋DN2＝22＋（ ）2＝9＝MD2，
∴MN⊥DN，又∵EF∩DN＝N，EF，
DN 平面CDEF，∴MN⊥平面CDEF.
又MN 平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF.
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（2）求六面体ABCDEF的体积.
解：连接CE（图略），则V六面体ABCDEF＝V四棱锥C-ABFE＋V三棱锥A-CDE.
由（1）知MN⊥平面CDEF，又MN∥BF∥AE，∴BF⊥平面CDEF，AE⊥平面CDEF，
∴BF⊥CF，又CF⊥EF，BF∩EF＝F，BF，EF 平面ABFE，∴CF⊥平面ABFE，
∴V四棱锥C-ABFE＝ ·S正方形ABFE·CF＝ ，V三棱锥A-CDE＝ ·S△CDE·AE
＝ ，∴V六面体ABCDEF＝ ＋ ＝ .
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15. 如图所示，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且 ＝ ＝λ（0＜λ＜1）.
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
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解： EF⊥平面ABC. 证明如下：
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴CD⊥平面ABC.
在△ACD中， ＝ ＝λ（0＜λ＜1），
∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
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（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD？如果存在，求出λ的值；如
果不存在，请说明理由.
解： 存在.∵CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，
∴BE⊥CD，故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证
BE⊥AC.
在Rt△BCD中，BC＝CD＝1，
∴BD＝ .
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝BD·tan 60°＝ ，则AC＝ ＝ ，
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当BE⊥AC时，BE＝ ＝ ，
AE＝ ＝ ，则 ＝ ＝ ，
即λ＝ ＝ 时，BE⊥AC，
又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD.
∵BE 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.
∴存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，此时λ＝ .
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