培优课　几何法求空间角 能力提升

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培优课　几何法求空间角 能力提升
1.会运用平移的方法求异面直线所成的角，会求直线与平面所成的角（数学运算）.
2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小（直观想象、数学运算）.
重点解读
一、异面直线所成的角
【例1】　如图，已知在三棱锥A-BCD中，AD＝1，BC＝ ，且
AD⊥BC，BD＝ ，AC＝ ，求异面直线AC与BD所成角的大小.
解：如图，取AB，AD，DC，BD的中点分别为E，F，G，M，连接
EF，FG，GM，ME，EG. 则MG BC，EM AD.
因为AD⊥BC，所以EM⊥MG.
在Rt△EMG中，有EG＝ ＝1.
由图可知，∠EFG（或其补角）为异面直线AC与BD所成的角.
在△EFG中，因为EF＝ BD＝ ，FG＝ AC＝ ，所以EF2＋FG2＝
EG2，所以EF⊥FG，即AC⊥BD，所以异面直线AC与BD所成角的大小为90°.
【规律方法】
求异面直线所成的角的方法
求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方
法：①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补
形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.
训练1　正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为 ，
则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是（　　）
A. 90° B. 60°
√
C. 45° D. 30°
解析：　连接FE1，FD，则FE1∥BC1，故∠FE1D（或其补角）为E1D
与BC1所成的角.在△EFD中，EF＝ED＝1，
∠FED＝120°，∴FD2＝EF2＋ED2－2EF·ED
· cos 120°＝3，∴FD＝ ，在△EFE1和△EE1D
中，得E1F＝E1D＝ ＝ ，
∴△FE1D是等边三角形，∠FE1D＝60°.故选B.
二、直线与平面所成的角
【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝AC＝BC，PA⊥平面ABC，
∠ACB＝90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值.
解：如图，取PC的中点为E，连接EO，则OE∥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE为直线CO与平
面PAC所成的角.
设PA＝AC＝BC＝2，则OE＝1，CE＝ ，OC＝ ，∴ cos ∠OCE＝ ＝ ＝ .∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为 .
【规律方法】
求直线和平面所成的角的步骤
（1）当直线是平面的一条斜线时：
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即
为所求的角；
③把该角放在某个三角形中，通过解三角形求出该角.
（2）当直线与平面平行（或在平面内）时，直线与平面所成的角为0°，
当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为90°.
　　提醒：一条斜线与平面所成的角是这条直线与平面内所有直线所成角
中最小的，称之为最小角定理.
训练2　（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱
BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为（　A　）
A. B.
C. D.
A
解析： 取A1C1，AC的中点E，F，连接B1E，BF，
EF，如图所示.由正三棱柱性质易知B1E⊥平面AA1C1C，
过D作DH∥B1E，则DH⊥平面AA1C1C，则∠DAH即为
AD与平面AA1C1C所成的角，易得DH＝B1E＝ ，DA＝
，所以 sin ∠DAH＝ ＝ .故选A.
（2）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四
棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为
，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为 　 　.
解析： 画出如图所示的示意图，设底面边长为a，
则塔高EF＝ a，AF＝ AC＝ a，所以侧棱与底面
所成的角∠EAF的正切值为 ＝ ＝ .
　
三、二面角
角度1　定义法求二面角
【例3】　如图所示，平面ABCD⊥平面BCEF，四边形ABCD为矩形，四
边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE. 求平面ADE与
平面BCEF所成二面角的大小.
解：在平面BCEF中，过点E作BC的平行线与BF的延
长线交于点G，连接AG，如图，则EG∥BC.
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以
EG∥AD，则平面ADEG与平面BCEG所成的角即为所求
的二面角，EG即为该二面角的棱.
由BC⊥CD，BC⊥CE可知，BC⊥平面CDE.
又EG∥BC，所以EG⊥平面CDE.
因为在平面BCEG中有CE⊥EG，在平面ADEG中，有DE⊥EG，所以∠DEC即为平面ADE与平面BCEF所成二面角的平面角.
因为平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF
＝BC，DC⊥BC，所以DC⊥平面BCEF，所以
DC⊥CE，又DC＝CE，所以△DCE是等腰直角三角
形，所以∠DEC＝45°，
即平面ADE与平面BCEF所成二面角的大小为45°.
【规律方法】
利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂
线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证
明，最后在三角形中求平面角.
训练3　二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱l
的距离分别为2和4，AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值.
解：如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足，则AC＝
2，BD＝4，AB＝10.
在β内过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE，
∴四边形CEBD为平行四边形，∴BE∥l，且CE＝BD＝4，∴∠ABE为AB与棱l所成的角，
∵BD∥CE，∴l⊥CE，又l⊥AC，AC∩CE＝C，
∴∠ACE为α-l-β的平面角，且l⊥平面ACE，∴∠ACE＝60°，
∴AE2＝AC2＋CE2－2AC·CE· cos ∠ACE
＝22＋42－2×2×4× ＝12，∴AE＝2 ，
又BE∥l，l⊥平面ACE，
∴BE⊥平面ACE，∴BE⊥AE，
∴ sin ∠ABE＝ ＝ ＝ .
∴AB与棱l所成角的正弦值为 .
角度2　垂面法求二面角
垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有
一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角.如图，∠AOB为二面
角α-l-β的平面角.
【例4】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小.
解：∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中
线，∴SC⊥BE.
又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，∴SC⊥平面
BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，∴SA⊥BD，
而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA＝2，则AB＝2，BC＝
SB＝2 .
∵AB⊥BC，∴AC＝2 ，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC
＝60°.
即二面角E-BD-C的大小为60°.
【规律方法】
二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，
那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.
训练4　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是
A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.
（1）求证：平面MNF⊥平面NEF；
解： 证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN 平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角
形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE. 又
NF∩NE＝N，NF，NE 平面NEF，
∴MN⊥平面NEF. 而MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
（2）求二面角M-EF-N的平面角的正切值.
解：在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，
连接MG. 如图所示.
由（1）得知MN⊥平面NEF，又NG，EF 平面
NEF，
∴MN⊥NG，MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，MN，NG 平面MNG，
∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M-EF-N的平面角.
设该正方体的棱长为2.在Rt△NEF中，NG＝ ＝ ＝ ，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝ ＝ ＝ .
∴二面角M-EF-N的平面角的正切值为 .
角度3　垂线法求二面角
垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足
为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二
面角的平面角或其补角.如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【例5】　如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α-BD-β的大小.
解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，
作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∴由三垂线
定理知BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角.
依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，
∴AF＝CF＝ ，AE＝1，∴ sin ∠AFE＝ ＝ ＝ ，∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.
【规律方法】
如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可
过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连
线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.
训练5　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面
ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的余弦值.
解：设PA＝AB＝2，过点A在平面ABCD内作AE⊥BC
交BC于点E，连接PE，如图所示，
由三垂线定理得，PE⊥BC，∴二面角P-BC-A的平面
角为∠PEA，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝
30°，AB＝2，则AE＝ AB＝1，∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AE，∴PE＝ ＝ ，∴ cos ∠PEA＝ ＝ ＝ .∴二面角P-BC-A的余弦值为 .
角度4　射影面积法求二面角
射影面积法：如果能够找到一个半平面的图形在另一个半平面内的射
影图形，那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦
值的绝对值.
【例6】　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面
ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.
解：如图，∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB
平面PAB，
∴AD⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB. ∴△PCD在平面
PBA上的射影为△PAB，设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.
【规律方法】
射影面积法的应用
设二面角α-l-β的大小为θ（0°≤θ≤180°），在一个半平面上的多边形面
积为S，它在另一个半平面上的射影面积为S'，则求得｜ cos θ｜＝ 值.再
由几何图形判断 cos θ的正负，进而求得θ.
训练6　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-
BC-A的平面角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：　由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，设棱长为a，BC的
中点为E，连接A1E，AE（图略），可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二
面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，由题意知，△A1BC在平面ABC的射影
为△ABC，所以 cos ∠A1EA＝ ＝ ，在Rt△A1AE中，AE＝
a，A1E＝ ＝ a，所以 cos ∠A1EA＝ ＝ ＝ .即
二面角A1-BC-A的平面角的余弦值为 .
1. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1
中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余
弦值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：　连接BC1，由题意得BC1∥AD1，则∠A1BC1（或其补角）为异面
直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，得A1C1＝ ，
A1B＝BC1＝ ，故 cos ∠A1BC1＝ ＝ ＝ .
2. 已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 πr3时，该圆锥的母线
与底面所成角的正弦值为（　　）
A. B.
解析：　设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝ πr2h＝ πr3，解得
＝ ，所以母线与底面所成角的正切值为 ，由同角三角函数关系可得，
母线与底面所成角的正弦值为 .故选A.
C. D.
√
3. 已知在如图所示的四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝ ，则二面角B-CD-A的正切值为 .
1　
解析：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.∵BC⊥CD，∴BD＝ ＝ .∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD，∴AB＝ ＝1，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝1.
4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知过顶点A的三条棱长分别是 ，
，2，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，
那么 cos 2α＋ cos 2β＋ cos 2γ＝ .
解析：如图所示，连接AC，AB1，AD1.设∠CAC1＝α，
∠C1AB1＝β，∠C1AD1＝γ，AA1＝ ，AB＝ ，AD＝
2，则得 cos 2α＋ cos 2β＋ cos 2γ＝（ ）2＋（ ）2＋
（ ）2＝ ＝ ＝2.
2　
课堂小结
1.理清单
（1）异面直线所成的角；
（2）直线与平面所成的角；
（3）二面角.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时容易出错.
课时作业
1. 已知二面角α-l-β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a α，
b β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为（　　）
A. 40° B. 50°
C. 130° D. 140°
解析：　如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，
OB∥a，由a α，b β，且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面
角α-l-β的平面角，则有∠AOB＝130°，又OA∥b，
OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°－130°＝50°.
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√
2. 已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝ ，M是侧棱PC的中点，
且BM＝ ，则异面直线PA与BM所成角为（　　）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
解析：　如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则
∠OMB为异面直线PA与BM所成角.由O，M分别为
AC，PC中点，得OM＝ PA＝1.在Rt△AOB中，易得
OB＝AB· sin 45°＝1.又BM＝ ，所以OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB为等腰直角三角形，∠OMB＝45°.
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3. （2025·东莞月考）已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，平面α上有一
点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tan θ＝（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　如图，作CE⊥AB于点E，CD⊥平面β于点
D，连接ED，因为AB 平面β，所以CD⊥AB，又
CE∩CD＝C，且CE 平面CDE，CD 平面CDE，
所以AB⊥平面CDE，因为ED 平面CDE，所以
AB⊥ED，因此∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED
＝ ＝ ，所以tan θ＝ ＝ .故选B.
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4. 二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB α，B∈MN，∠ABM＝θ2（θ2为锐
角），AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是（　　）
A. cos θ3＝ cos θ1· cos θ2 B. cos θ3＝ sin θ1· cos θ2
C. sin θ3＝ sin θ1· sin θ2 D. sin θ3＝ cos θ1· sin θ2
解析：　如图，过点A作AH⊥β于点H，作HO⊥MN
于点O，连接AO，BH，则AO⊥MN，所以∠AOH为
α-MN-β的平面角，即θ1，∠ABH为AB与β所成的角，即θ3，
因为 sin θ1＝ ， sin θ2＝ ，所以 sin θ1· sin θ2＝ · ＝ ＝ sin θ3.
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5. 如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的
余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接
AO，如图所示，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD
＝BD，AO 平面ABD，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，∴OM⊥CD，又AO∩OM＝O，∴CD⊥平面AOM，∴AM⊥CD，∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角.设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝ ，OM＝1，∴AM＝ ＝ .∴ cos ∠AMO＝ ＝ ＝ .
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6. 〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（　　）
A. 直线AB1与A1C1所成的角为60°
B. 直线AC与B1D1所成的角为60°
C. 二面角B-AD-B1的大小为45°
D. 二面角A-BD-A1的大小为45°
√
√
解析：对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知：
AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C为等边三角形，
故∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，
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故∠B1AC＝60°即为直线AB1与A1C1所成的角，故A正确；对于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与B1D1所成的角为90°，故B错误；
对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1 平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又
因为AB⊥DA，故∠BAB1即为二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝
45°，故C正确；对于D，连接A1D，A1B，设正方体的棱长为2，所以
A1D＝BD＝A1B＝2 ，AO＝ ，A1O＝ ，又A1O⊥BD，
AO⊥BD，所以∠A1OA即为二面角A-BD-A1的平面角，所以 sin ∠A1OA
＝ ＝ ＝ ，故D错误.故选A、C.
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7. 〔多选〕已知锐二面角α-l-β的大小为θ.如图所示，点P为锐二面角内部
一点，且点P在α，β内的射影分别为A，B，PA＝a，PB＝b.过点P，
A，B的平面交l于O，下列结论正确的是（　　）
A. △PAB边AB的长为
B. △PAB外接圆的直径为
C. OA长为
D. 四边形OAPB的面积为
√
√
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解析：由题意得∠AOB＝θ，将空间问题转化为平面问题，
如图.依据题设条件知O，A，P，B四点共圆，连接AB，
∠APB＝π－θ，所以AB＝ ＝
，故A错误；则OP＝2R＝
＝ ＝ ＝ ，B正确；OA2＝ －a2＝ ，OA＝ ，C正确；四边形OAPB面积为 ［ ×a＋ ×b］＝ ，D正确.故选B、C、D.
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8. 如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB
＝∠BSC＝∠CSA＝ ，M，N分别是AB和SC的中点.则异面直线SM与
BN所成角的余弦值为 .
　
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解析：如图所示，连接CM，设Q为CM的中点，连接
QN，则QN∥SM. ∴∠QNB（或其补角）是异面直线SM
与BN所成的角.连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，BN＝
a，NQ＝ SM＝ a，BQ＝ a，∴ cos ∠QNB＝
＝ ＝ ，即异面直线SM与BN所成角的余弦值为 .
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9. 如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中
点，则直线BE和平面PAC所成的角为 .
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解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，连接BD，交AC于点
O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平
面PAC. 连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成
的角.∵正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，∴V＝ ×
6×PO＝2，则PO＝1，BC＝ ，则OC＝OB＝ ，
∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，连接EH，则EH⊥OC，EH＝ PO＝ ，OH＝ OC＝ ，则OE＝ ＝ ＝1.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝ ＝ ＝ ，则∠BEO＝60°.
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10. 阅读以下说明，判断结论是否正确：
《九章算术》中所描述的三类几何体：“堑堵”“阳马”“鳖臑”的几何
特征及它们之间关系为：取一长方体，按图1斜割一分为二，得到两个一
模一样的三棱柱，称之为堑堵.
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按图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱
锥.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥
是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
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设α为直线CB与PB所成的角，β为直线CB与直线PB在
底面ABC上的射影的夹角，θ为直线PB与底面ABC所成
的角，γ为二面角A-PB-C的平面角，ρ为直线AB与平面
PBC所成的角，φ为直线PC与底面ABC所成的角，则下列结论正确的为
（只填序号）.
①②③　
今有一为鳖臑的几何体P-ABC中，AC⊥BC，
PA⊥平面ABC，如图所示.
① cos α＝ cos β cos θ；
② sin γ＝ ；
③ sin ρ＝ sin φ sin β.
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解析：易知α＝∠PBC，θ＝∠PBA，直线PB在底面
ABC上的射影为直线AB，故β＝∠ABC. 由PA⊥平面
ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. ∴ cos β cos θ＝ ·
＝ ＝ cos α，①正确；
如图，作AN⊥PC于N，AM⊥PB于M，连接MN. 由①知，BC⊥平面
PAC，∴BC⊥AN. ∵BC∩PC＝C，∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥MN，
AN⊥PB，∵AM∩AN＝A， ∴PB⊥平面AMN，∴MN⊥PB，
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则二面角A-PB-C的平面角γ＝∠AMN. 易知直线PC与底面ABC所成的角φ＝∠PCA，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sin ∠AMN＝ sin γ，②
正确；
如图，连接BN，则直线AB与平面PBC所成的角
ρ＝∠ABN，
∴ sin φ sin β＝ · ＝ ＝ sin ρ，③正确.
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11. 如图，点P为平面ABC外一点，AP，AB，AC两两互相垂直，过AC
的中点D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，连接BP，
BE，BD，多面体B-PADE的体积是 .
（1）画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明理由；
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解：如图，延长PE交AC于点F，连接BF，
∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC.
∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，
∴ ＝ ＝ ，∴F与C重合.
∵C∈PE，C∈AC，PE 平面PBE，AC 平面ABC，
∴C是平面PBE与平面ABC的公共点.
又B是平面PBE与平面ABC的公共点，
∴BC是平面PBE与平面ABC的交线.
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（2）求BE和平面PADE所成角的正切值.
解： 如图，连接AE.
∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，
∴∠BEA为BE和平面PADE所成的角.
∵VB-PADE＝ S梯形ADEP·AB＝ × ×（1＋2）×1×AB＝ ，
∴AB＝ ，又∵AE＝ ＝ ，∴tan∠BEA＝ ＝ ＝ ，
∴BE和平面PADE所成角的正切值为 .
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12. 如图，在水平放置的直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，
AD＝DC＝ AB＝1，以AB所在直线为轴，将梯形ABCD向上旋转角θ得
到梯形ABEF，其中θ∈ .
（1）证明：平面ADF⊥平面CDFE；
解：证明：由题意，知AB⊥AD，AB⊥AF，
AD∩AF＝A，且AD，AF 平面ADF，
所以AB⊥平面ADF，又AB∥CD，所以CD⊥平面ADF，
因为CD 平面CDFE，所以平面ADF⊥平面CDFE.
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（2）若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于 ，求θ的值.
解：因为EF∥AB∥CD，所以EF⊥平面ADF，从而
△BCE在平面ADF内的投影为△ADF，
所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为
，由已知得∠FAD＝θ，AF＝AD＝1，BE＝BC＝ ，
FD＝EC＝2 sin ，
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所以S△ADF＝ sin θ＝ sin cos ，S△BCE＝ ·2 sin · ＝ sin
· ，
从而 ＝ ＝ ＝ ，即 cos 2 ＝ ，
因为θ∈ ，
所以 cos ＞0，所以 cos ＝ ，
所以 ＝ ，故θ＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看