培优课　空间几何体的截面问题 能力提升

(共44张PPT)
培优课　空间几何体的截面问题 能力提升
1.理解空间几何体被平面所截所得的截面、交线、交点（直观想象）.
2.会作简单几何体的截面图（逻辑推理、直观想象）.
3.会计算简单几何体截面图的面积、周长或部分交线长（数学运算）.
重点解读
　　
截面定义：用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面，与几何体表面的交集（交线）叫做截线，与几何体棱的交集（交点）叫做截点.
一、直接法作截面
【例1】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为A1B1，
B1C1的中点，过M，N的平面所得截面为四边形，则该截面的最大面积为
（　　）
A. 2 B. 2
C. D.
√
解析：　如图所示，面积最大的截面四边形为等腰梯
形MNCA，其中MN＝ ，AC＝2 ，AM＝CN＝
，高为h＝ ＝ ，故面积为 ×（ ＋
2 ）× ＝ .
【规律方法】
若截面与几何体的交点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借
助基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这
个平面内”，直接连线作截面.连接该两点即为几何体与截面的交线，找
截面实际就是找交线的过程.
训练1　〔多选〕如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分
别为棱A1C1，B1C1，BC，AC上的点，过E，F，G，H四点作截面，则
截面的形状可以为（　　）
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 梯形
√
√
√
解析： 截面图如图所示，因为ABC-A1B1C1为直三
棱柱，则平面A1B1C1∥平面ABC，截面过平面A1B1C1、平面ABC，则交线EF∥HG，当FG不与B1B平行时，此时截得的EH不平行于FG，四边形EFGH为梯形；当FG∥B1B时，此时截得的EH∥FG，FG⊥EF，当EH≠EF时，四边形EFGH为矩形；当EH＝EF时，四边形EFGH为正方形.故A、C、D正确.
二、平行法作截面
【例2】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点P在棱AD上，过点
P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且该截面的面积为 时，
求线段AP的长.
解：如图，连接BD，A1D，过点P作BD，A1D的平行
线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR.
因为BD∥B1D1，所以PQ∥B1D1，因为B1D1 平面
B1D1C，PQ 平面B1D1C，所以PQ∥平面B1D1C.
因为A1D∥B1C，所以PR∥B1C. 因为B1C 平面
B1D1C，PR 平面B1D1C，所以PR∥平面B1D1C.
又PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面B1D1C，则平面PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则 PQ2· ＝ ，解得
PQ＝2，所以AP＝ PQ＝ .
【规律方法】
若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的
某一个面平行，可以借助于两个性质：①如果一条直线平行于一个平面，
经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行；②如
果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行，利用平行
线法作截面.
训练2　如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中
点，过A，D1，E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分，则
该截面的周长为（　　）
A. 3 ＋2 B. 2 ＋ ＋3
C. D. 2 ＋2 ＋2
√
解析：　如图，取BC的中点F，连接EF，AF，
BC1，E，F分别为棱CC1，BC的中点，则EF∥BC1，
又在正方体中BC1∥AD1，则有EF∥AD1，所以平面
AFED1为所求截面，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
长为2，所以EF＝ ，D1E＝AF＝ ＝ ，
AD1＝2 ，所以四边形AFED1的周长为3 ＋2 .
三、延长线法作截面
【例3】　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
解：如图所示，五边形DQMFN为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，连接DH交AA1于点Q，连接QM，FN，所以五边形DQMFN即为所求截面.
【规律方法】
若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于基本事
实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面
内”，利用延长线法作截面.
训练3　已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面
ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝4，BA＝BC＝2，M为PA中
点，过点C，D，M的平面截四棱锥P-ABCD所得的截面为α.若α与棱PB
交于点F，画出截面α，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置.
解：延长DC交AB的延长线于E，连接ME交PB
于F，连接FC，如图，四边形MFCD为截面α.在
△ADE中，BC∥AD，由 ＝ ，则C为DE中
点，B为AE中点，过M作MN∥AB交PB于N，则
MN＝ AB＝1，∴△MNF∽△EBF，∴ ＝ ＝
，∴BF＝2NF，即BF＝ BP，∴F为棱PB上靠
近点B的三等分点.
1. 用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是（　　）
A. 四边形 B. 三角形
C. 五边形 D. 六边形
解析：　根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面
就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形.故
选D.
√
2. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积
为（　　）
A. （3＋3 ）π B.
C. （4＋6 ）π D. （6＋6 ）π
解析：　依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，所以圆
锥的底面半径为r＝ ，所以圆锥的表面积为π×（ ）2＋π× ×3＝
.故选B.
√
3. （2025·中山月考）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是正方形ABCD、正方形BB1C1C的中心，则过点A，M，N的平面
截正方体的截面面积为 .
解析：如图，连接AC，则AC过点M，连接B1C，则
B1C经过点N，连接AB1，则过点A，M，N的平面截
正方体的截面为等边△ACB1，因为正方体棱长为a，故
△ACB1边长为 a，面积为 ·（ a）2＝ a2.
a2　
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是A1D1，C1D1，
AA1的中点，试过P，Q，R三点作其截面.
解：如图，取BC的中点为F，延长PR，DA交于点
E，连接EF交AB于点G，则G为AB的中点，延长
GF，DC交于点H，连接HQ交CC1于点I，所得六边形
PRGFIQ即为所作截面.
课堂小结
1.理清单
（1）直接法作截面；
（2）平行线法作截面；
（3）延长线法作截面.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
线面交点、面面交线易标错画错.
课时作业
1. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不
可能是（　　）
A. 圆锥 B. 圆柱
解析：　用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角
形，所以A满足条件； 用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状可能是矩
形，可能是圆，可能是椭圆，不可能是一个三角形，所以B不满足条件；
用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条
件； 用一个平面去截一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以
D满足条件.故选B.
C. 三棱锥 D. 正方体
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2. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面
（　　）
A. 一定通过正方体的中心
B. 一定通过正方体一个表面的中心
C. 一定通过正方体的一个顶点
D. 一定构成正多边形
解析：　根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中
截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心.
故选A.
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3. （2025·杭州月考）已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1相
交，分别交棱AA1，CC1于M，N. 则下列关于截面BMD1N的说法中，不
正确的是（　　）
A. 截面BMD1N可能是矩形
B. 截面BMD1N可能是菱形
C. 截面BMD1N可能是梯形
D. 截面BMD1N不可能是正方形
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解析：　如图1，当M，N分别与对角顶点重合时，显然BMD1N是矩
形；如图2，当M，N为AA1，CC1的中点时，显然BMD1N是菱形，由正
方体的性质及勾股定理易知：BMD1N不可能为正方形；根据对称性，其
他情况下BMD1N为平行四边形；综上，C不正确.故选C.
　　
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4. 在圆柱、圆锥、圆台和球四个几何体中，分别作出它们的截面（阴影部分），那么截面面积y与x之间的函数关系可以用如图所示的曲线表示的是（　　）
解析：　对于A，y是x的正比例函数；对于C、D，y都是x的二次函数.
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5. 在三棱锥P-ABC中，AB＋2PC＝9，E为线段AP上更靠近P的三等分
点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的
周长为（　　）
A. 5 B. 6
C. 8 D. 9
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解析：　如图所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作
EF∥AB，EH∥PC，再分别过点H，F作HG∥AB，
FG∥PC，可得E，F，G，H四点共面，因为AB 平面
EFGH，EF 平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理
可证，PC∥平面EFGH，所以截面即为平行四边形
EFGH，又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB
＋2PC＝9，所以EF＝ AB，EH＝ PC，所以平行四边形EFGH的周长为2（EF＋EH）＝ （AB＋2PC）＝6.
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6. 〔多选〕下列判断不正确的是（　　）
A. 平面于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
解析：对于选项A，B，D，截面的边界中，可能有曲线，即所截面可能是曲边图形；对于C，如图，过S的截面截圆锥SO得到截面△SAB，由Rt△SOA≌Rt△SOB，所以SA＝
SB，△SAB为等腰三角形，C正确.
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7. 〔多选〕用一个平面截正方体，则截面的形状可能是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角梯形
C. 菱形 D. 最多是六边形
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解析：对于A，截面图形如果是三角形，只能是锐角三角
形，不可能是直角三角形和钝角三角形，如图所示的截面
为△ABC，设DA＝a，DB＝b，DC＝c，
所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2.所以由
余弦定理得， cos ∠CAB＝ ＝ ＞0，
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所以∠CAB为锐角.同理可求，∠ACB为锐角，∠CBA为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故A符合题意；对于B，如图，截面图形如果是四边形，可能是正方形、矩形、菱形、一般梯形、等腰梯形，不可能是直角梯形，故B不符合题意；对于C，如图（1）（3），截面可能是菱形，故C符合题意；对于D，因为正方体有六个面，所以它的截面最多是六边形，故D符合题意.
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8. 已知正四面体A-BCD的棱长为2 ，四个顶点都在球心为O的球面
上，P为棱AB的中点，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值
为 .
解析：易知当截面与PO垂直时截面面积最小，设截面半径为r，有r＝
＝PA＝ ，所以截面面积的最小值为π·r2＝6π.
6π　
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9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F分别
为BB1，A1D1的中点，过点A，E，F作长方体ABCD-A1B1C1D1的一截
面，则该截面的周长为 .
解析：连接AF，过点E作EP∥AF交B1C1于点P，连接FP，
AE，即可得到截面AFPE，因为E为BB1中点，EP∥AF，
所以B1P＝ A1F＝1，因为AB＝2，AD＝AA1＝4，则AF
＝ ＝2 ，且EP＝ AF＝ ，AE＝
＝2 ，FP＝ ＝ ，所以截面AFPE的周长为2 ＋ ＋2 ＋ ＝4 ＋2 .
4 ＋2 　
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10. 从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上
底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图
所示，用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图
形的面积为 .
4π－2　
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解析：截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，则截面圆
的面积为4π，设正四棱锥的底面正方形边长为a，则2a2＝16，所以a＝
2 ，正四棱锥的底面正方形的面积为（2 ）2＝8，由截面是由平行于
底面的平面截得的，则圆面中挖去的
正方形与正四棱锥的底面正方形相似，
设圆面中挖去的正方形的面积为S'，
正四棱锥的底面正方形的面积为S，
则 ＝ ＝ ，从而S'＝2，所以截面图形的面积为4π－2.
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11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝ ，AA1
＝3，M为线段BB1上的一动点，求过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所
得截面的最小周长.
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解：由题意可知过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所
得截面的周长即△AMC1的周长，
因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形，所以AC1
＝ ＝ ，
直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示，
则在矩形ACC1A1中，AM＋MC1≥AC1＝ ＝3 ，
所以过A，M，C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3 ＋ .
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12. （2025·阳江质检）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，
AA1＝ ，M为DD1的中点.
（1）求证：D1B∥平面MAC；
解：证明：连接DB，交AC于点O，所以O为DB的
中点，连接MO. 因为M为DD1的中点，所以MO是
△D1DB的中位线，所以D1B∥MO.
又MO 平面MAC，D1B 平面MAC，所以D1B∥平面
MAC.
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（2）过D1B作正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面，使得截面平行于平面
MAC，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.
解：分别取A1A，B1B，C1C的中点E，G，F，连
接D1E，EB，BF，FD1，则四边形D1EBF即为所求截
面，理由如下：
连接A1G，GF，所以A1E＝GB，A1E∥GB，所以四边形
A1EBG是平行四边形，所以A1G＝EB，A1G∥EB. 同理A1D1＝GF，A1D1∥GF，所以四边形D1A1GF是平行四边形，所以A1G＝D1F，A1G∥D1F，所以D1F＝EB，D1F∥EB，即四边形D1EBF是平行四边形.
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又因为MD1＝CF，MD1∥CF，所以四边形D1MCF是平行
四边形，所以D1F∥MC.
因为D1F 平面MAC，MC 平面MAC，所以D1F∥平面
MAC，又因为D1F∩D1B＝D1，D1F，
D1B 平面D1EBF，所以平面MAC∥平面D1EBF，所以四
边形D1EBF即为所求截面.
又因为EB＝ ＝ ＝ ，
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FB＝ ＝ ＝ ，所以EB＝
FB，所以四边形D1EBF为菱形，所以D1B⊥EF.
因为D1B＝
＝ ＝ ＝2，
EF＝AC＝ ＝ ，所以截面面积为 D1B·EF＝ .
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