培优课　与球相关的“切”“接”问题 能力提升

(共59张PPT)
培优课　与球相关的“切”“接”问题 能力提升
1.理解与球有关的几何体的切、接时的图形特征（直观想象）.
2.会利用切、接关系进行相关的转化与计算（数学运算）.
重点解读
一、几何体的外接球
几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球.求解外接球的关键就是确定球心.
角度1　柱体的外接球
【例1】　（1）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球
的体积为（　B　）
A. B.
B
C. D.
解析：法一　如图，O为外接球球心，母线BB1的长度为2，底面半径r＝O2B＝1，易得外接球半径R＝OB＝ ＝ ，∴外接球体积V＝ π（ ）3＝ .故选B.
法二　由圆柱外接球的直径等于其轴截面对角线长，∴2R＝ ＝
2 ，R＝ ，∴外接球体积V＝ π（ ）3＝ .
（2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之
比为 .
π∶2　
解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的
半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝
.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝
OC'2，即a2＋ ＝R2，所以R＝ a.从而V半球＝ πR3＝ π· ＝ πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝ πa3∶a3＝ π∶2.
【规律方法】
柱体外接球问题的求解策略
（1）正方体、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对
角线长的一半；
（2）求圆柱的外接球，可以先作该圆柱的轴截面，轴截面对角线即为外接球的直径，或将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解；
（3）求直棱柱的外接球，可以先求其外接圆柱体，再利用该圆柱体的轴
截面求半径.
训练1　一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱
柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这
个球的体积为 .
　
解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 解得
由六棱柱的外接球等于其外接圆柱体的外接球，又正六棱柱的
底面外接圆的半径r＝ ，∴外接球的直径2R＝ ＝2，∴R
＝1，∴球的体积V球＝ .
角度2　锥体的外接球
【例2】　（1）若正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，各
顶点都在同一球面上，则此球的体积为（　C　）
A. π B. π
C. D. π
C
解析：法一　如图，设正四棱锥的底面中心为O1，
∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，∴△ASC的
外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外
接球的半径，在△ASC中，由SA＝SC＝ ，AC＝2，得
SA2＋SC2＝AC2，∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形，∴ ＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径，故V球＝ .
法二　设外接球半径为R，正四棱锥底面中心为O1，正四棱锥S-ABCD的
外接球即为其外接圆锥的外接球，易得正四棱锥底面外接圆的半径r＝1，
又AS＝ ，AO1＝r＝1，∴SO1＝ ＝ ＝1，∴R2＝
（SO1－R）2＋r2，解得R＝1，故V球＝ .
（2）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体
积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为
（　B　）
A. 3π B. 4π
C. 9π D. 12π
B
解析：如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，
设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，
设球的半径为R，则由 ＝ 可得R＝2，所以AB
＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为
CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以 ＝ ，所以CD＝ ＝ ，因此这两个圆锥的体积之和为 π×CD2·（AD＋BD）＝ π×3×4＝4π.
【规律方法】
锥体外接球问题的求解策略
（1）求圆锥的外接球，可以先作其轴截面，其为三角形，该三角形中垂
线的交点即为球心，将空间问题转化为平面问题，按图示方法求解；
（2）求正棱锥的外接球，可以先求其外接圆锥，再利用该圆锥的轴截面
求半径；
（3）求直棱锥的外接球，可以先求其外接直棱柱，按照柱体求外接球半
径的方法求解.
训练2　已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3
倍，且球O的表面积为 ，则圆锥PO1的侧面积为 .
解析：设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，PO1＝2 r.由球O的表面积为4πR2＝ ，得R2＝ .在Rt△OO1B中，R2＝（PO1－R）2＋r2，即R2＝（2 r－R）2＋r2，解得r＝1，故圆锥PO1的侧面积为
πr·PB＝3r2π＝3π.
3π　
角度3　台体的外接球
【例3】　已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 100π B. 128π
C. 144π D. 192π
√
解析：　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为 ×
×3 ＝3， × ×4 ＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为
O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球
O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O ＝42＋（1－
OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋
O ＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积
为4πR2＝100π.故选A.
【规律方法】
台体外接球问题的求解策略
（1）圆台的外接球：如图，设r1，r2，h分别为圆台的上、下底面的半径
和高，R为外接球的半径：
（2）求棱台的外接球，可以先求其外接圆台，然后按照求圆台外接球的
方法求解.
训练3　已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π，36π，其外接球球心O
满足 ＝3 ，则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积之比
为 .
解析：设圆台O1O2的高为4h，外接球的半径为R，作出轴
截面（一半）如图，因为O1O2的上、下底面面积分别为
4π，36π，则圆O1，O2的半径分别为2，6，又 ＝3 ，
所以O1O＝3h，OO2＝h，所以R2＝4＋9h2＝36＋h2，解得h＝2，R＝2 （负值已舍去），故所求体积之比为 ＝ .
　
角度4　可补成规则几何体的外接球
【例4】　已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，
AD两两垂直，且AB＝ ，AC＝2，AD＝3，则球O的表面积
为 .
解析：四面体ABCD的外接球O即为以AB，AC，AD为长、宽、高的长
方体的外接球，所以球O的半径R＝ ＝2，所以球O的
表面积S＝4πR2＝16π.
16π　
【规律方法】
1. 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1
所示.
2. 若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.
3. 正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a＝ ，如图3所示.
4. 若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.
训练4　数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装
盒就是其中之一，该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面
为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD-
A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体
ABCD-EFGH. 已知AB＝AD＝2，AE＝ ，则十面体ABCD-EFGH外
接球的表面积是 .
（11＋2 ）π　
解析：由题中数据可知A1E2＝1＋（ －1）2＝4－2 ，则AA1＝
＝ ＋1，因为十面体ABCD-EFGH是由长方体
ABCD-A1B1C1D1的上底面绕着其中心旋转45°得到，所以长方体ABCD-
A1B1C1D1的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球.设十面体ABCD-
EFGH外接球的半径为R，（2R）2＝22＋22＋（ ＋1）2，则R2＝
，故十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是4πR2＝（11＋2 ）π.
二、几何体的内切球
内切球是指与几何体的各面（平面、曲面）都相切的球.求解此类问题的
关键是作出合适的截面圆.
【例5】　（1）一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已
知这个球的体积为 ，那么这个正三棱柱的体积为（　D　）
A. 3 B. 4
D
解析：设球的半径为R，由 R3＝ ，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a× sin × ＝1，所以a＝2 ，所以这个正三棱柱的体积V＝ ×（2 ）2×2＝6 .
C. 6 D. 6
（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的
体积为（　B　）
A. B.
B
C. D. π
解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥
PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则 sin
∠BPE＝ ＝ ＝ ，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝
＝ ＝2 ，所以R＝ ，所以内切球
的体积V＝ πR3＝ π，即该圆锥内半径最大的球的体积为 .
【规律方法】
常见几何体内切球的求解策略
（1）多面体内切球的球心与半径的确定：
①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的
距离均相等；
②正多面体的内切球和外接球的球心重合；
③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.
（2）常见几何体内切球半径与其他几何量的关系：
①正方体的内切球球心位于其体对角线中点处，设正方体的边长为a，其
内切球半径为R＝ ；
②正四面体的内切球的半径r＝ a，其半径是外接球半径的三分之一（a
为该正四面体的棱长）；
③圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的
半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，
R＝ .
训练5　（1）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖
臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，
AB⊥BC，若三棱锥P-ABC有一个内切球O，则球O的体积为（　C　）
A. B.
解析：设球O的半径为r，则三棱锥P-ABC的体积V＝ × ×3×4×4＝ ×（ ×3×4＋ ×4×3＋ ×5×4＋ ×4×5）×r，解得r＝ ，所以球O的体积V＝ πr3＝ .故选C.
C
C. D. 9π
（2）半球内放三个半径为 的小球，三小球两两相切，并且与球面及半
球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　D　）
A. 1＋ B. ＋
解析：三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为
2 的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为
O，小球O1与半球底面切于点A. 如图，经过点O，
O1，A作半球的截面，则半圆☉O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B，则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由（R－ ）2＝22＋（ ）2可得R＝ ＋ .
D
C. ＋ D. ＋
1. 已知正方体的内切球的体积是 π，则正方体的棱长为（　　）
A. 2 B.
C. D.
解析：　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又
πR3＝ π，∴R3＝2 ，∴R＝ ，∴a＝2 .
√
2. 底面半径为 ，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为（　　）
A. 6π B. 12π
C. 8π D. 16π
解析：　由圆锥的底面半径为 ，母线长为2，可求得其轴截面的顶角
为 .设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O
＝｜R－1｜，R2＝O1O2＋r2＝（R－1）2＋（ ）2，解得R＝2，所以
球O的表面积为4πR2＝16π.
√
3. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1
和球的表面积S2之比为 .
解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD＝r，
PO＝2r，∠PDO＝90°，所以∠CPB＝30°，又∠PCB＝
90°，所以CB＝ PC＝ r，PB＝2 r，所以圆锥的侧
面积S1＝π× r×2 r＝6πr2，球的表面积S2＝4πr2，所以S1∶S2＝3∶2.
3∶2　
4. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，
求该球的表面积.
解：如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，（4－r）2＋（ ）2＝r2，解得r＝
，所以该球的表面积为4πr2＝4π×（ ）2＝ π.
课堂小结
1.理清单
（1）柱体的外接球；
（2）锥体的外接球；
（3）台体的外接球；
（4）可补成规则几何体的外接球；
（5）几何体的内切球.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
圆锥、圆台外接球球心的位置易判断错误.
课时作业
1. 一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为
20π，则该四棱柱的高为（　　）
A. B. 2
C. 3 D.
解析：　设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，设四棱柱的高为
h，则（ ）2＋（ ）2＝R2，解得h＝3 .
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√
2. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以 ＝ ＝ .
√
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3. 若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为
（　　）
A. 4π（r＋R）2 B. 4πr2R2
C. 4πRr D. π（R＋r）2
解析：　如图， BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又
OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝
AE·BE＝Rr，∴球的表面积为4πOE2＝4πRr.
√
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4. 有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所成角为
60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则圆柱的高是其
底面半径的（　　）
A. 倍 B. 2倍
C. 2 倍 D. 3倍
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解析：　设圆柱的高为h，底面半径为r，圆柱的外接球的半径为R，则
R2＝ ＋r2.因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l＝2r.
所以圆锥的侧面积为πlr＝2πr2，所以4πR2＝4π ＝4×2πr2，所
以 ＋r2＝2r2，所以h2＝4r2，所以 ＝2.
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5. （2025·阳江月考）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析：　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为
1，∴AC＝CD1＝AD1＝ ，∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝ × ＝
，∴截面面积S＝πr2＝π× ＝ .故选C.
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6. 〔多选〕正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正
四棱锥P-ABCD的体积为（　　）
A. B.
C. 2 D.
√
√
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解析：因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为 ，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝ .连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋ ＝ ＋ ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ ；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－ ＝ － ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ .
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7. 〔多选〕已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上
有一个动点N，若线段MN的最小值为 －1，则下列说法正确的是
（　　）
A. 正方体的外接球的表面积为12π
B. 正方体的内切球的体积为
C. 正方体的棱长为2
D. 线段MN的最大值为2
√
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解析： 　设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的
一半，为 a，内切球半径为棱长的一半，为 .∵M，N分别为该正方体
外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝ a－ ＝ a＝ －1，解得a
＝2，∴正方体的棱长为2，C正确；正方体的外接球的表面积为4π×
（ ）2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为 π×13＝ ，B正确；
线段MN的最大值为 a＋ ＝ ＋1，D错误.故选A、B、C.
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8. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为 .
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长
相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
易知AP＝ × a＝ a，OP＝ a，所以球的半径R＝OA
满足R2＝ ＋ ＝ a2，故该球的表面积S球＝4πR2＝ πa2.
πa2　
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9. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围
成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点
为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿
基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积
为 .
　
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解析：将该多面体放入正方体中，如图所示.由于多面体的
棱长为1，所以正方体的棱长为 ，因为该多面体是由棱
长为 的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球
的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方
体的面对角线长，即2R＝ ，所以R＝
1，所以该多面体外接球的体积V＝ πR3＝ .
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10. 已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下
底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此
正四棱台的体积为 .
解析：由题知，正四棱台的上、下底面的顶点都在一个
半径为3的球面上，取正四棱台上底面一顶点为A，正方
形中心为O1，下底面一顶点为B，正方形中心为O2，
正四棱台外接球球心为O，连接AO1，OO1，BO2，OA，OB，如图所示，记正四棱台高O1O2＝h，OO1＝m，
　
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在Rt△AOO1中，AO＝3，AO1＝1，OO1＝m，所以有m2
＋1＝9，解得m＝2 ，在Rt△BOO2中，BO＝3，BO2
＝2，OO2＝m－h＞0，所以有（m－h）2＋4＝9，解
得m－h＝ ，即h＝2 － ，因为四棱台上、下底
面正方形的外接圆半径分别为1和2，所以四棱台上、下底面正方形的边长分别为 和2 ，所以S上＝2，S下＝8，h＝2 － ，故正四棱台体积为V＝ h（S上＋S下＋ ）＝ .
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11. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内
切球.求：
（1）圆锥的侧面积；
解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB内接于圆
O，而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π，
∴R＝9，SE＝2R＝18.
∵SD＝16，∴ED＝2.
连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，
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∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12 .
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD×DE＝16×2＝32，AD＝4 ，
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝96π.
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（2）圆锥内切球的体积.
解： 设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×（12 ＋4 ）＝32 ，
∴ r×32 ＝ ×8 ×16，解得r＝4.
故圆锥内切球的体积V球＝ πr3＝ π.
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12. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2 .
（1）求AB的长度；
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解：设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可能，如图1的最短路程为AC1＝ .
如图2的最短路程为AC1＝ ＝ ，
∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，
故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为 .由题意得 ＝2 ，解得x＝2.即AB的长度为2.
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（2）求该长方体外接球的表面积.
　　
解： 设长方体外接球的半径为R，则（2R）2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝ ，∴S＝4πR2＝6π，
即该长方体外接球的表面积为6π.
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