章末整合提升 体系构建 素养提升

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章末整合提升 体系构建 素养提升
体系构建
素养提升
　　
一、几何体的表面积与体积（考教衔接）
1. 主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥
体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割
法、补形法等进行求解.
2. 利用公式求解表面积、体积，提升数学运算素养.
教材原题　（教材P119例4）如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直
径，求球与圆柱的体积之比.
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷5题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面
积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　　）
A. 2 π B. 3 π
C. 6 π D. 9 π
解析：　设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，而
它们的侧面积相等，所以2πr× ＝πr× ，即2 ＝ ，
故r＝3，故圆锥的体积为 π×9× ＝3 π.故选B.
√
变式1　求表面积运算
如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O1，O2
为圆柱下、上底面的圆心，O为球心，EF为下底面圆O1的一条直径，CD
为上底面圆O2的一条直径，则球与圆柱的表面积之比为 .
2∶3　
解析：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球的表面积为4πr2，圆柱的表面积为2πr2＋2πr·2r＝6πr2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3.
变式2　求截面面积的最值
在变式1中，若球的半径r＝2，则平面DEF截得球的截面面积最小值
为 .
解析：ABCD所在截面如图所示，过点O作OG⊥DO1于
点G，则由题可得OG＝ ＝ ，设点O到平面DEF的
距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，则
d1≤OG， ＝r2－ ＝4－ ≥4－ ＝ ，所以平面
DEF截得球的截面面积最小值为 π.
π　
变式3　球的体积与表面积
在变式1中，若内切球的体积和表面积的数值相等，则球的半径为 .
解析：设球的半径为r，由 πr3＝4πr2，得r＝3.
3　
变式4　求锥体体积
在变式1中，若球的半径r＝2，则四面体C-DEF的体积的取值范围
为 .
解析：由题意可知四面体C-DEF的体积等于2 ，点E到平面DCO1
的距离d∈（0，2]，
又 ＝ ×4×4＝8，所以2 ＝ ×8d＝ ∈ .
　
【反思感悟】
关于空间几何体的体积、表面积
首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的高、棱长等，其
次是准确代入相关的公式计算.
二、空间中的平行关系
1. 空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间
几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.
2. 通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和
直观想象素养.
【例2】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，PB＝2MA. 在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面
PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，
证明如下：如图，连接BD与AC交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，
∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝ PB，PF＝ PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
【反思感悟】
线线平行、线面平行、面面平行间的关系
线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行任意
转化，相互间的转化关系如图.
三、空间中的垂直关系
1. 主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线
垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.
2. 通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和
逻辑推理素养.
【例3】　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边
形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
求证：
（1）AC⊥平面BCE；
证明：在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 ，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面
BCE.
（2）AD⊥AE.
证明：因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AF⊥AD. 又
∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面
ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
【反思感悟】
线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化
四、空间角
1. 空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定
义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角.
2. 通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养.
【例4】　如图，已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，点P是AD1上的动点.
（1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都
有平面BPA⊥平面AA1D1D，并证明你的结论；
解：是.证明如下：∵BA⊥平面AA1D1D，BA 平面BPA，∴平面
BPA⊥平面AA1D1D，
∴无论点P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.
（2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值；
解：过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E，如图，
则PE∥AA1，∴∠B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角.
在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，
∴A1B1＝A1D1＝ AD1＝2，∴A1E＝ A1D1＝1，AA1＝
A1D1＝2 ，∴PE＝ AA1＝ ，B1E＝ ＝ ，
∴在Rt△B1PE中，B1P＝ ＝2 ，∴ cos ∠B1PE＝ ＝ ＝ ，∴异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为 .
（3）求PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值.
解：由（1）知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1与平面
AA1D1D所成的角，
∴tan∠B1PA1＝ ＝ ，∴当A1P最小时，tan∠B1PA1最大，这时
A1P⊥AD1，
A1P＝ ＝ ，得tan∠B1PA1＝ ，
即PB1与平面AA1D1D所成角的正切值的最大值为 .
【反思感悟】
几何法求空间角的一般思路
（1）将所求空间角转化为平面角，再将该平面角放置在某一个三角形
内，通过解三角形求出该角的大小；
（2）求空间角的关键是作平面角
①求异面直线所成的角采用平移方法构造平面角；
②求线面角一般采用斜线与在该平面内的射影构造直角三角形求解；
③求二面角一般采用定义法或垂面法作二面角的平面角.
THANKS
演示完毕 感谢观看