8.1第一课时　棱柱、棱锥和棱台

(共65张PPT)
第一课时　棱柱、棱锥和棱台
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征（数学抽象）.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系（逻辑推理）.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构（直观想象）.
课标要求
　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
情景导入
知识点一　空间几何体、多面体、旋转体的定义
01
知识点二　棱柱的结构特征
02
知识点四　棱台的结构特征
04
目录
课时作业
05
知识点三　棱锥的结构特征
03
知识点一
空间几何体、多面体、旋转体的定义
01
PART
问题1　观察下列物体，它们有什么特点？
提示：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相
同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸
杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们
的面不全是平面图形，有些面是曲面.
【知识梳理】
1. 空间几何体：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因
素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2. 多面体、旋转体
形状　
大小　
类别 多面体 旋转体
定义 一般地，由若干个
围成的几何
体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面
内的 旋转所形成的曲面叫
做 ，封闭的旋转面围成的几何
体叫做旋转体
平
面多边形　
一条定直线　
旋转面　
类别 多面体 旋转体
图形
相关 概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：平面曲线旋转时所绕的定直线
多边形　
公共
边　
　　提醒：（1）各面均为全等的正多边形所围成的几何体称为正多面
体；（2）把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余各面都在这
个平面的同一侧，那么这样的多面体就叫做凸多面体.
知识点二
棱柱的结构特征
02
PART
问题2　有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱
柱吗？
提示：不一定.“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱.
【知识梳理】
1. 棱柱的结构特征
棱柱 定义 一般地，有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形
及 表示
图中的棱柱记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
平行　
四边形　
平行　
棱柱 相关 概念 棱柱的底面：两个互相 的面；
棱柱的侧面：两底面之外的各面；
棱柱的侧棱：相邻侧面的 ；
棱柱的顶点：侧面与底面的
结构 特征 （1）底面互相平行且 ；
（2）侧面都是平行四边形；
（3）侧棱都 ，且互相平行
分类 按底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
平行　
公共边　
公共顶点　
全等　
相等　
2. 几个特殊的棱柱
（1）直棱柱： 的棱柱叫做直棱柱（如图1、图3）；
（2）斜棱柱： 的棱柱叫做斜棱柱（如图2、图4）；
（3）正棱柱：底面是正多边形的 叫做正棱柱（如图3）；
（4）平行六面体：底面是 的四棱柱也叫做平行六面体
（如图4）.
侧棱垂直于底面　
侧棱不垂直于底面　
直棱柱　
平行四边形　
【例1】　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解： 是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
（2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是
棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由.
解： 是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方
部分是四棱柱ABMA1-DCND1.
【规律方法】
辨析棱柱的方法
根据棱柱的三个结构特征判定，也可利用等价命题判定：即①有两个面互
相平行（底面）；②所有侧棱互相平行.
训练1　（1）设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，
Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（　B　）
A. P N M Q B. Q M N P
C. P M N Q D. Q N M P
解析： 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的
长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体} {正四棱柱} {长方
体} {直四棱柱}.故选B.
B
（2）〔多选〕下列关于棱柱的说法正确的有（　CD　）
A. 所有的面都是平行四边形
B. 每一个面都不会是三角形
C. 两底面平行，并且各侧棱也平行
D. 被平面截成的两部分可以都是棱柱
解析： A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
CD
知识点三
棱锥的结构特征
03
PART
问题3　图中的多面体具有怎样的特点？
提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中
一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.
【知识梳理】
棱锥 定义 一般地，有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点
的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形 及表
示
图中的棱锥记作棱锥S-ABCD
多边形　
三角形　
棱锥 相关 概念 棱锥的底面： 面；
棱锥的侧面：有公共顶点的各个 面；
棱锥的侧棱：相邻侧面的 ；
棱锥的顶点：各侧面的
结构 特征 （1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形；
（2）各侧面三角形有一个公共顶点
多边形　
三角形　
公共边　
公共顶点　
棱锥 分类 （1）按底面多边形的边数来分，可以分为：三棱锥、四棱
锥……，其中三棱锥又叫四面体；
（2）底面是 ，并且顶点与底面中心的连线
底面的棱锥叫做正棱锥；
（3）侧棱长与底面边长 的正三棱锥叫做正四面体
正多边形　
垂直
于　
相等　
　　提醒：注意棱锥的“棱”与“侧棱”的区别.
【例2】　说出图中几何体的名称，
并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、
侧面、底面及侧棱.
解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱
锥P-ABCDE；顶点为点P，点A，点B，点C，点D，点E；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE.
【规律方法】
棱锥的辨析方法
（1）直接法（扣定义）：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边
形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相
交于一点；
（2）举反例.
训练2　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　AB　）
A. 棱锥的各个侧面都是三角形
B. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C. 棱锥的侧棱平行
D. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析： 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四
面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以
作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；
棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误.
AB
（2）下列说法中正确的是（　D　）
A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B. 各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D. 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
D
解析： 对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长均为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.
04
PART
知识点四
棱台的结构特征
问题4　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的
下部分具有怎样的特点？
提示：截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形.
【知识梳理】
棱台 定义 用一个 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部
分多面体叫做棱台
图形 及 表示
图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'
平行于棱锥底面　
棱台 相关 概念 棱台的上底面：平行于原棱锥底面的 ；
棱台的下底面：原棱锥的 ；
棱台的侧面：其余各面；
棱台的侧棱：相邻侧面的公共边；
棱台的顶点：侧面与上、下底面的公共顶点
结构 特征 （1）上、下底面互相平行，且是相似图形；
（2）各侧棱的延长线交于一点；
（3）各侧面为梯形
截面　
底面　
棱台 分类 （1）由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱
台、四棱台、五棱台……；
（2）正棱台：上、下底面是相似的正多边形，且上、下底面中心
的连线与底面垂直的棱台，其中上、下底面中心的连线叫做正棱台
的高，侧面等腰梯形的高叫做正棱台的斜高
　　提醒：棱柱、棱锥、棱台之间的变化关系为：当棱台的上底面与下底
面相同时，棱台就转化为棱柱；当棱台的上底面收缩为一个点时，棱台就
转化为棱锥.如图所示.
【例3】　下面四个几何体中为棱台的是（　　）
解析：　A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体
是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱
AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台.
√
【规律方法】
判断棱台的一般思路
（1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某
些说法不正确；
（2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两个多边形相
似）；②看侧棱，延长后相交于一点.
训练3　〔多选〕下列选项中，不正确的是（　　）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
√
√
√
解析：A中的平面不一定平行于底面，故A错误；
B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；由棱台的定义知，D正确.
1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体
为（　　）
A. 四棱柱 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 三棱锥
解析：　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
√
2. 下面多面体中，是棱柱的有（　　）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
解析：　根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱.
√
3. 〔多选〕下列说法不正确的是（　　）
A. 棱台的两个底面相似
B. 棱台的侧棱长都相等
C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
解析： 　由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且
互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
√
√
√
4. 下列几何体中， 是棱柱， 是棱锥， 是棱台（仅
填相应序号）.
①③④　
⑥　
⑤　
课堂小结
1.理清单
（1）空间几何体、多面体、旋转体的定义；
（2）棱柱的结构特征；
（3）棱锥的结构特征；
（4）棱台的结构特征.
2.应体会
数形结合思想.
3.避易错
对棱台的结构特征认识不清，易导致判断错误.
课时作业
05
PART
1. 下面图形中为棱锥的是（　　）
A. ①③ B. ①③④
C. ①②④ D. ①②
解析：　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②④是棱锥，③不是
棱锥.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（　　）
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析：　显然A正确；面数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B
正确；当棱柱是斜棱柱时，侧面不全是全等的平行四边形，故C错误，
D正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，则剩余的部分
是（　　）
A. 三棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱柱 D. 五棱锥
解析：　剩余部分是以四边形BCC1B1为底面，A1为顶点的四棱锥.故
选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的
对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为（　　）
A. 20 B. 15
C. 12 D. 10
√
解析：　如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点
A出发的对角线有两条，为AC1，AD1，同理从顶点B，
C，D，E出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（　　）
A. A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC
＝3
C. A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D. AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
解析：　选项A中 ≠ ，故A不符合题意；选项B中 ≠ ，
故B不符合题意；选项C中 ＝ ＝ ，故C符合题意；选项D中满
足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（　　）
A. 三棱柱 B. 三棱台
C. 五棱锥 D. 四面体
解析： 　对于A，三棱柱的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，
满足题意；对于B，三棱台的顶点是上、下两个三角形的顶点，有6个，满
足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及一个各侧棱的交
点，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B. 如果两个底面的对应边平行且成比例，那么这个几何是棱台
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱
柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正
确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而两个底面的对
边平行且成比例，只能说明该几何体两底面平行且几何图形相似，它们的
侧棱延长后不一定相交于一点，所以这个几何体不一定是棱台，故B错
误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图
形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则
说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 一个棱台至少有 个面，面数最少的棱台有 个顶点，有
条棱.
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱.
5　
6　
9　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 如图所示的几何体，下列描述正确的有 （填序号）.
①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
解析：①正确，因为有六个面，属于六面体；②错
误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正
确；③正确，如果把几何体中两个梯形作为底面就
会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图1、图2.
①③④⑤　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以
下空间几何体，并且用适当的字母表示出来.
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
解： 如图1所示，三棱锥A1-AB1D1（答案不唯一）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
解：如图2所示，三棱锥B1-ACD1（答案不唯一）.
（3）三棱柱.
解：如图3所示，三棱柱A1B1D1-ABD（答案不唯一）.　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知（1）由6个平行四边形围成的几何体；
（2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一
个公共顶点的三角形；
（3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个
面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点.则（1），（2），
（3）对应的几何体分别是（　　）
A. 四棱柱，六棱锥，三棱台 B. 三棱柱，六棱锥，三棱台
C. 长方体，六棱锥，三棱柱 D. 正方体，六棱锥，三棱柱
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四
边形的四棱柱；（2）这是一个六棱锥；（3）这是一个三棱台.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕正方体截面的形状有可能为（　　）
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面ACD1为正三角形，平行于底面的所有截面都是正方形，分别取AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A六条棱的中点，顺次连接这六个点所得的六边形为正六边形，所以选项A、B、D正确；若截面为五边形，则必有两组对边平行，所以不可能为正五边形，故选项C错误.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图所示，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体，
有下列结论：①点H与点C重合；②点D、点M与点R重合；③点B与点
Q重合；④点A与点S重合.其中正确的是 .（填序号）
解析：依据正方体表面展开图的特征，知②④是正确的.
②④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面AEF，求△AEF周长的最小值.
解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.因为∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，所以∠AVA1＝90°，又VA＝VA1＝4，所以AA1＝4 ，所以△AEF周长的最小值为4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图，在一个长方体的容器中装有部分水，现将容器绕着其底部的一
条棱倾斜，在倾斜的过程中：
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四
边形，对吗？
解： 不对.水面的形状就是用一个与棱（将长方体倾
斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，
因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对
吗？
解： 不对.水的形状就是用一个与棱（将长方体倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，
上面的第（1）题和第（2）题对不对？
解： 用任意一个平面去截长方体，其截面形状可
以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时（1）对，（2）不对.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看