8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

(共57张PPT)
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式（数学抽象）.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积（直观想象、数学运算）.
课标要求
　　金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬
物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有
六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨
等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.如果已知该钻石的棱长，我们就可以由公式求出该八面体的表面积和体积.
情景导入
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
01
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
02
知识点三 　简单组合体的表面积与体积
03
目录
课时作业
04
知识点一
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
01
PART
问题1　（1）我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面
积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？
提示：长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.
（2）棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？
提示：都相等.
【知识梳理】
多面体的表面积就是围成多面体 的面积的 .棱柱、棱
锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
　　提醒：求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.
各个面　
和　
【例1】　已知正四棱台（上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面
的射影是下底面中心）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的
侧面积.
解：如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，E1
分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面
正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，且O1O＝
12.连接OE，O1E1，E1E，则OE＝ AB＝ ×12＝
6，O1E1＝ A1B1＝ ×6＝3.
过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－OH＝6－3＝3.
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝
32×17，
所以E1E＝3 ，
所以S侧＝4× ×（B1C1＋BC）×E1E＝2×（6＋
12）×3 ＝108 .
【规律方法】
1. 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、
侧棱；并注意两个直角梯形的应用：
（1）高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；
（2）高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
2. 正棱柱、正棱锥、正棱台侧面面积之间的关系
S正棱柱侧＝Ch S正棱台侧＝ （C＋C'）h' S正棱锥侧＝ Ch'（C，C'分别为下、
上底面周长，h为高，h'为斜高）.
训练1　（2025·河源月考）已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为
3，求它的表面积.
解：如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，∴4· ·BC·PE＝2BC2，∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝ BC＝ PE，
∴9＋（ ）2＝PE2，∴PE＝2 .
∴S底＝BC2＝PE2＝（2 ）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
知识点二
棱柱、棱锥、棱台的体积
02
PART
问题2　（1）正方体、长方体的体积公式是什么？由此可推出一般棱柱的
体积公式是什么？
提示：V正方体＝a3（a是正方体的棱长），V长方体＝abc（a，b，c分别是
长方体的长、宽、高）.棱柱的体积公式V棱柱＝Sh（其中S为底面积，h为高）.
（2）如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体
积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？
提示：分成的三个棱锥的体积相等.
由此可得到三棱锥的体积公式V棱锥＝ Sh（其中S为三棱锥的底面面积，h
为它的高）.
（3）棱台的体积公式又是怎样得到的？
提示：因为棱台可以看成棱锥截去一小棱锥得到，所以棱台的体积可以通
过计算两棱锥的体积之差得到V棱台＝ h（S'＋ ＋S）（其中S'，S为
棱台的上、下底面面积，h为棱台的高）.
【知识梳理】
1. 棱柱的体积等于棱柱的底面积乘高.
2. 棱锥的体积等于等底等高棱柱体积的 .
3. 棱台的体积等于棱台的上底面积，下底面积及两底面积的几何平均数之
和乘以棱台高的 .
【例2】　已知正六棱锥的底面面积为6 ，侧棱长为 ，求这个棱锥的
体积.
解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中
心，SC＝ ，SO为正六棱锥的高，
设底面边长为a，则正六边形的面积为6× a2＝6 ，
解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO
＝ ＝1，∴这个棱锥的体积V＝ ×6 ×1＝2 .
【规律方法】
求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法
（1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的
公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可.常用技法
为等积转化；
（2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的
几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体
积的和或差.常用技法有补体法和分割法.
　　提醒：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系：
训练2　已知四棱台上、下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱
台的体积.
解：如图所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥
P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与
PO1.
由已知有 ＝ ，
再由PO－PO1＝OO1＝h，因此可得PO1＝ h，PO＝ h.
从而可知棱台的体积为
V＝ ×S2×PO－ ×S1×PO1
＝ （S2 －S1 ）
＝ （ － ）
＝ （ － ）（S2＋ ＋S1）
＝ （S2＋ ＋S1）.
03
PART
知识点三
简单组合体的表面积与体积
【例3】　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是
正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图
所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6
m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥＝ ·A1 ·PO1＝ ×62×2＝24
（m3），
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288（m3），
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312（m3），故仓库的容积是312 m3.
【规律方法】
求组合体的表面积时，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，
各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相
减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或
相减.
训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-
ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.
解：由题意可知△A1BD是边长为 a的等边三角形，其面积为 ×
a× a× sin 60°＝ a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝ ＋3S△DBC＋
3 ＝ a2＋3× ×a2＋3a2＝ a2；
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝ － ＝a3
－ × ×a×a×a＝ a3.
1. 一个长方体的三个面的面积分别为 ， ， ，则这个长方体的体
积为（　　）
A. 6 B.
C. 3 D. 2
解析：　设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，令xy＝ ，yz＝
，xz＝ ，∴（xyz）2＝6，∴V＝xyz＝ .
√
2. （2025·温州质检）一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为
2∶3，则棱柱与棱锥的体积的比值为（　　）
A. B. 2
C. D. 3
解析：　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，
故二者的体积的比值为 ＝ ＝ ＝2.
√
3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为3，6，其侧面积等于两底面积之
和，则该正四棱台的高为 ，斜高为 .
解析：如图所示，设正四棱台ABCD-A'B'C'D'的高
为h，斜高为h'，O'，O分别为上、下底面的中心，
点E，F分别是B'C'，BC的中点，连接O'O，
O'E，OF，EF. 过点E作EG⊥OF于点G，则EG＝h，EF＝h'.由题意得S侧＝S上底＋S下底＝32＋62＝45，∴S侧＝4× ×（3＋6）h'＝45，解得h'＝ .在直角梯形O'OFE中，O'E＝ ，OF＝3，EF＝ ，∴FG＝
，∴h＝EG＝ ＝ ＝2，即棱台的高为2.
2　
　
4. 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？（钢筋体积忽略不计，结果
精确到0.01立方米）
解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等
腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－ ×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
课堂小结
1.理清单
（1）棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；
（2）棱柱、棱锥、棱台的体积；
（3）简单组合体的表面积与体积.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
平面图形与立体图形的切换不清楚.
课时作业
04
PART
1. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为
（　　）
A. B. 1
C. D.
解析：　依题意，正三棱台的高h＝ ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这
个棱柱的表面积是（　　）
A. 8 B. 16
C. 8＋12 D. 8＋16
解析：　设直棱柱的高为h，则 ＝4，解得h＝2 ，故直
棱柱的表面积为2×22＋4×2×2 ＝8＋16 .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是
（　　）
A. B.
C. D.
解析：∵V三棱锥C-A'B'C'＝ V三棱柱ABC-A'B'C'＝ ，∴V四棱锥C-AA'B'B＝1－ ＝ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的
几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面
积为（　　）
A. 80 B. 90
C. 100 D. 110
解析：　设正四棱柱的底面边长为m，则4（42－m2）＝60，解得m＝
1，则该几何体的表面积为42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，
且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积
为（　　）
A. B. 4
C. D. 2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分
别为G，H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝1，AG
＝GD＝BH＝HC＝ .取AD的中点O，连接GO，易
得GO＝ ，∴S△ADG＝S△BCH＝ × ×2＝ ，
∴多面体的体积V＝V三棱锥E-ADG＋V三棱锥F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱锥E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝ × ×1×2＋ ×2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体
且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分几何体的说法正确
的是（　　）
A. 侧面积之比为1∶4 B. 侧面积之比为1∶8
C. 体积之比为1∶27 D. 体积之比为1∶26
解析： 　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱
锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积
之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，
体积之比为1∶26.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1
＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是（　　）
A. ∠A1AB＝ B. 高为
C. 体积为 D. 表面积为12
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足
分别为M，N，如图所示，则AM＝ AC＝ ，
AN＝ AB＝1，可得A1M＝ ＝ ，
A1N＝ ＝ .对于A，在Rt△AA1N中，可得 sin ∠A1AN＝ ＝ ，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝ ，故A错误；对于B，正四棱台的高即为A1M＝ ，故B正确；对于C，正四棱台的体积V＝ ×（4×4＋2×2＋ ）× ＝ ，故C正确；对于D，四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4× ＝20＋12 ，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为 .
a3　
解析： ＝ ，
∵ ＝ EA1·A1D1＝ a2，
三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，∴ ＝ × a2·a＝ a3，
∴ ＝ a3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六
边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 的正
六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是 .
72　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：如图，正六边形的每个内角为120°，按虚线处折
成高为 的正六棱柱，即BF＝ ，所以BE＝ ＝
1，可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，则正六棱柱
的底面积为S＝6× ×4×4× ＝24 ，所以正六棱柱
的体积V＝24 × ＝72.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得
到正六棱台ABCDEF-A1B1C1D1E1F1和较小的棱锥P-A1B1C1D1E1F1.
（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；
解：由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，
则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若大棱锥P-ABCDEF的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，
求截得的棱台的侧面面积和表面积.
解：如图所示，
∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，
又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h'＝
＝4 （cm），
∴S棱台侧＝6× ×4 ＝144 （cm2），
∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144 ＋24 ＋96 ＝（144 ＋120 ）cm2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 如图1所示，已知正方体的面对角线长为 a，沿阴影面将它切割成两
块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（　　）
A. （1＋2 ）a2 B. （2＋ ）a2
C. （3＋2 ）a2 D. （4＋2 ）a2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　因为正方体的面对角线长为 a，则其棱长为a，图2所示的几
何体是平行六面体，上下，左右，前后两两的面积分别相等，上、下底面
是长和宽分别为 a和a的矩形，其面积均为 a×a＝ a2，前、后两
个面是两个全等的等腰直角三角形拼成的平行四边形，其面积均为2×
×a×a＝a2，左、右两个面是边长为a的正方形，其面积均为a×a＝
a2，则此几何体的表面积为2（ a2＋a2＋a2）＝（4＋2 ）a2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数
学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体
体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正
四棱台切割成九部分进行求解.如图1为俯视图，图2为立体切面图.E对应
的是正四棱台中间位置的长方体；B，D，H，F对应四个三棱柱，A，
C，I，G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥
的体积之和为4，求该正四棱台的体积
（　　）
A. 24 B. 28
C. 32 D. 36
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　如图，令四棱锥的底面边长为a，高为h，
三棱柱的高为b，依题意，得四棱锥的体积为 a2h＝
1，即a2h＝3，三棱柱的体积为 ahb＝3，即abh＝
6，因此b＝2a，于是长方体的体积V＝b2h＝4a2h
＝12，所以该正四棱台的体积为12＋4＋12＝28.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型.如图，
该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD-EFGH后所得的几
何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6 cm，AA1＝4 cm，为增强其观赏性
和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2 mg，
不考虑损耗，所需金属膜的质量为 mg.
282＋54 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由题意，该几何体侧面4个面的面积和为4×4×6＝96（cm2），底
面积为6×6＝36（cm2），正方形EFGH的面积为3×3＝9（cm2）.梯形
ABFE的高为 ＝ （cm），故正四棱台的侧面
积为4× ×（3＋6）× ＝27 （cm2），故该模型的表面积为96＋36
＋9＋27 ＝（141＋27 ）cm2，故所需金属膜的质量为2×（141＋
27 ）＝（282＋54 ）mg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
证明：如图，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，AA'＝h，
故a＋c＞b，a＋b＞c，b＋c＞a，
直三棱柱三个侧面面积分别为
S1＝ah，S2＝bh，S3＝ch，
∴ah＋bh＝（a＋b）h＞ch，
ah＋ch＝（a＋c）h＞bh，
bh＋ch＝（b＋c）h＞ah，
即直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装液体车油，由于
不小心摔落在地上，该罐装液体车油有两处破损并发生渗漏，它们的位置
分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方
（如图）.为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口
朝上，倾斜罐口的方式拿回家，试问罐内液体车油最多
还能剩多少.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V＝aS，
当平面A1DE与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接A1B，A1C，则 ＝ aS＝ V，∵ ＝
＝ ，且 ＋ ＝ V，
∴ ＝ V，∴ ＋
＝ V＋ V＝ V，∴罐内液体车油最多还能剩 V L.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看