8.4.1　平面

(共62张PPT)
8.4.1　平面
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法（数学抽象）.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实（数学抽象）.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系（直观想象）.
课标要求
　　在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一
把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，这些
问题就涉及到我们即将学习的新知识——平面.
情景导入
知识点一　平面的概念、画法及表示
01
知识点二　点、线、面之间的关系及符号表示
02
知识点三　平面的基本事实及推论
03
目录
课时作业
04
知识点一
平面的概念、画法及表示
01
PART
问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的
教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？
提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等.
【知识梳理】
1. 平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些
物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周 的.
2. 平面的画法
画
法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边
形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边
形的一边画成竖向
图
示
无限延展　
3. 平面的表示方法
（1）用希腊字母表示，如平面 、平面 、平面γ等；
（2）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平
面 ；
（3）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，
如平面 ，平面 .
　　提醒：一般按逆时针的顺序用大写英文字母标注平行四边形的四
个顶点.
α　
β　
ABCD　
AC　
BD　
【例1】　〔多选〕下列说法正确的是（　AC　）
A. 平面是绝对的平滑、无厚度、无限延展的抽象的数学概念
B. 平面的形状是平行四边形
C. 三角形、正六边形、圆也可以表示平面
D. 有一个平面的长是50 cm，宽是20 cm
AC
【规律方法】
对平面的理解
（1）“平面”是平的，这是区别“平面”与“曲面”的依据；
（2）“平面”无厚薄之分；
（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与
“平面图形”的依据.
训练1　（1）如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为
（　A　）
A. 平面MN
B. 平面NQ
C. 平面α
D. 平面MNPQ
解析： 不能用相邻两个顶点表示平面.
A
（2）下列说法正确的是（　D　）
A. 平行四边形是一个平面
B. 任何一个平面图形都是一个平面
C. 平静的太平洋面就是一个平面
D. 一个平面可以将空间分成两部分
D
解析：A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
知识点二
点、线、面之间的关系及符号表示
02
PART
问题2　如果把空间内的点看作元素，把直线、平面都看作点的集合，那
么点、线、面之间的关系怎样表述？能否用符号表示它们的关系？
提示：点与直线（平面）的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”
表示；直线与平面的关系是集合与集合间的关系，用“ ”或“ ”表示.
【知识梳理】
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 图形语言 符号语言
A在l上 A l
A在l外 A l
A在α内 A α
A在α外 A α
∈　
　
∈　
　
文字语言 图形语言 符号语言
l在α内 l α
l在α外 l α
l，m相交于A ＝A
l，α相交于A ＝A
α，β相交于l ＝l
　
　
l∩m　
l∩α　
α∩β　
　　提醒：符号的用法原则上与集合符号的用法一致，但个别地方与集合
符号略有差异.例如，不用l∩m＝{A}来表示直线l，m相交于点A，而是
简记为l∩m＝A，这里的A既可以理解为一个点，又可以理解为只含一个
元素（点）的集合.
【例2】　用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点
A，B；
解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C
不在直线AB上.
解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
【规律方法】
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个
平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用
符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或
“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
　　提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线
的区别.
训练2　（1）如图所示，用符号语言可表述为（　A　）
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
A
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；（2）α∩β＝m，P∈α，P m；（3）
P∈α，P∈β，α∩β＝m.
解：如图所示.
（2）画图表示下列语句（其中P，M表示点，l，m表示直线，α，β表示
平面）：
03
PART
知识点三
平面的基本事实及推论
问题3　（1）我们知道，两点确定一条直线，过空间一点有几个平面？两
个点呢？三个点呢？
提示：无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果
三点不共线，有唯一的一个平面.
（2）如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与
平面有两个公共点，直线在平面内吗？
提示：不在；在.
（3）我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与
桌面是否只有一个公共点？
提示：不是.三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌
面，两个平面相交于一条直线.
【知识梳理】
1. 与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三
个点， 一
个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的
在一个平面内，
那么这条直线在
A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α
有且只有　
两
个点　
这个
平面内　
l α　
基本事实 内容 图形 符号
基本事实3 如果两个不重合的平面
有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点
的 P∈α且
P∈β α∩β＝
l，且P∈l
公共直线　
2. 基本事实1、2的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定
平面的
依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
角度1　点、线共面问题
【例3】　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a，b，c和l共面.
证明：法一（同一法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内.
因为a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内.
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.所以a，b，c，l共面.
法二（纳入法）　因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内.
同理可证c在a，l确定的平面内.
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面.
【规律方法】
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，
即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面
β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，
l2，l3在同一平面内.
证明：法一（纳入法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，
C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（同一法）　∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
角度2　点共线、线共点问题
【例4】　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，
CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD
＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α且M∈β，又因为α∩β＝l，
所以M∈l，即AB，CD，l共点.
【规律方法】
1. 证明三点共线的方法
2. 证明三线共点的步骤
训练4　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中
点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
证明：如图所示，
连接B1D1.
因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以
EF∥BD，
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
（2）若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线.
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共
点.
所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
1. 〔多选〕下列选项中图形的画法正确的是（　　）
A. 点A在平面α内
B. 直线l在平面α内
C. 直线l交平面α于点P
D. 三个平面两两相交
解析：　由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A、C、D
对，B选项中直线应画在平行四边形里面.故选A、C、D.
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√
2. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点
可以确定一个平面”得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共
面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，所以空间四个点中，三
点共线是这四个点共面的充分不必要条件.
√
3. 若点Q在直线b上，b在平面α内，则Q，b，α之间的关系可记
作 .
解析：因为点Q在直线b上，所以Q∈b.又因为直线b在平面α内，所以
b α，所以Q∈b α.
Q∈b α　
4. （2025·洛阳质检）如图所示，△ABC的三个顶点在平面α外，其三边
所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求
证：P，Q，R三点共线.
证明：因为AP∩AR＝A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因为B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线.
课堂小结
1.理清单
（1）平面的概念、画法及表示；
（2）点、线、面之间的位置关系及符号表示；
（3）平面的基本事实及推论.
2.应体会
数形结合思想.
3.避易错
（1）直线l在平面α内，l上的所有点都在α内；
（2）平面α与平面β有一个公共点，这两个平面就有无数个公共点，且它
们都在同一条直线上，这条直线就是α与β的交线.
课时作业
04
PART
1. 下列命题中真命题的个数是（　　）
①三角形是平面图形；②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面
图形；④圆是平面图形.
A. 1 B. 2
解析：　在①中，由不共线的三点确定一个平面，得三角形是一个平面
图形，故①为真命题；在②③中，若这四条边不在同一平面内，例如空间
四边形，则该四边形不是平面图形，所以②③为假命题；在④中，圆是平
面图形，所以④为真命题.故选B.
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C. 3 D. 4
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2. 如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，则（　　）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
解析：　∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，∴N∈α，又
M，N∈l，∴l α.
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3. 交于一点的三条直线可以确定平面的个数是（　　）
A. 三个 B. 两个
C. 一个或两个 D. 一个或三个
解析：　如图，a，b，c是三条不同
的直线，a∩b＝P，a，b确定平面
α，且点P∈c，若c在平面α内，则直
线a，b，c确定一个平面；若c不在平面α内，则直线a，c确定一个平面，b，c确定一个平面，于是得直线a，b，c确定三个平面，所以交于一点的三条直线可以确定平面的个数是一个或三个.故选D.
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4. 已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是
“l，m，n两两相交”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析：　由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以
m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交；由m，n，
l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n
＝C，且A n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，
C∈α，所以l，m α，所以m，n，l共面.
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5. 已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B l，又AC∩l＝
M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是（　　）
A. 直线CM B. 直线BM
C. 直线AB D. 直线BC
解析：　已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC γ.又AC∩l＝
M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l α，l β，又因为AC∩l＝M，
所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.
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6. 〔多选〕下列推断中，正确的是（　　）
A. M∈α，M∈β，α∩β＝l M∈l
B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C. l α，A∈l A α
D. A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
解析：　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知
M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线
AB α，AB β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有
l α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β
中，α，β重合，故D正确.
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7. 〔多选〕下列说法错误的是（　　）
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，
D，E共面
C. 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D. 依次首尾相接的四条线段共面
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解析： 　A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外
的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三
点不共线，所以A正确；B中，如图，两个相交平面有三个公
共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以B不正确；C显然不正确；D中，因为所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，所以D不正确.
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8. 已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是两条不同的直线，P为空间中
一点.若α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系
用符号表示为 .
解析：∵m α，n β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴点
P在直线l上，即P∈l.
P∈l　
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9. 空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确
定 个平面.
解析：可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
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10. 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出截面PQR与底面BCD的交线.
解：∵直线PR 平面PQR，直线CD 平面BCD，
M∈直线PR，M∈直线CD，
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，
即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上，过
点M，N作直线，则直线MN即截面PQR与底面BCD的交线l，如图所示.
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11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝ DD1，NB＝ BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是（　　）
A. 三角形 B. 四边形
解析：　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，延长
C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线
于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接
NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五
边形.故选C.
C. 五边形 D. 六边形
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12. 〔多选〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，
直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（　　）
A. C1，M，O三点共线
B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面
D. D1，D，O，M四点共面
解析： 　在题图中，连接A1C1，AC（图略），则AC∩BD＝O，又
A1C∩平面C1BD＝M，∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的
交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确.
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13. （2025·莱芜质检）一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成
部分.
解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这
个基础上将空间分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7
＝21部分.
21　
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14. 已知空间四边形ABCD（如图所示）中，E，F分别是AB，AD的中
点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝ BC，CH＝ DC. 求证：
（1）E，F，H，G四点共面；
证明： 连接EF，GH. 因为E，F分别是AB，AD
的中点，所以EF BD. 因为G，H分别是BC，CD上
的点，且CG＝ BC，CH＝ DC，所以GH BD.
所以EF∥GH，所以E，F，H，G四点共面.
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（2）直线FH，EG，AC共点.
证明：由（1）知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四
边形EFHG是梯形.设两腰EG，FH相交于一点T. 因为
EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD. 又因为平面ABC∩
平面ACD＝AC，
所以T∈AC，
所以直线EG，FH，AC相交于一点T，即直线FH，EG，AC共点.
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15. 定线段AB所在的直线与定平面α相交，交点为O，P为定直线外一
点，P 直线AB，P α，若直线AP，BP与平面α分别相交于A'，B'.试问，
如果点P任意移动，直线A'B'是否恒过一定点？请说明理由.
解：随着点P移动，直线A'B'恒过定点O. 理由如下：
由直线AB和直线外一点P可确定平面β，
因为AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以点O一定在交线A'B'上，即直线
A'B'恒过定点O.
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