8.5.1　直线与直线平行

(共53张PPT)
8.5.1　直线与直线平行
1.理解基本事实4和等角定理（直观想象）.
2.会判断空间两直线的位置关系（逻辑推理）.
课标要求
把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.我们发现这些折痕互相平行.初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，在空间中，这个结论仍然成立，下面我们将要学习该结论.
情景导入
知识点一　基本事实4
01
知识点二　等角定理
02
知识点三　利用线线平行判断共面
03
目录
课时作业
04
知识点一
基本事实4
01
PART
问题1　在如图所示的正方体ABCD-A'B'C'D'中，DC∥AB，A'B'∥AB，DC
与A'B'平行吗？由此，你能得到什么结论？
提示：平行.得到事实：平行于同一条直线的两条直线平行.
【知识梳理】
文字语言 平行于同一条直线的两条直线
图形语言
符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c
作用 证明两条直线平行
平行　
a∥c　
【例1】　如图所示，在空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，
CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝ AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.
变式　若条件中增加“AC＝BD”，那么四边形EFGH是什么图形？
解：由题意得EH∥BD，FG∥BD，EH＝FG＝ BD，所以EH∥FG，EH＝FG，因为AC＝BD，则EF＝FG＝GH＝EH，所以四边形EFGH为菱形.
【规律方法】
证明空间两条直线平行的方法
（1）平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；
（2）定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直
线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；
（3）基本事实4：用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得
a∥b，同时b∥c，即可得到a∥c.
训练1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1∥FF1.
证明：连接EF，E1F1，A1C1，AC，
由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AC A1C1，因为点E，F
分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得
EF AC，同理E1F1 A1C1，
所以EF∥E1F1，且EF＝E1F1，则四边形EFF1E1为平行四
边形，故EE1∥FF1.
知识点二
等角定理
02
PART
问题2　在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
提示：成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所
示的两种位置.
【知识梳理】
1. 定理
文字
语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角

符号
语言 OA∥O'A'，OB∥O'B' ∠AOB＝∠A'O'B'或∠AOB＋∠A'O'B'＝
180°
图形
语言
作用 判断或证明两个角相等或互补
相等
或互补　
2. 推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别对应 ，那么这
两组直线所成的锐角（或直角）相等.
　　提醒：（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是
基本事实4的直接应用；（2）当这两个角的两边方向分别相同或相反时，
它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
平行　
【例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱
CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝ BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝ DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
【规律方法】
空间角相等的证明方法
（1）等角定理是较常用的方法，等角定理的结论是相等或互补，在实
际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都
有可能；
（2）转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.
训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是
AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图所示，连接B1C.
因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以FG∥B1C.
又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB，
A1B1∥AB，
由基本事实4知CD∥A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四
边形，所以A1D∥B1C.
又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE.
又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG. 所以△EFG∽△C1DA1.
03
PART
知识点三
利用线线平行判断共面
【例3】　如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，H，G分别是AD，CD上的点，满足 ＝ .求证：E，F，G，H四点共面.
证明：如图，连接AC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面.
【规律方法】
根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直
线平行.
训练3　如图，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分别是FA，FD的中点.
（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；
解：证明：由题意知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH AD，
又BC AD，故GH BC，
所以四边形BCHG是平行四边形.
（2）C，D，E，F四点是否共面？为什么？
解：C，D，F，E四点共面.
理由如下：
由BE AF，G是FA的中点知，BE GF，
所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又点D在直线FH上， 所以C，D，E，F四点共面.
1. 空间中两条互相平行的直线指的是（　　）
A. 空间中没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
√
2. 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则
长方体的各棱中与EF平行的有（　　）
A. 3条 B. 4条
C. 5条 D. 6条
解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
√
3. 空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别对应平行.若α＝60°，则β
＝ .
解析：因为角α与β两边分别对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互
补，故β＝60°或120°.
60°或120°　
4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中
点，求证：CM∥A1N.
证明：如图，取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则
A1P＝ A1D1.
又N为B1C1的中点，B1C1 A1D1，所以C1N∥PA1，且
C1N＝PA1，所以四边形PA1NC1为平行四边形，所以
A1N∥C1P.
又由PM DD1 CC1，得四边形PMCC1为平行四边形，所以C1P∥CM.
所以CM∥A1N.
课堂小结
1.理清单
（1）基本事实4；
（2）等角定理；
（3）利用线线平行判断共面.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
用等角定理时，角有可能相等或互补.
课时作业
04
PART
1. 已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关
系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析：　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选A.
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√
2. 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意两个顶点的连线中，与棱AB
平行的条数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　如图，连接CF，C1F1，与棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5条.
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3. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB
与CD的位置关系是（　　）
A. 平行
B. 异面
C. 相交或平行
D. 平行或异面或相交均有可能
解析：　如图所示，可知
AB，CD有平行，异面，相交三种情况.故选D.
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4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，E是PD的
中点，点F在PC上且PF＝ PC，点G在PB上且PG＝ PB，则（　　）
A. AG＝3EF，且AG与EF平行
B. AG＝3EF，且AG与EF相交
C. AG＝2EF，且AG与EF平行
D. AG＝2EF，且AG与EF异面
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解析：　取CF的中点H，连接DH，GH（图略），则在△PBC中，
＝ ＝ ，所以GH∥BC，且GH＝ BC＝2.又因为AD∥BC且AD＝2，所
以GH∥AD，且GH＝AD，所以四边形ADHG为平行四边形，所以
AG∥DH，且AG＝DH. 在△PDH中，因为E，F分别为PD和PH的中
点，所以EF∥DH，且EF＝ DH，所以EF∥AG，且EF＝ AG，即AG＝
2EF.
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5. 如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一
点O，且 ＝ ＝ ＝ ，则 ＝（　　）
A. B.
√
C. D.
解析：如题图， ＝ ＝ ＝ ，可证AB∥A'B'，
AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，
∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝ × ＝ .
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6. 〔多选〕已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列说法可能成立的是（　　）
A. l与AD平行 B. l与AD相交
C. l与AC平行 D. l与BD平行
解析：　假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行；又l在上底面中，AD在下底面中，故l与
AD无公共点，故l与AD不相交；C、D可以成立.
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7. 〔多选〕如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥
DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则（　　）
A. PQ＝ MN
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面
D. 四边形MNPQ是梯形
解析：由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，所以PQ≠ MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B、C、D正确.
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8. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是 .
解析：因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥CD，所以
∠A1AB与∠D1DC相等.又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所
以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
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9. 如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为 .
解析：由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方
体，如图所示.分别取AB，AA1的中点Q，P，连接
EP，FQ，PQ，A1B，由正方体的结构特征可得
EF∥PQ，又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，
A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故
PQ∥HG，所以EF∥GH.
平行　
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10. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
解：如图所示，在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，
交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. 已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝
4，BD＝6，则（　　）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析：　取AD的中点H，连接MH，NH（图略），则MH∥BD，且
MH＝ BD＝3，NH∥AC，且NH＝ AC＝2，且M，N，H三点构成三角
形，由三角形中三边关系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN
＜5.故选A.
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12. 〔多选〕如图，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是
AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A. M，N，P，Q四点共面
B. ∠QME＝∠DBC
C. △BCD∽△MEQ
D. 四边形MNPQ为梯形
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解析： 　对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，
Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝
∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，
∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C正确；对于D选项，由三角
形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝ BD，NP∥BD，NP＝ BD，所以
MQ NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确.故选A、B、C.
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13. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，
F，G分别是CB，CD上的点，且 ＝ ＝ ，若BD＝6，四边形EFGH
的面积为28，则直线EH，FG之间的距离为 .
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解析：由题意得EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH＝ BD＝3，又
∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基本事实4知，EH∥GF，
∴四边形EFGH是梯形，而直线EH，FG之间的距离就是梯形EFGH的
高，设高为h，四边形EFGH的面积为28，即 ＝28，得h＝8.
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14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：
（1）D1E∥BF；
证明：如图，取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝A1B1，
因为A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，
EM＝C1D1，所以四边形EMC1D1为平行四边形，
所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F，
所以四边形MBFC1为平行四边形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
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（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
证明：因为D1E∥BF，BB1∥EA1，
且∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同，
所以∠B1BF＝∠A1ED1.
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15. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，
DN∥BC，DN与EF相交于点M. 将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到
C'D'的位置，G，H分别为AD'和BC'的中点，求证：
（1）四边形EFGH为平行四边形；
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证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB，且EF＝ （AB＋CD），又C'D'∥EF，EF∥AB，所以
C'D'∥AB.
因为G，H分别为AD'，BC'的中点，
所以GH∥AB，且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
所以GH EF，所以四边形EFGH为平行四边形.
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（2）∠C'EB＝∠D'MN.
证明：因为折叠前DN∥BC，且
DM∥CE，MN∥EB，所以折叠后
D'M∥C'E，MN∥EB，
所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行
且方向相同，所以∠C'EB＝∠D'MN.
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