8.5.2　直线与平面平行

(共61张PPT)
8.5.2　直线与平面平行
1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题（直观想象、逻辑推理）.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α平行，如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m平行.
情景导入
知识点一　直线与平面平行的判定定理
01
知识点二　直线与平面平行的性质定理
02
目录
知识点三　与性质定理有关的计算问题
03
提能点　线面平行关系的综合应用
04
课时作业
05
知识点一
直线与平面平行的判定定理
01
PART
问题1　如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在
直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面
平行呢？
提示：AB平行于桌面所在平面，翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面
所在平面内，由直线与平面平行的定义可知，直线与平面无公共点，而此
时直线AB与封面的另一边平行，同时，封面的另一边在平面内，那么该
直线与此平面平行.
【知识梳理】
文字语言 如果平面外一条直线与 ，那
么该直线与此平面平行
符号语言 a α，b α，且a∥b a∥α
图形语言
　　提醒：（1）定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可；
（2）实质是线线平行 线面平行.
此平面内的一条直线平行　
【例1】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.求证：BE∥平面PAD.
证明：法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，
且EF＝ CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴ ＝ ＝ ，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
【规律方法】
应用判定定理证明线面平行的步骤
第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；
④线段成比例法.
训练1　如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点.求证：DE∥平面ACC1A1.
证明：如图，连接BC1，AC1.
因为ABC-A1B1C1是斜三棱柱，
所以四边形BCC1B1为平行四边形，
由平行四边形性质得点E也是BC1的中点.
因为点D是AB的中点，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.
知识点二
直线与平面平行的性质定理
02
PART
问题2　已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些
位置关系？在什么条件下a与b平行？
提示：平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时平行.
【知识梳理】
文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面
相交，那么该直线与
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
　　提醒：（1）定理中的三个条件“a∥α，a β，α∩β＝b”缺一不可；
（2）实质是线面平行 线线平行.
平行　
交线平行　
a β，α∩β＝b　
【例2】　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边
形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M
是PC的中点，
∴PA∥OM，又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
【规律方法】
1. 利用线面平行性质定理解题的步骤
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的
平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
训练2　如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F
分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
（1）DF∥平面PBE；
证明：（1）取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F，G分别为PC，PB的中点，所以FG∥BC，
FG＝ BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝
AD，因为点E为AD的中点，所以DE∥BC，且DE＝ BC，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
（2）DF∥l.
证明：由（1）知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平
面PBE＝l，所以DF∥l.
知识点三
与性质定理有关的计算问题
03
PART
【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
解：∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，
EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，∴F为CD的中点.∴EF＝ AC＝ ×2
＝ .
【规律方法】
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出
有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
训练3　如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角
形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中
点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段
CF的长.
解：因为AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，所以AG∥EF.
又因为E为线段AB的中点，所以F为线段BG的中点，
因为G为线段BD的中点，且BD＝2，所以GF＝ .
连接CG（图略），因为△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以CG＝ BD＝1，且CG⊥GF. 在Rt△CGF中，CF＝ ＝ .
04
PART
提能点
线面平行关系的综合应用
【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上
的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判
断点M在何位置.
解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE
于点N，连接MN，NF，如图所示.
因为BF∥平面AA1C1C，
BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝ EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
变式　在本例中，若E，F分别为棱CC1和BB1的中点，M是线段AC上的
动点，若MB∥平面AEF，则M在何位置呢？
解：如图所示，点M与点C重合，此时BM∥EF，
BM 平面AEF，EF 平面AEF，所以MB∥平面AEF.
若点M在线段AC上其他位置，不可能满足MB∥平面
AEF.
【规律方法】
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，
既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间
的相互转化.
训练4　如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平
面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的
交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解：直线l∥平面PAC. 证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
1. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中
正确的是（　　）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析：　A中，n还有可能在平面α内；B中，m，n可能相交、平行、异
面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中，m，n可能异面.
√
2. 直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（　　）
A. 有且只有一个
B. 有无数多个
C. 有且只有一个或不存在
D. 不存在
解析：　在a上任取一点A，则过点A与b平行的直线有且只有一条，设
为b'，又∵a∩b'＝A，∴a与b'确定一个平面α，即为过a与b平行的平
面，可知它是唯一的.
√
3. 如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 无数条
解析：　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交
AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作CC1
的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面ACC1A1，则
这样的MN有无数条.故选D.
√
4. 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点.
点F在棱SC上，且 ＝λ，SA∥平面BEF，则实数
λ＝（　　）
A. B.
C. D. 1
√
解析：　如图，连接AC，设AC∩BE＝G，连接
FG，则平面SAC∩平面EFB＝FG.
因为SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面
EFB＝FG，所以SA∥FG，
所以 ＝ ，因为AE∥BC，所以△GEA∽△GBC，
又因为E为AD中点，
所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，即SF＝ SC，所以λ＝ .
课堂小结
1.理清单
（1）直线与平面平行的判定定理；
（2）直线与平面平行的性质定理；
（3）与性质定理有关的计算问题；
（4）线面平行关系的综合应用.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
证明线面平行时漏写线在平面外（内）.
课时作业
05
PART
1. 若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，
b，c，…，那么这些交线的位置关系为（　　）
A. 都平行
B. 都相交且一定交于同一点
C. 都相交但不一定交于同一点
D. 都平行或交于同一点
解析：　由直线l∥平面α，过l作平面β且α∩β＝a，则l∥a，同理有
l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，即交线均平行.故选A.
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2. 在空间四边形ABCD中，E，F分别在AD，CD上，且满足 ＝ ，
则直线EF与平面ABC的位置关系是（　　）
A. EF∥平面ABC
B. EF 平面ABC
C. EF与平面ABC相交
D. 以上都有可能
解析：　∵ ＝ ，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF 平面ABC.
∴EF∥平面ABC. 故选A.
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3. 在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）
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解析：　对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B不
满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C不
满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D不
满足题意.故选A.
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4. 如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，
D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长
为（　　）
A. 2＋ B. 3＋
C. 3＋2 D. 2＋2
解析：　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，
∴AB∥EF. ∵E是SA的中点，∴F是SB的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝
.∴四边形DEFC的周长为3＋2 .
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5. （2025·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线
a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α
于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝
（　　）
A. 2 B. 3
√
解析：　因为直线a∥平面α，点B，C，D∈a，平面
ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝ ·BD＝ ×4＝ .
C. D.
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6. 〔多选〕在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，
CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（　　）
A. E，F，G，H一定是各边的中点
B. G，H一定是CD，DA的中点
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四边形EFGH是平行四边形或梯形
解析： 　因为BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得
BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且
EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选C、D.
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7. 〔多选〕一几何体的平面展开图如图所示（顶点P在展开图中分别为
P1，P2，P3，P4），其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为P4B，
P1C的中点，关于这个几何体，下列结论正确的是（　　）
A. 直线AE与直线BF异面
B. 直线AE与直线DF异面
C. 直线EF∥平面PAD
D. 直线EF∥平面ABCD
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解析： 　如图，将平面展开图还原，显然AE，BF异
面，故A正确；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，
又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正确；易知四边形AEFD为梯形，故B错误；
∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正确.故选A、C、D.
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8. 如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝
E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状
是 .
平行四边形　
解析：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB 平面ABC，∴EG∥AB. 同理
FH∥AB，∴EG∥FH. 又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD 平面BCD，
∴GH∥CD. 同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形.
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9. 如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D
为棱A1B1的中点，则过BC和D的截面面积等于 cm2.
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解析：如图，过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连接
CE，DB，B1C1∥BC，则DE∥BC，即D，E，B，C四
点共面，四边形BCED即为过BC和点D的截面，因为D
为棱A1B1的中点，所以DE是△A1B1C1的中位线，所以
DE＝ B1C1＝4 cm，又因为DE∥BC，所以四边形BCED是梯形；过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝ ＝4 （cm），所以截面 BCED的面积为 ×（4＋8）×4 ＝24 （cm2）.
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10. 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角
形，C为底面圆周上一点.
（1）若 的中点为D. 求证：AC∥平面POD；
解： 证明：设BC∩OD＝E，
∵D是 的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，∴AC∥平面POD.
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（2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
解： 设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ r，
∵S△PAB＝ ×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴圆锥的表面积S表＝πrl＋πr2＝πr× r＋πr2＝9（1＋ ）π.
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11. 已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b
（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
解析：　因为直线a∥平面α，直线a∥平面β，所以在α，β中均可找到一条
直线与直线a平行.设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a，所以
m∥n.又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β.又因为α∩β＝b，
m α，所以m∥b.又因为m∥a，所以a∥b.故选B.
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12. 〔多选〕已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且
AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点N，使得
PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥N-BDC的体积为
V2，则下面结论正确的为（　　）
A. ＝ B. PA∥ON
C. VP-ADC＝VP-ABC D. ＝
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解析： 因为AB∥CD，所以△AOB与△COD相似，
所以 ＝ ＝ ，因为PA∥平面NBD，PA 平面PAC，
平面PAC∩平面NBD＝ON，所以PA∥ON，所以
＝ ＝ ，故A、B正确；因为CD＝3AB，AB∥CD，
所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正确；因为 ＝ ，
所以 ＝ ，因为 ＝ ＝3，所以 ＝ ，所以 ＝ × ＝
，故D正确.故选A、B、D.
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13. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8，点P在棱AA1上，且AP＝2.若EF∥平面PBD，则CF＝ .
2　
解析：连接AC，交BD于点O，连接PO（图略）.因为EF∥平面PBD，
EF 平面EACF，平面EACF∩平面PBD＝PO，所以EF∥PO. 在PA1上
截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，所以EF∥QC，所以易知四边
形EFCQ为平行四边形，则CF＝EQ. 又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，所
以A1E＝CF＝EQ＝ （8－AQ）＝2，故CF＝2.
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14. 如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，
在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE. 若存在，指出点M的
位置，并证明你的结论.
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证明如下：
如图，取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝ AB，又PC∥AB且PC＝ AB，
所以MN∥PC且MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
解：存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
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15. 如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH
为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
解：证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
解：同（1）可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四边形EFGH的周长l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－ ）］＝12－x，
∴8＜12－x＜12，∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.
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