8.5.3　平面与平面平行

(共62张PPT)
8.5.3　平面与平面平行
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理（直观想象、逻辑推理）.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层.展馆的每两层所在的平面都相互平行，下面我们将要学习判断的依据.
情景导入
知识点一　平面与平面平行的判定定理
01
知识点二　平面与平面平行的性质定理
02
提能点　线线、线面、面面平行的转化
04
目录
课时作业
05
知识点三　与性质定理有关的计算问题
03
知识点一
平面与平面平行的判定定理
01
PART
问题1　如图1，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在的直线，它们都
和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图2，c和d分别是三角尺相邻
两边所在的直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
提示：三角尺所在的平面和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.
【知识梳理】
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那
么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
　　提醒：（1）平面内的两直线相交；（2）均平行于另一平面.两条件
缺一不可.
两条相交直线　
【例1】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：（1）B，C，H，G四点共面；
证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF 平面
BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【规律方法】
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
（3）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
训练1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1
的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1.
证明：连接EF，∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F分
别为DD1，CC1的中点，
∴AB∥DC∥EF，AB＝DC＝EF，ED1∥CF，ED1＝
CF，∴四边形ABFE，ED1FC为平行四边形，则
AE∥BF，EC∥D1F，
∵AE 平面BFD1，EC 平面BFD1，BF 平面BFD1，
D1F 平面BFD1，∴AE∥平面BFD1，EC∥平面BFD1，
∵AE 平面AEC，EC 平面AEC，AE∩EC＝E，
∴平面AEC∥平面BFD1.
知识点二
平面与平面平行的性质定理
02
PART
问题2　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？
平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？
提示：直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.
当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行.
【知识梳理】
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那
么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
图形语言
提醒：该定理涉及三个平面两条直线，可简记：若面面平行，则线线平行.
平行　
a∥b　
【例2】　如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接PM，N是PM与DE的交点，连接CM，NF，求证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE 平面
ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF
平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
【规律方法】
应用面面平行性质定理的基本步骤
训练2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.
（1）求证：四边形BFD1E为平行四边形；
解：证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，
由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E，
∴四边形BFD1E为平行四边形.
（2）试确定点F的位置.
解：取BB1的中点M，连接MC1，ME，如图，
∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点，
∴ME A1B1，
又A1B1 C1D1，∴ME C1D1，
∴四边形D1EMC1为平行四边形，∴D1E∥MC1，
又D1E∥BF，∴MC1∥BF，又C1F∥BM，
∴四边形MBFC1为平行四边形，
∴BM＝C1F，∴F为棱CC1的中点.
知识点三
与性质定理有关的计算问题
03
PART
【例3】　如图，已知平面α∥β，P α，且P β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，
AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为
α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD＝ ，故BD的长为
.
变式　将本例改为：若点P位于平面 α，β之间（如图），其他条件不变，
试求BD的长.
解：与本例同理，可证得AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得BD
＝24，故BD长为24.
【规律方法】
与面面平行的性质有关的计算的三个关键点
（1）根据已知的面面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理推
出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
训练3　如图所示，
在棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶EB＝1∶2，若△EFG的周长是9，求△BCD的周长.
解：因为平面EFG∥平面BCD，平面EFG∩平面
ABC＝EG，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以EG∥BC，所以 ＝ ＝ ，同理 ＝ ＝ ，所以△EFG与△BDC的周长之比为1∶3，
而△EFG的周长是9，故△BCD的周长为9×3＝27.
04
PART
提能点
线线、线面、面面平行的转化
【例4】　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
证明：由题设知BB1 DD1，所以四边形BB1D1D
是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1 B1C1 BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明：由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面
ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
【规律方法】
在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种
平行关系不是孤立的，而是相互联系，可以相互转化.所以要解决平行关
系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化.
训练4　如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE. 求证：
（1）MN∥平面PAD；
证明：如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.
在△PCD中，N，Q分别是PC，DC的中点，
所以NQ∥PD，
又NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，
所以MQ∥AD，又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
（2）MN∥PE.
证明：由（1）知，平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ
＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
1. 两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是
（　　）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于同一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
√
2. （2025·周口月考）平面α与平面β平行的条件可以是（　　）
A. α内有无穷多条直线都与β平行
B. 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C. α内的任意直线都与β平行
D. 直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
解析：　在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，则α与β相交或平行，故
A错误；在B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β
相交或平行，故B错误；在C中，α内的任意直线都与β平行，则可得α∥β，
故C正确；在D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相
交或平行，故D错误.
√
3. 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若
PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝ .
解析：∵平面α∥平面β，α∩平面PAB＝CD，β∩平面PAB＝AB，
∴CD∥AB，则 ＝ ，∴AB＝ ＝ ＝ .
　
4. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分
别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明：在△CEF中，因为点G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
如图，设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为
OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
课堂小结
1.理清单
（1）平面与平面的判定定理；
（2）平面与平面的性质定理；
（3）与性质定理有关的计算问题；
（4）线线、线面、面面平行的转化.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
注意区分“两条相交直线”与“两条直线”、“无数条直线”与“任意
直线”的不同.
课时作业
05
PART
1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则
需增加的条件是（　　）
A. n是直线且n α，n∥β
B. n，m是异面直线且n∥β
C. n，m是相交直线且n α，n∥β
D. n，m是平行直线且n α，n∥β
解析：　要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平
面平行，n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平
行的判定定理可得α∥β.故选C.
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2. 已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关
系可能是（　　）
A. 平行或相交 B. 相交或异面
C. 平行或异面 D. 平行、相交或异面
解析：当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β，平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件.故选D.
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3. 在下列四个正方体中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平
面ABC∥平面DEF的是（　　）
解析：　B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，
BC∥平面DEF. 又AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，所以平面
ABC∥平面DEF.
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4. 经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作（　　）
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析：　①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使
β∥α；②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少
有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行
的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD
的中心，E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面
平行的是（　　）
A. 平面ABB1A1 B. 平面BCC1B1
C. 平面BCFE D. 平面DCC1D1
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解析：　如图所示，分别取AB，DC的中点E1和F1，
OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1，因为A1E＝BE1，
A1E∥BE1，所以四边形A1E1BE为平行四边形，所以
A1E1∥BE. 根据线面平行的判定定理，可得A1E1∥平面
BCFE，同理可得E1F1∥平面BCFE，再根据面面平行的判定定理，可得平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
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6. 〔多选〕α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直
线，则下列命题中正确的是（　　）
A. a∥b B. a∥b
C. α∥β D. a∥b
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解析： 　对于A，由基本事实4可知，A正确；对于B，两条直线都与同
一个平面平行，则这两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故B不
正确；对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可能平行，
也可能相交，故C不正确；对于D，由面面平行的性质定理可知，D正确.
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7. 〔多选〕如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝
2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则（　　）
A. EF∥D1C
B. EF＝ a
C. CF＝ a
D. 三棱锥A-EFC的体积为 a3
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解析：　如图，连接AC，A1B，因为在正方体中，
平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1
＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平
行的性质定理可得EF∥D1C，故A正确；易知
A1B∥D1C，所以EF∥A1B，又A1E＝2EA，所以AF＝
AB，故EF＝ A1B＝ a，故B错误；CF＝ ＝ a，故C错误；VA-EFC＝VE-AFC＝ × a× × a×a＝ a3，故D正确.
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8. 已知直线l与平面α，β，γ依次交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ
依次交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝ .
解析：如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，
AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，
β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG，所以 ＝ ，同理可得，GE∥CF， ＝ ，所以 ＝ ，所以DE＝ ＝ ＝ .
　
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9. 如图，P是△ABC所在平面外一点，A'，B'，C'分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为 .
平行　
解析：如图，连接PA'，PC'并延长，分别交BC，AB于点
M，N，连接MN. ∵A'，C'分别是△PBC，△PAB的重
心，∴PA'＝ PM，PC'＝ PN，∴A'C'∥MN.
∵MN 平面ABC，A'C' 平面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面A'B'C'，
∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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10. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中
点.
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
解： 证明：因为E，F分别为线段AC1，A1C1的中
点，所以EF∥A1A.
因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B. 又因为EF 平面
BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，
所以EF∥平面BCC1B1.
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（2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1，证明你的结论.
解：存在.证明如下：取BC1中点为G，连接GE，
GF，又因为E为AC1的中点，所以GE∥AB.
因为EG 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，
所以EG∥平面ABB1A1.
同理可证EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG＝E，EF，
EG 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1，
所以在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1.
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11. 如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，
点N在线段AB上，AB＝4BN. 若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面
边长的比值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则
NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平
面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的
中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG，所以DEC'D'为平行四边形，
棱台上下底面边长的比值为 .
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12. 〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且
m，n α，m，n β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④
n∥β.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成下列四个命题，其中为
真命题的是（　　）
A. ①②③ ④ B. ①③④ ②
解析： 　若①α∥β，②m∥n，③m∥α，且n β，有④n∥β成立，A正
确；若①α∥β，③m∥α，④n∥β，则m，n可能相交、平行或异面，B错
误；若①α∥β，②m∥n，④n∥β，且m α，所以有③m∥α成立，C正确；若②m∥n，③m∥α，④n∥β，则平面α，β可能相交、平行，D错误.
C. ①②④ ③ D. ②③④ ①
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13. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足 时，有MN∥平面B1BDD1.
M在线段FH上　
解析：连接HN，FH，FN（图略）.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF
＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面
B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH的边上及其内
部运动，平面FHN∩平面EFGH＝FH，∴M∈FH.
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14. 求证：（1）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平
面平行；
证明：已知平面α，β，γ，且α∥β，γ∥β，如图所示，
在平面α，β，γ内各取一点A，B，C，过AB作两个平面，
与α的交线分别为a，b，与β的交线分别为c，d.
设过BC和c的平面与γ的交线为e，过BC和d的平面与γ的
交线为f，由两个平面平行的性质定理知a∥c，b∥d，
c∥e，d∥f，∴a∥e，b∥f，∵a γ，e γ，b γ，f γ，∴a∥γ，b∥γ，又a∩b＝A，a α，b α，∴α∥γ.
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（2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
证明：已知点P 平面α.假设过点P存在两个平面β，γ都平行于α，即
α∥β，α∥γ.如图所示，
设直线a 平面α，则P a，
由a和P确定一个平面设为σ，
则σ∩β＝b，σ∩γ＝c，则b∩c＝P，
由两平面平行的性质定理可得，a∥b，a∥c，则b∥c.
这与b∩c＝P矛盾，故假设错误，即经过平面外一点有且只有一个平面与
已知平面平行.
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15. 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形
ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD；
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解：证明：在平面图形中，设MN与AB交于点G. 由于四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，∴四边形ADNM
为平行四边形，∴MN∥AD.
折叠之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，
AD∩AF＝A，示意图如图1，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD.
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（2）“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总与线段FD平行”这个结论
正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件
使上述结论成立，并给出理由.
解：这个结论不正确.
要使结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下：
当F，A，D共线时，由平面图形，易证得FD∥MN.
折叠后，当F，A，D不共线时，由（1）知平面MNG∥平
面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质
定理，只要FD与MN共面即可.
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若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可.
由平面图形知，若要DN和FM共面，
则DN与FM相交于点B（M，N分
别为AE，DB的中点才能实现），折叠后的图形如图2.
∵FM∩DN＝B，
∴可知它们确定一个平面，即F，D，N，M四点共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平
面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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THANKS
演示完毕 感谢观看