8.6.1　直线与直线垂直

(共52张PPT)
8.6.1　直线与直线垂直
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系（数学抽象）.
2.理解并掌握异面直线所成的角（直观想象）.
3.会求任意两条直线所成的角（数学运算）.
课标要求
　　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.从直观上判断，AB与B1C1垂直，AB与B1D1不垂直，能用确定的数量关系进行判断吗？这就是本节要学习的内容.
情景导入
知识点一　异面直线所成的角
01
知识点二　直线与直线垂直
02
目录
课时作业
03
知识点一
异面直线所成的角
01
PART
问题1　平面内两条直线所成的角的范围是多少？
提示： .
【知识梳理】
定 义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b
结论 我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角
（或夹角）
范围 记异面直线a与b所成的角为α，则
a'与b'　
0°＜α≤90°　
　　提醒：（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的
相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成
的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条
相交直线所成的角.
【例1】　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，
求：
（1）BE与CG所成的角的大小；
解：∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角的大小为45°.
（2）FO与BD所成的角的大小.
解：如图，连接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO（或其补角）是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角的大小为30°.
【规律方法】
求两条异面直线所成角的步骤
（1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
（2）证：证明作出的角就是要求的角，其实质是证明线线平行，并指出
所作的角就是要求的角；
（3）计算：求角的值，常利用解三角形得出；
（4）结论.
可用“一作二证三计算四结论”来概括.同时注意异面直线所成角的取值
范围是0°＜α≤90°.
训练1　（1）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则
异面直线AE与BC所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为 的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝ ，所以AE＝ ＝ .连接ED，则ED＝ .因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角为∠EAD（或其补角）.在△EAD中， cos ∠EAD＝ ＝ ，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
（2）在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，
E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝ AB，GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成
的角，∠EGF（或其补角）为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
知识点二
直线与直线垂直
02
PART
问题2　若两直线垂直，那么两直线一定相交吗？
提示：不一定，当两直线异面时，也可能垂直.
【知识梳理】
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线
.直线a与直线b垂直，记作 .
互相
垂直　
a⊥b　
【例2】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
【规律方法】
证明空间中两条直线垂直的方法
（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等
腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.
训练2　如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB＝BB'＝2.求证：BE⊥AC'.
证明：如图，取CC'的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC'的中点，∴EF∥AC'，
∴∠BEF即异面直线BE与AC'所成的角，且EF＝ AC'.
在正三棱柱ABC-A'B'C'中，
∵AB＝BB'＝2，∴AC'＝2 ，∴EF＝ .
在等边三角形ABC中，BE＝ ＝ ，在Rt△BCF
中，BF＝ ＝ .
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC'.
1. 垂直于同一条直线的两条直线（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
√
2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（　　）
A. 2条 B. 4条
C. 6条 D. 8条
解析：　在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，
B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.
√
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为BC，CC1，
A1D1，C1D1的中点，则直线EF与MN所成角的大小为 .
解析：连接A1C1，C1B，A1B. 因为E，F，M，N分别是BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，所以MN∥A1C1，EF∥BC1，所以∠A1C1B是异面直
线EF与MN所成的角.易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B＝ .
　
4. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，
则AB2＝a2＋b2.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B ＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1 ＋B ，则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.
课堂小结
1.理清单
（1）异面直线所成的角；
（2）直线与直线垂直.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
容易忽视异面直线所成的角α的取值范围是0°＜α≤90°.
课时作业
03
PART
1. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（　　）
A. BC1 B. A1D
C. AC D. BC
解析：　连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
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√
2. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形
一定是（　　）
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
解析：　如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为
E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 同理
FG∥BD，所以∠EFG（或其补角）为AC与BD所成的角.
因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形.
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3. 如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC. ∵点C是弧AB的中点，
∴BC＝AC，∴∠ABC＝45°.在△VBC中，∵D，E分别为VB，VC的
中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.
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4. 若正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，高为 ，则直线
AE1和EF所成角的大小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所
求.∵AF＝EF＝1，EE1＝ ，且∠AFE＝ ，∴AE
＝ ＝ ，∴AE1＝
＝3，AF1＝ ＝ ，∴ cos ∠AE1F1＝ ＝ ＝ ，∴∠AE1F1＝ ，即直线AE1和EF所成角的大小为 .
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5. 如图，在四面体A-BCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，
CD，AD上的点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的是（　　）
A. AC⊥BD
B. AC∥截面PQMN
C. AC＝CD
D. 异面直线PM与BD所成的角的大小为45°
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解析：　因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN
平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平
面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，
MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证
PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝
45°，所以异面直线PM与BD所成的角的大小为45°，故D正确；AC和
CD不一定相等，故C错误.故选C.
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6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1
的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线EF，AO共面
B. 直线EF，BB1是相交直线
C. 直线EF与BC1所成的角的大小为30°
D. 直线EF与BB1所成角的余弦值为
√
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解析： 　连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1
的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说
法正确；连接B1E（图略），∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB（图略），
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易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.
连接OC1（图略），设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝ ，OC1
＝ ，BO＝EF＝ ＝ ，∴ cos ∠OBC1＝
＝ ，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1
（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1（图略），在Rt△OBB1中，
易得 cos ∠OBB1＝ ＝ ＝ ，D中说法错误.故选A、C.
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7. 〔多选〕如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，
BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A. GH与EF平行 B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60°角 D. DE与MN垂直
解析： 　如图，还原成正四面体A-DEF，其中H与N
重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异
面，BD与MN异面.又易知△GMH为等边三角形，∴GH
与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.
∴B、C、D正确.
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8. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝
∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 　 　.
　
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解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，
∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，
∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD
所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝ m，BB1＝
m，由勾股定理得AB1＝B1C＝ m，∴DE＝BE＝
m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝ ，∴ sin ∠EDB＝ .
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9. 在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为 .
　
解析：取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所
以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以
MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，
tan∠A'PN＝ ＝ ＝ .
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10. 正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线
BE与PA所成角的余弦值.
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解：连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中
点，因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，
则OE PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与
PA所成的角.
设四棱锥的棱长为1，则OE＝ PA＝ ，OB＝ BD＝ ，BE＝ ，
则 cos ∠OEB＝ ＝ ＝ .
所以异面直线BE与PA所成角的余弦值为 .
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11. 平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面
ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（　　）
A. B.
解析：如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD-A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，∴ sin ∠EAF1＝ sin 60°＝ .
C. D.
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12. 〔多选〕在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝ ，AD＝BC＝AC＝BD
＝ ，则（　　）
A. AB⊥CD
B. 三棱锥A-BCD的体积为
C. 三棱锥A-BCD外接球的半径为
D. 异面直线AD与BC所成角的余弦值为
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解析：将三棱锥补形为长方体，如图所示.其中BE＝
BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝ ，AD＝BC＝
AC＝BD＝ ，连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；长方体的体积V1＝1×1×2＝2，三棱锥E-ABC的体积V2＝V三棱锥A-BEC＝ × ×1×2×1＝ ，同理，三棱锥N-ABD，三棱锥F-BCD，三棱锥M-ACD的体积也为 ，所以三棱锥A-BCD的体积V＝2－4× ＝ ，故B正确；
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长方体外接球的直径为 ＝ ，所以长方
体外接球的半径为 ，长方体的外接球也是三棱锥
A-BCD的外接球，所以三棱锥A-BCD外接球的半径
为 ，故C错误；连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM（或其补角）为异面直线AD与BC所成的角，由已知OA＝ AD＝ ，OM＝ MN＝ ，AM＝2，所以 cos ∠AOM＝ ＝－ ，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为 ，故D正确.
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13. 当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P
与BC1所成角的取值范围为 .
解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接
AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P
即为异面直线D1P与BC1所成的角，在△AD1P中，AD1＝
，AP＝D1P＝ ，故 cos ∠AD1P＝ ，又∵x∈[0，1]，
∴ cos ∠AD1P＝ ∈［ ， ］，又∠AD1P∈（0，π]，∴∠AD1P∈［ ， ］.
［ ， ］　
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14. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝2 ，
∠ABC＝120°，若A1B⊥AD1，求AA1的长.
解：如图所示，连接CD1，AC.
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC
＝2 ，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为异面直线A1B和AD1所成的角，
∵A1B⊥AD1，即异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.
又易知AD1＝D1C，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝ AC.
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∵AB＝BC＝2 ，∠ABC＝120°，
∴AC＝2 × sin 60°×2＝6，
∴AD1＝ AC＝3 ，
∴AA1＝ ＝ .
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15. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥
A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱锥A1-APB的体积；
解：由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2 ，
∴S△PAB＝ ×2×2 ＝2 ，
∴ ＝ S△PAB·AA1＝ ×2 ×3＝2 .
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（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦
值为 ？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
解：当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B
所成角的余弦值为 .
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
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∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，
∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴ cos ∠A1BP＝ ＝ ，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 .
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