8.6.2第二课时　直线与平面垂直的性质

(共57张PPT)
第二课时　直线与平面垂直的性质
1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题（逻辑推理）.
2.了解异面直线间的距离的定义，掌握点到面的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）.
3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）.
课标要求
　　如图所示，餐厅大门两根水泥柱均与底面垂直，两水泥柱相互平行，这一图形中涉及的问题就是直线与平面垂直的性质定理的体现.
情景导入
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
01
知识点二　空间中的距离问题
02
目录
课时作业
03
知识点一
直线与平面垂直的性质定理
01
PART
问题1　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空
间中是否有类似的性质呢？
提示：在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一
平面的两直线一定平行.
【知识梳理】
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，b⊥α a∥b
图形语言
平行　
　　提醒：（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的
另一种方法；（2）直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直
关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据.
【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，
EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面
A1C1D，
∴EF⊥平面A1C1D，　①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.
同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，DC1，A1C1 平面A1C1D，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
【规律方法】
证明线线平行常用的方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 求证：l∥AE.
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平
面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
知识点二
空间中的距离问题
02
PART
角度1　求点到平面的距离
【例2】　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝ ，S是△ABC所在平
面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ ，点P是SC的中点，求点P到平面
ABC的距离.
解：法一　如图，连接PA，PB，由题意得SA⊥AC，
BC⊥AC.
分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则
EF∥BC，PF∥SA.
所以EF⊥AC，PF⊥AC. 因为PF∩EF＝F，PF，
EF 平面PEF，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.
因为 所以△SAC≌△SBC，又P为SC的中点，
所以PA＝PB.
又E是AB的中点，所以PE⊥AB. 因为AB∩AC＝A，
AB，AC 平面ABC，所以PE⊥平面ABC.
从而PE的长就是点P到平面ABC的距离.
因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中，
AP＝ SC＝ ，AE＝ AB＝ ，所以PE＝
＝ ＝ ，即点P到平面ABC的距离为 .
法二　如图，在平面ABC内，过点A作BC的平行线，过
点B作AC的平行线，两直线交于点D.
因为AC＝BC＝1，AB＝ ，所以AC⊥BC. 所以四边
形ADBC为正方形，连接SD.
由题意得AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，SA，
AD 平面SDA，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.
同理可得BC⊥SD. 因为BC∩AC＝C，BC，AC 平面ADBC，所以
SD⊥平面ADBC. 所以SD的长即点S到平面ABC的距离，在Rt△SAD中，
SD＝ ＝ .
因为点P为SC的中点，
故点P到平面ABC的距离为 SD＝ .
【规律方法】
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求
线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用
体积相等建立方程求解.
训练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
解： 连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的 ，即 a.
（2）点C到平面BDC1的距离.
解： 设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为 ×（ a）
2＝ a2，
由等体积法可得 × ×a×a×a＝ × a2×h，
解得h＝ a，所以点C到平面BDC1的距离为 a.
角度2　直线与平面、两平行平面之间的距离
问题2　若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？你能证明你的结论吗？
提示：相等.能，证明如下：
如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线
AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1，设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α
＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.
【知识梳理】
1. 直线与平面的距离
一条直线与一个平面 时，这条直线上 到这个平面的
距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2. 平面与平面的距离
如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 到另一个平
面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
平行　
任意一点　
平行　
任意一点　
相等　
【例3】　已知平面α与平面β无公共点，直线AB分别交α，β于A，B两
点，直线AB与两平面所成的角均为60°，直线AB夹在两平面间的线段长
为12，则平面α与平面β间的距离是 .
解析：如图，过点A作AO⊥β，交β于点O，连接BO，
则∠ABO为直线AB与平面β所成的角，所以∠ABO＝
60°，且AO为两个平行平面α，β间的距离.在Rt△AOB
中，AO＝AB× sin ∠ABO＝12× sin 60°＝6 ，即
平面α与平面β间的距离为6 .
6 　
【规律方法】
直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值.
训练3　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱
AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离.
解：因为E，F分别为棱AA1，BB1的中点，
所以A1B1∥EF，又EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，
所以A1B1到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，设该距离为h.
连接A1F（图略）.
由 ＝ ，得 × ×1× ×h＝ × ×1× ×1，
所以h＝ ，即A1B1到平面D1EF的距离为 .
三垂线定理与逆定理
通过教材第152页练习4题（3），我们知道若平面的一条斜线l垂直平面内
的直线a，则其在平面内的射影l'也垂直于直线a.
【问题探究】
1. 若平面的一条斜线l在平面内的射影l'垂直于平面内直线a，那么l与a是
否垂直？
提示：垂直.
2. 请叙述三垂线定理及逆定理.并说明该定理的依据.
提示：三垂线定理：平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在
这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂
直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
依据：线面垂直.
【迁移应用】　
（1）在三棱锥M-BCD中，MH⊥平面BCD，H为垂足，CH＝1，CD＝
，HD＝ ，求证：MC⊥CD；
证明：（1）由CH＝1，CD＝ ，HD＝ ，
得CH2＋CD2＝HD2，所以CD⊥CH.
又MH⊥平面BCD，所以CH为MC在平面BCD内的射影，
由三垂线定理，得MC⊥CD.
（2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C⊥BC1.求证：B1C⊥BC1.
证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
易知A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1C在平面BCC1B1内
的射影为B1C，又A1C⊥BC1，由三垂线定理逆定理，
得B1C⊥BC1.
1. 已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给
出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　）
A. α∥β，且m α B. m∥n，且n⊥β
C. m⊥n，且n β D. m⊥n，且n∥β
解析：　A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β，
知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于平面β内的任意
直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m β或m∥β或m与β相交，不符
合题意.故选B.
√
3. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面
ABCD到平面A1B1C1D1的距离为 　　.
4
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所
求距离为4.
4. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点D1到平面AB1C的距离.
解：连接A1B，BD1，BD，如图所示，则AC⊥BD，
AC⊥DD1，
∵BD∩DD1＝D，BD，DD1 平面DBD1，
∴AC⊥平面DBD1，
∵BD1 平面DBD1，∴AC⊥BD1，
∵AB1⊥A1B，D1A1⊥AB1，A1B∩D1A1＝A1，D1A1，
A1B 平面D1A1B，
∴AB1⊥平面D1A1B，∵BD1 平面D1A1B，
∴AB1⊥BD1，
∵AC∩AB1＝A，AC，AB1 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C，
设垂足为O，在三棱锥B1-ABC中， × a×a×a＝
× ×2a2×BO，∴BO＝ a，
∵BD1＝ a，∴D1O＝BD1－BO＝ a，即点D1到平面AB1C的距离为 a.
课堂小结
1.理清单
（1）直线与平面垂直的性质定理；
（2）空间中的距离问题.
2.应体会
转化与化归思想.
3.避易错
距离转化不当导致错误.
课时作业
03
PART
1. 线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点
到α的距离为（　　）
A. 3.5 B. 4
解析：　如图，设AB的中点为点M，分别过点A，
M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.则由线面垂
直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角
梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，所以MM1＝
4，即所求距离为4.
C. 4.2 D. 4.5
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2. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，
l⊥n，l α，l β，则（　　）
A. α∥β，且l∥α
B. α⊥β，且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行于l
解析：　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平
面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，
l⊥n，则交线平行于l.故选D.
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3. 如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC
＝CD＝1，则AD＝（　　）
A. 1 B.
C. D. 2
解析：　因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝ ＝
，又AB⊥平面BCD，BD 平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝
＝ .故选C.
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4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，平面AB1D1到平面BC1D的
距离为（　　）
A. B.
C. D. 2
√
解析：　由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面
AB1D1的距离h，由等体积法可得 ＝ ，即 × ×22×
sin 60°·h＝ × × × × ，解得h＝ ，即平面AB1D1到平面
BC1D的距离为 .
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5. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1
到平面EBD的距离为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　 ＝ · ·DC＝ × ×1×2×2＝ ，在△BED
中，由题意及图形结合勾股定理可得BE＝DE＝ ，BD＝2 ，则由余
弦定理可得 cos ∠BED＝ ＝ ＝ ，则 sin ∠BED＝
＝ .则S△BDE＝ BE·DE· sin ∠BED＝ × × × ＝
.设点C1到平面EBD的距离为d，由 ＝ ，得 ＝ ×
d，解得d＝ .
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6. 〔多选〕已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是
（　　）
A. PB⊥BC B. PD⊥CD
C. PD⊥BD D. PA⊥BD
解析：PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
BC⊥平面PAB BC⊥PB，故A正确；同理
B正确；C不正确.
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7. 〔多选〕如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD，
且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（　　）
A. A'C⊥BD B. A'D⊥BC
C. A'C⊥BC D. A'D⊥A'B
解析： ∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C. 显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D. 故B、C、D正确.
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8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则
EF与AA1的位置关系是 .
解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
平行　
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9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面
ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC
的距离为 .
　
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解析：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即
AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得 PA·S△ABC＝ d·S△PBC，所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，解得d＝ ，所以AD到平面PBC的距离为 .
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10. 斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC. AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图.若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平
面PAC.
又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP. 又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以
PB⊥平面AEF. 而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
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11. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别
为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析：　因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F，
H，G四点共面.因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥
平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面
EFHG，因为GH 平面EFHG，所以PQ⊥GH. 故选B.
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12. 〔多选〕如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿
AD把△ABC折起来，则（　　）
A. 在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B. 三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C. 当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为
D. 当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为
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解析：因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为 × × × × ＝ ，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE（图略），则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝ ＝ ，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝ ，故D不正确.
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13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是 .
解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以
PD⊥CM. 又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥
平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与
AB有交点，所以0＜a≤1.
（0，1]　
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14. 如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E.
（1）求证：AE⊥PB；
解：证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
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（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积.
解：因为点C到平面PAB的距离为1且C为 的中
点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积S＝
2×π×12＋2π×1×2＝6π.
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15. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝
，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
解：证明：由题知AB＝1，BC＝ ，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
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（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由.
解：在线段PC上存在点D，当PD＝ 时，使得
AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，
垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，
交PC于点D，连接BD，
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由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以DE⊥AC，又因为DE∩BE＝E，DE，BE 平面DBE，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝ ＝ ，
所以AE＝ ，CE＝ ，
所以 ＝ ，所以CD＝ ，PD＝ .
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