9.1.2　分层随机抽样

(共57张PPT)
9.1.2　分层随机抽样
1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围（数学抽象）.
2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法（数据分析）.
3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值（数学建模、数学运算）.
课标要求
　　抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.例如，在对某中学高一年级学生身高的调查中，可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
情景导入
知识点一　分层随机抽样
01
知识点二　分层随机抽样的方案设计
02
知识点三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
03
目录
课时作业
04
知识点一
分层随机抽样
01
PART
问题1　某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、
初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体
近视情况的差异大小.
（1）上述问题中样本总体有什么特征？若采用抽签法会出现什么结果？
提示：此总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面
存在着明显的差异；抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.
（2）为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问
题吗？
提示：有，可分不同群体抽取.
【知识梳理】
1. 定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个 ，每
个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行
，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样
方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为 .
2. 比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小
，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
子总体　
简单随机
抽样　
层　
成比
例　
【例1】　下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　）
A. 从10名同学中抽取3人参加座谈会
B. 某高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有
75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取
一个容量为20的样本
C. 从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D. 从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析：　A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C
和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合分层随机抽样；B中总体所
含个体差异明显，适合用分层随机抽样.
√
【规律方法】
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
（1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明
显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数
在总体的个体数中所占比例抽取；
（2）遵循的两条原则：①每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不
遗漏的原则；②每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
训练1　（1）分层随机抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类
抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽
取，必须进行（　C　）
A. 每层等可能抽样
B. 每层可以不等可能抽样
C. 所有层按比例分配等可能抽样
D. 所有层抽取个体数量相同
解析： 为了保证每个个体被等可能地抽取，分层随机抽样时必须在
所有层都按比例分配等可能抽样.
C
①某社区有100户高收入家庭，210户中收入家庭，90户低收入家庭，从中
抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；
②从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况.
（2）要完成下列两项调查：
应采用的抽样方法分别是（　C　）
A. ①用简单随机抽样，②用分层随机抽样
B. ①②都用简单随机抽样
C. ①用分层随机抽样，②用简单随机抽样
D. ①②都用分层随机抽样
C
解析： 因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层随机抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样.故选C.
知识点二
分层随机抽样的方案设计
02
PART
问题2　你能总结一下按比例分层随机抽样的步骤吗？
提示：第一步，按某种特征将总体分成若干部分（层）；
第二步，计算各层所占比例.所占比例＝ ；
第三步，计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数＝样本量×各层所占
比例；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽取的样本，组成总样本.
【例2】　在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现
要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程.
解：先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30
个；第三层，三等品50个.
然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为 ＝ ，所以应在第一层
中抽取产品20× ＝6（个），在第二层中抽取产品30× ＝9（个），在
第三层中抽取产品50× ＝15（个）.
分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法在各层中抽取，得
到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层随机抽样得到了
一个容量为30的样本.
【规律方法】
设计分层随机抽样方案的思路
在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比k＝
（N为总体容量，n为样本量）在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平
性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法.
训练2　（1）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为
120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分
配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车
间的产品中抽取了3件，则n＝（　D　）
A. 9 B. 10
C. 12 D. 13
解析： 由分配比例可得， ＝ ，解得n＝13.
D
（2）某学校的学生由小学部、初中部、高中部构成，其中小学部与初
中部共有700人，该校领导采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取
12名学生进行家访，若高中部抽取了5名学生，则该校高中部
有 　 　名学生.
解析：设该校高中部有m名学生，则 ＝ ，解得m＝500.则该
校高中部有500名学生.
500
03
PART
知识点三
用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
问题3　在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体
数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，我们用X1，X2，…，XM表
示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体
的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，
y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数
和样本平均数 以及第2层的总体平均数 和样本平均数 该如何计算？
提示： ＝ ＝ Xi，
＝ ＝ xi，
＝ ＝ Yi，
＝ ＝ yi.
【知识梳理】
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别
为M和N，两层抽取的样本量分别为m和n，两层的样本平均数分别为
和 ，两层的总体平均数分别为 和 ，总体平均数为 ，样本平均数为
，则 ＝ 　 ＋ 　， ＝ 　 ＋ 　.在比例分
配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 .
＋ 　
＋ 　
【例3】　某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学
生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分
层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量
为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少（保
留两位小数）？
解：初中部抽取的人数为60× ＝34，高中部抽取的人数为
60× ＝26，
整个学校平均视力为 ×1.0＋ ×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34人，26人，整个学校平均视力约为0.91.
【规律方法】
分层随机抽样相关计算时常用的三个关系
（1） ＝ ；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比；
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为 ＝ ＋ ＝
＋ .
训练3　（1）（2025·济宁质检）已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中
甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人
均年收入为（　D　）
A. 8万元 B. 8.2万元
C. 9万元 D. 9.2万元
解析：甲、乙两地的人均年收入为 ×8＋ ×10＝9.2（万元）.
D
A. 若各层按比例分配抽取样本量为100的样本，可以用 ×170.2＋
×160.8≈165.4（cm）来估计总体均值
B. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，可以用 ×170.2＋
×160.8≈163.6（cm）来估计总体均值
C. 若从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，则总样本的均值为
×170.2＋ ×160.8≈163.6（cm）
D. 如果仅根据男生、女生的样本均值，无法计算出总样本的均值
（2）〔多选〕高二年级有男生490人，女生510人，按男生、女生进行分
层随机抽样，得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm.则下
列论述正确的是（　ABD　）
ABD
解析： 由分层随机抽样的概念可得样本平均值为 ×170.2＋
×160.8≈165.4（cm），由此可以估计总体平均值约为165.4 cm，故A正
确；由平均数的计算公式可得，样本平均值为 ×170.2＋
×160.8≈163.6（cm），由此可以估计总体平均值约为163.6 cm，故B正
确；由B可知，163.6为样本平均值，我们可以由此估计出总体平均值，而
不是确定的总体平均值，故C错误；如果仅根据男生、女生的样本均值，
可以估计出总体的均值，不能计算出准确的总体均值，故D正确.
1. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状
况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样
方法是（　　）
A. 分层随机抽样 B. 抽签法
C. 随机数法 D. 其他随机抽样
解析：　从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比
例相同，因此采用的是分层随机抽样.
√
2. 某中学高中部有三个年级，其中高三年级有600人，采用分层随机抽样
抽取一个容量为45的样本.已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，
则高中部的总人数是（　　）
A. 1 200 B. 1 300
C. 1 350 D. 1 420
解析：　因为抽取的样本容量为45，且高一年级抽取15人，高二年级抽
取10人，那么高三年级抽取45－15－10＝20（人），设高中部学生人数为
n，则 ＝ ，得n＝ ＝1 350.
√
3. 〔多选〕下列关于抽样的说法正确的是（　　）
A. 总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B. 在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样
C. 分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等（有剔
除时例外）
D. 百货商场的抽奖活动是抽签法
√
√
√
解析： 　总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，因此A正确；在
对分层随机抽样的每一层进行抽样时，采用的是简单随机抽样，因此B正
确；分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等（有
剔除时可能性也相等），C错误；百货商场的抽奖活动是抽签法，也叫抓
阄，因此D正确.
4. 在分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数
为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为 .
解析： ＝ ×3＋ ×8＝6.
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课堂小结
1.理清单
（1）分层随机抽样的定义；
（2）分层随机抽样的方案设计；
（3）用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数.
2.应体会
对数据进行分析、运算，用样本平均数估计总体平均数时要注意方程思想、转化与化归思想的应用.
3.避易错
在分层随机抽样中，要想每个个体被抽到的可能性相等，需进行比例分配.
课时作业
04
PART
1. 下列抽样调查中，宜用分层随机抽样的是（　　）
A. 为了研究班级同学父母的受教育状况，从班级的40名同学中抽取10名
同学，调查他们的父母受教育状况
B. 为了研究全校同学的肺活量，从全校三个年级的1 500 名同学中抽取50
名同学，调查他们的肺活量
C. 质量检验员从同一批产品中抽取10％进行质量检查
D. 园林绿化人员调查同一块的草坪土质，在草坪中提取部分泥土进行检验
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解析：　A. 班级的40名同学没有明显差异，不宜用分层随机抽样；B.
全校三个年级的1 500名同学有明显的差异，宜用分层随机抽样；C. 同一
批的产品，没有明显差异，不宜用分层随机抽样；D. 同一块的草坪土质
没有明显差异，不宜用分层随机抽样.故选B.
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2. 某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，
剩下的为50岁以上（包括50岁）的人.如果用比例分配的分层随机抽样的
方法从该单位抽取20人进行有关生涯规划的问卷调查，则从小到大各年龄
段应分别抽取的人数为（　　）
A. 7，5，8 B. 9，5，6
C. 6，5，9 D. 8，5，7
解析：　由于样本量与总体个体数之比为 ＝ ，故从小到大各年龄段
抽取的人数依次为45× ＝9，25× ＝5，20－9－5＝6.
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3. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分
别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品
安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果
蔬类食品种数之和是（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为
20× ＝2，抽取的果蔬类的种数为20× ＝4，二者种数之和为6.故选C.
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4. 某房地产公司为了解小区业主对平层户型与复式户型的满意度，采用按
比例分配的分层随机抽样的方法对该小区的业主进行问卷调查.20位已购
买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度
平均分为9.则用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为
（　　）
A. 8.4 B. 8.5
C. 8.6 D. 8.7
解析：　估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为 ×8＋
×9＝8.6.
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5. 某公司为了调查消费者对旗下软件的真实评价，采用分层随机抽样的方
法在甲、乙、丙三个城市共抽取了3 600 人进行问卷调查，若在甲、乙、
丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则乙城市抽
取的人数为（　　）
A. 800 B. 1 000
解析：　因为在甲、乙、丙三个城市抽取的人数分别为a，b，c，且满
足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人数占抽取的总人数的 ，所以乙城市抽
取的人数为3 600× ＝1 200.故选C.
C. 1 200 D. 1 500
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6. 〔多选〕在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱
五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百
钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持
350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各
人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是
（　　）
A. 甲应付51 钱 B. 乙应付32 钱
C. 丙应付16 钱 D. 三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
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解析： 　依题意，由分层随机抽样可知，100÷（560＋350＋180）＝
，则甲应付： ×560＝51 （钱）；乙应付： ×350＝32
（钱）；丙应付： ×180＝16 （钱）.
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7. 〔多选〕某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物
化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的
学生有250人，其他组合均无人选.现从高一学生中选取25人作样本调研情
况.为保证调研结果相对准确，下列判断正确的是（　　）
A. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生12人
B. 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取政史地组合的学生5人
C. 物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D. 政史地组合学生小刘被选中的概率为
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解析： 　用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取物化生组合的学生
为 25× ＝12（人），故A正确；用按比例分配的分层随机抽样
的方法抽取政史地组合的学生为25× ＝5（人），故B正确；根
据按比例分配的分层随机抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均
为 ＝ ，故C错误；由C知，每位同学被选中的概率均为 ，
故D正确.
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8. （2025·丽水月考）某班级有50名学生，一次数学测试平均成绩是
92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩
为 　　分.
95
解析：设20名女生的平均成绩为 分，由题意得50×92＝30×90＋
20× ，∴ ＝95.
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9. 某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了
富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团.已知报名参加这两个社团
的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的
人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 .
为了了解学生对两个社团活动的满意程度，用分层随机抽样的方法从中抽
取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应
抽取的人数为 .
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解析：因为“泥塑”社团的人数占总人数的 ，所以“剪纸”社团的人数
占总人数的 ，人数为800× ＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数所
占的比例为 ＝ ＝ ，所以“剪纸”社团中高二年级人数为
320× ＝96.所以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为
96× ＝6.
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10. 某校在全校开展党史学习教育活动并进行问卷测试，已知该校高一年
级有学生1 200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人.为了解
全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100
的样本.
（1）求在各年级中应分别抽取的人数；
解：该校共有学生1 200＋960＋840＝3 000（人），
则高一年级应抽取100× ＝40（人），
高二年级应抽取100× ＝32（人），
高三年级应抽取100× ＝28（人）.
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（2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80
分，90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分.
解： 全体学生本次问卷测试成绩的平均分为 ×85＋ ×80＋
×90＝84.8（分）.
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11. 中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，
九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.
意思为现有《毛诗》《春秋》《周易》3种书共94册，若干人读这些书，
要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本
《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用比例分配的分
层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（　　）
A. 12 B. 14
C. 18 D. 20
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解析：设《毛诗》有x册，《春秋》有y册，《周易》有z册，学生人数为m，则 解得 因此，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为47× ＝20.
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12. （2025·洛阳质检）已知样本x1，x2，…，xn的平均数为 ，样本y1，
y2，…，ym的平均数为 （ ≠ ）.若样本x1，x2，…，xn，y1，
y2，…，ym的平均数 ＝a ＋（1－a） ，其中 ＜a＜1，则n，m
（n，m∈N*）的大小关系为（　　）
A. n＝m B. n≤m
解析：由题意可知， ＋ ＝a ＋（1－a） ，所以a＝
.又 ＜a＜1，所以 ＞1－a＞0，即1－a＜a，则 ＞ ，故
n＞m.
C. n＞m D. n＜m
√
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13. 某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据比例分配的
分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于疏忽，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得
A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品
有 件.
解析：设C产品的数量为x，则A产品的数量为（1 700－x），C产品的样
本量为a，则A产品的样本量为（10＋a），由比例分配的分层随机抽样的
定义知 ＝ ＝ ，解得x＝800.故C产品有800件.
800　
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14. 为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样
法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名
教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）.
（1）若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教
授，求m，n；
解： ∵0＜m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两
所高校中共抽取5名教授，∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教
授，高校C中抽取3名教授，∴ ＝ ＝ ，解得m＝36，n＝108.
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（2）若高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的 ，
求三所高校教授的总人数.
解：∵高校B中抽取的教授人数是高校A和C中抽取的教授总人数的 ，
∴ （m＋n）＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校教授的总人数为m＋n＋72＝180.
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15. 已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别
为 ， ， .
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条
件？写出估计式；
解： 不能，还需要各层占总体的比例，设第1，2，3层占总体的比例
分别为r，s，t（r＋s＋t＝1），那么总体平均数为r ＋s ＋t .
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解：证明：由样本量按比例分配，可知 ＝ ＝ ＝ .变形
得 ＝ ， ＝ ， ＝ .因此，
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .
（2）如果样本量是按比例分配，第1，2，3层的个体数分别为L，M，
N，样本量分别为l，m，n，证明：
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看