9.2.1第一课时　总体取值规律的估计

(共61张PPT)
第一课时　总体取值规律的估计
1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法（数据分析）.
2.掌握用频率分布直方图估计总体（数据分析、数学运算）.
课标要求
　与传统相机比较，在数码相机中，有一种十分实用的功能，这就是直方图显示功能.直方图就是通过在LCD上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具，通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况，在拍摄时能给摄影者带来很大的方便.
情景导入
知识点一　频率分布直方图
01
知识点二　频率分布直方图的应用
02
目录
课时作业
03
知识点一
频率分布直方图
01
PART
问题　（1）请阅读课本第193页到第194页，为了探索一组数据的取值规
律，我们通常要怎样做？
提示：一般先用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.
（2）如果要统计月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的
比例，采用什么表示更直观？
提示：频率分布表或频率分布直方图.
【知识梳理】
绘制频率分布
直方图的步骤
提醒：频率分布直方图的纵轴表示 ，频数分布直方图的纵轴表示频数.
【例1】　为调查某校初二年级男生的身高，随机抽取40名初二男生，实
测身高数据（单位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出频率分布表；
解： 最低身高151 cm，最高身高180 cm，它们的差是180－151＝29，
即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：
分组 频数 频率
[149.5，153.5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合计 40 1
（2）画出频率分布直方图.
解：频率分布直方图如图所示.
【规律方法】
绘制频率分布直方图的注意点
（1）各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1；
（2）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的频率
分布直方图的形状也会不同；
（3）同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个相同容量
的样本，所形成的样本频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方
图有所不同，但它们都可以近似地看作总体的分布.
训练1　从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组（单位：
分）及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，
90），12；[90，100]，8.
（1）列出样本的频率分布表；
解：频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50） 2 0.04 0.004
[50，60） 3 0.06 0.006
[60，70） 10 0.2 0.02
[70，80） 15 0.3 0.03
[80，90） 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00 0.1
（2）画出频率分布直方图；
解：频率分布直方图如图所示.
（3）估计成绩在[70，100]分的学生比例.
解：学生成绩在[70，100]分的频率为0.3＋0.24＋0.16＝0.70＝70
％，所以估计成绩在[70，100]分的学生比例为70％.
知识点二
频率分布直方图的应用
02
PART
【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一
分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所
示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小
组的频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？
解： 频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大
小，因此第二小组的频率为 ＝0.08.
又因为第二小组的频率＝ ，
所以样本量＝ ＝ ＝150.
（2）若次数在110次以上（含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的
达标率是多少？
解： 由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
×100％＝88％.
变式　（1）在本例条件下，求样本中不达标的学生人数是多少；
解： 由例2（1）（2）知达标率为88％，样本量为150，不达标的学
生频率为1－0.88＝0.12.
所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18.
（2）在本例条件下，求跳绳次数在[100，130）内的人数.
解： 跳绳次数在[100，130）内的频率为 ＝0.72.
又因为样本量为150，
所以跳绳次数在[100，130）内的人数为150×0.72＝108.
【规律方法】
频率分布直方图的应用中的计算问题
（1）小长方形的面积＝组距× ＝频率；
（2）各小长方形的面积之和等于1；
（3） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本量，样本量×频率＝
频数.
训练2　（2025·福州月考）某校100名学生期中考试物理成绩（单位：
分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
解： 依题意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）若这100名学生的物理成绩在某些分数段的人数（x）与数学成绩
相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之
外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解：数学成绩在[50，60）之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在
[60，70）之间的人数为100×0.4× ＝20，数学成绩在[70，80）之间的
人数为100×0.3× ＝40，数学成绩在[80，90）之间的人数为100×0.2× ＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
1. 用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是
（　　）
A. 总体容量越大，估计越精确
B. 总体容量越小，估计越精确
C. 样本容量越大，估计越精确
D. 样本容量越小，估计越精确
解析：　用样本的频率分布估计总体的频率分布时，在总体一定时，样
本的容量越大，估计就越精确.
√
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数如表所示：
分组 [10，
20） [20，
30） [30，
40） [40，
50） [50，
60） [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据在[20，60）内的频率为（　　）
A. 0.5 B. 0.24
解析：　因为样本数据在[20，60）内的频数为3＋4＋5＋4＝16，样本容
量为20，所以在[20，60）内的频率为 ＝0.8.
C. 0.6 D. 0.8
√
3. （2025·中山月考）某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取
了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图
所示的频率分布直方图.已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟
的有10人，则n，p的值分别为（　　）
A. 200，0.015
B. 100，0.010
C. 100，0.015
D. 1 000，0.010
√
解析：　利用频率之和为1可得，p×10＝1－（0.018＋0.022＋0.025＋
0.020＋0.005）×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、频数、样本容量
之间的关系可得， ＝0.1，解得n＝100.
4. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重（单位：kg）情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示.已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校准备报考飞行员的总人数为 .
48　
解析：设该校准备报考飞行员的总人数为n，第1小组的频率为a，则有a
＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频
率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝ ，解得n＝48.
课堂小结
1.理清单
（1）频率分布直方图的画法；
（2）频率分布直方图的应用.
2.应体会
图表识别、数据分析.
3.避易错
对频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清.
课时作业
03
PART
1. 对于频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A. 小长方形的高表示取某数的频率
B. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数
C. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比
D. 小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频数与组距的比
解析：　在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频
率，小长方形的高表示该组个体在样本中出现的频率与组距的比.
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2. 从某一总体中抽取一个容量为200的样本，得到分组与频数如下：[10，
15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；[30，35），
46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），15；[50，55），10；
[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是（　　）
A. 0.69 B. 0.46
C. 1 D. 0.92
解析：　由题可知，样本在[35，60]上的频率应为（34＋28＋15＋10＋
5）÷200＝0.46.
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3. 某个容量为1 000的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4，5）内的数据的频数为（　　）
A. 300 B. 30
C. 20 D. 200
解析：　由频率分布直方图知，在区间[4，5）内的数据的频率为1－
（0.05＋0.10＋0.40＋0.15）×1＝0.30，所以在区间[4，5）内的数据的
频数为1 000×0.30＝300.
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4. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b）是其中的一
组，该组的频率为m，在频率分布直方图中，该组的小长方形的高为h，
则｜a－b｜＝（　　）
A. hm B.
C. D. h＋m
解析：　 ＝h，故｜a－b｜＝组距＝ ＝ .
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5. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成
6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），
[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有
学生600名，据此估计该模块测试成绩不低于60分的学生人数为（　　）
A. 588 B. 480
C. 450 D. 120
√
解析：∵模块测试成绩低于60分的学生人数为600×（0.05＋0.15）＝120，∴模块测试成绩不低于60分的学生人数为600－120＝480.
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6. 〔多选〕统计某校1 000名学生的某次数学同步练习成绩（满分：150
分），根据成绩依次分为六组，[90，100），[100，110），[110，
120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如图所示的频率
分布直方图，则下列说法正确的为（　　）
A. m＝0.031
B. m＝0.31
C. 100分以下的人数为60
D. 成绩在区间[120，140）的人数为470
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解析： 　由题得（0.006＋0.016＋0.02＋m＋0.016＋0.011）×10＝
1，解得m＝0.031，A正确，B错误；100分以下的人数为1 000×
（0.006×10）＝60，C正确；成绩在区间[120，140）的人数为1 000×
（0.031＋0.016）×10＝470，D正确.故选A、C、D.
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7. 〔多选〕（2025·周口月考）为征求个人所得税法修改建议，某机构调
查了10 000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率
分布直方图.
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下列说法正确的是（　　）
A. 月收入低于5 000元的职工有5 500名
B. 如果个税起征点调整至5 000元，估计有50％的当地职工会被征税
C. 月收入高于或等于7 000元的职工约为当地职工的5％
D. 根据此次调查，为使60％以上的职工不用缴纳个税，起征点应位于[5
000，6 000）内
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解析： 　月收入低于5 000元的职工有10 000×（0.000 1＋0.000 2＋
0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正确；如果个税起征点调整至5 000
元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1 000×100％＝45％，可估计
有45％的当地职工会被征税，B不正确；月收入高于或等于7 000元的职工
约占0.000 05×1 000×100％＝5％，C正确；月收入低于5 000元的频率为
0.55，低于6 000元的频率为0.8，D正确.
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8. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方
形面积是其余4个小长方形面积之和的 ，且中间一组的频数为10，则样本
容量是 .
解析：设中间小长方形的面积为x，样本容量为n.由题意得x＝ （1－
x），解得x＝ ，即中间一组的频率为 ，∴ ＝ ，解得n＝40.
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9. 一个频率分布表（样本量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中
数据在[20，60]上的频率为0.8，则估计样本在[40，60]内的频数
为 .
解析：由题意知样本中数据在[20，60]上的频数为30×0.8＝24，所以估
计样本在[40，60]内的频数为24－4－5＝15.
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10. 某市某月30天的空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入
颗粒物）：
61 76 70 56 81 91 92 91 75 81
88 67 101 103 95 91 77 86 81 83
82 82 64 79 86 85 75 71 49 45
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（1）完成频率分布表；
分组 频数 频率
[41，51）
[51，61）
[61，71）
[71，81）
[81，91）
[91，101）
[101，111]
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解：频率分布表如表所示.
分组 频数 频率
[41，51） 2
[51，61） 1
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101） 5
[101，111] 2
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（2）作出频率分布直方图；
解：作出频率分布直方图，
如图所示.
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（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～
100之间时，空气质量为良；在101～150之间时，空气质量为轻度污染；
在151～200之间时，空气质量为中度污染.请你依据所给数据和上述标
准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
解：答对下述两条中的一条即可.
一：该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的 ，
有26天处于良的水平，占当月天数的 ，处于优或良的天数共有28天，占
当月天数的 ，说明该市空气质量基本良好.
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二：轻度污染有2天，占当月天数的 ，污染指数在80以上的接近轻度污
染的天数有15天，加上处于轻度污染的天数，共有17天，占当月天数的
，超过50％，说明该市空气质量有待进一步改善.
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11. 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数
据如下所示.以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，
35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）
3　7　17　16　14　14　13　10　27　25　25
24　23　22　20　38　35　34　33　30
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解析：　由统计的数据知落在区间[0，5）与[5，10）上的频数相等，故
频率、 也分别相等.比较四个选项知A正确.
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12. 〔多选〕供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计
后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），
[40，50]五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这1 000位居
民，下列说法正确的是（　　）
A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B. 12月份人均用电量在[20，30）内的有300人
C. 12月份人均用电量不低于20度的有500人
D. 在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助
收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为2
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解析： 　根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组
是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正确；12月份人均用电
量在[20，30）内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用
电量不低于20度的频率是（0.03＋0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5
＝500（人），C正确；用电量在[30，40）内的有0.01×10×1 000＝100
（人），所以在这1 000位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取10位
居民协助收费，抽到的居民用电量在[30，40）一组的人数为 ×10＝
1，D错误.
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13. 某校高一年级1 000名学生在一次考试中成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，现用比例分配的分层随机抽样方法从成绩在[40，70）内的学生中共抽取80名学生，则抽取成绩在[50，60）内的学生人数为 .
30　
解析：从频率分布直方图可以看出成绩在[40，50），[50，60），[60，
70）内的频率之比为0.05∶0.15∶0.20＝1∶3∶4，所以抽取成绩在[50，
60）内的学生人数为80× ＝30.
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14. 从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩（均为整数，
单位：分）的分布，将样本分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，
从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数
为6.
（1）求样本容量；
解：小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右各小组的频率之比为2∶3∶6∶4∶1，
∴最左边的一组的频率为 ＝ ，∴样本容量＝ ＝ ＝48.
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（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
解：105.5～120.5这一组的频率为
＝ ，
∴频数为48× ＝18.
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（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率.
解：成绩大于120分的频率为
＝ ，
∴考试成绩的优秀率约为 ×100％＝31.25％.
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15. 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.得到如下不完整的频率分布表和频数分布直方图.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合计 50
1
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（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
解：如下表所示.
分组 频数 频率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合计 50 1.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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12
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15
（2）补全频数分布直方图；
解：如图所示.
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（3）若成绩在[75.5，85.5）内的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生
约为多少人？
解： 成绩在[75.5，80.5）内的学生人数约占成绩在[70.5，80.5）
内的学生人数的 ，
因为成绩在[70.5，80.5）内的频率为0.2，所以成绩在[75.5，80.5）内
的频率约为0.1.
成绩在[80.5，85.5）内的学生人数约占成绩在[80.5，90.5）内的学生人
数的 ，
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因为成绩在[80.5，90.5）内的频率为0.32，所以成绩在[80.5，85.5）内
的频率约为0.16，
所以成绩在[75.5，85.5）内的频率约为0.26.
由于有900名学生参加了这次竞赛，故该校获得二等奖的学生约为
0.26×900＝234（人）.
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THANKS
演示完毕 感谢观看