9.2.2　总体百分位数的估计

(共57张PPT)
9.2.2　总体百分位数的估计
1.结合实例，理解百分位数的统计含义（数学抽象）.
2.能用样本估计总体百分位数（数据分析、数学运算）.
课标要求
　　某省学业水平考试结果揭晓，根据规定，0.8％的同学需要补考，如何确定需要补考的分数线，就是我们本节将要学习的内容.
情景导入
知识点一　百分位数的定义
01
知识点二　由样本数据求百分位数
02
知识点三　由统计图表估计百分位数
03
目录
课时作业
04
知识点一
百分位数的定义
01
PART
问题　请阅读课本第202页到第203页，思考问题2中居民用户月均用水量
标准转化为数学问题具体指什么？你能制定一个具体方案吗？
提示：寻找一个数a，使全市居民用户月均用水量中不超过a的占80％，
大于a的占20％.
方案如下：
把得到的100个样本数据按从小到大排序，得到第80个数据和第81个数据
分别为13.6和13.8.可以发现，区间[13.6，13.8）内的任意一个数，都能
把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数
＝13.7.
【知识梳理】
1. 第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少
有 的数据 这个值，且至少有（100－p）％的数据
大于或等于这个值.
2. 四分位数
25％，50％，75％这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等
份，因此称为 ，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下
四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
　　提醒：中位数是第50百分位数.
p％　
小于或等于　
四分位数　
【例1】　〔多选〕下列表述正确的是（　　）
A. 第p百分位数可以有单位
B. 一个总体的四分位数有4个
C. 样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
D. 班主任老师说“90％的同学能考取本科院校”，这里的90％是第90百
分位数
解析： 　一个总体的25％分位数，50％分位数，75％分位数是总体的四
分位数，有3个，故B错误；90％是指能够考取本科院校的同学与同学总数
的百分比，故D错误；A、C正确.
√
√
【规律方法】
分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.
百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.
训练1　（1）15％分位数的含义是（　B　）
A. 总体中任何一个数小于它的可能性是15％
B. 总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15％
C. 总体中任何一个数大于它的可能性是15％
D. 总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15％
解析： 根据第p百分位数的定义可知B正确.
B
解析： 根据百分位数的概念可知，将这2 026个互不相同的实数从小
到大排列后，其上四分位数即为第75百分位数，故a＝c，由于这2 026个
互不相同的实数最中间两个数为第1 013和第1 014个数，故中位数b为这两
个数的平均数，又第50百分位数也为第1 013和第1 014个数的平均数，故b
等于第50百分位数，而第50百分位数小于第75百分位数，故b＜a＝c.
（2）已知2 026个互不相同的实数，记其上四分位数为a，中位数为b，第
75百分位数为c，则（　C　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. b＜a＝c D. a＝c＜b
C
知识点二
由样本数据求百分位数
02
PART
【知识梳理】
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按 排列原始数据；
第2步，计算i＝ ；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第
项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的
.
从小到大　
n×p％　
j　
平
均数　
【例2】　（链接教材P203例2、P204例3）从某珍珠公司生产的产品中，
任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
（1）分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
解： 将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，
8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25％＝3，12×75％＝9，12×95％＝11.4，
则第25百分位数是 ＝8.15，第75百分位数是 ＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
（2）请你找出珍珠质量较小的前15％的珍珠质量.
解： 因为共有12个数据，所以12×15％＝1.8，则第15百分位数是第
2个数据为7.9.即产品质量较小的前15％的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g.
【规律方法】
总体百分位数估计需要注意的两个问题
（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是
关键；
（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体
百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
训练2　（1）某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其种植了25
亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：421，399，445，359，415，
443，367，454，368，375，392，400，423，405，412，427，414，
423，430，388，430，357，434，445，451，则估计该品种小麦亩产的第
80百分位数为 ，第95百分位数为 ；
解析： 将25个样本数据按从小到大排序，可得
357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，
415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454.
由80％×25＝20，95％×25＝23.75，可知样本数据的第80百分位数为
438.5，第95百分位数为第24项数据，为451.
438.5　
451　
（2）已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，m，
40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位
数、第50百分位数都分别对应相等，则 ＝ 　 　.
解析： 因为30％×6＝1.8，50％×6＝3，甲组：第30百分位数为
30，第50百分位数为 ，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为
＝ ，由题意知n＝30， ＝ ，解得m＝40，所以 ＝ ＝ .
　
03
PART
知识点三
由统计图表估计百分位数
【例3】　我国是一个严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府
为了节约生活用水，计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个
居民用水量标准m，使得86％的居民
生活用水不超过这个标准.在本市居民
中随机抽取了100户家庭，统计其某年
的月均用水量（单位：吨），通过数
据分析得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a，m的值；
解： 由频率分布直方图得（0.16＋0.30＋0.40＋0.50＋0.30＋0.16
＋a＋a＋a）×0.5＝1，解得a＝0.06.
由频率分布直方图得月均用水量在[0，3）内的频率为1－（0.16＋0.06＋
0.06）×0.5＝0.86.
∵计划在本市实行居民生活用水定额管理，即确定一个居民用水量标准
m，使得86％的居民生活用水不超过这个标准.
∴m≈3.
（2）如果我们称m为这组数据的86％分位数，那么这组数据的50％分位数是多少？
解：由频率分布直方图知，数据在[0，2）内的频率为（0.06＋0.16＋0.30＋0.40）×0.5＝0.46，在[2，2.5）内的频率为0.50×0.5＝0.25，
∴这组数据的50％分位数是2＋ ×0.5＝2.08（吨）.
变式　根据本例中的频率分布直方图计算月均用水量的20％分位数.
解：由例3的频率分布直方图可知，月均用水量在[0，1）内的频率为
（0.06＋0.16）×0.5＝0.11，在[1，1.5）内的频率为0.30×0.5＝0.15.
所以月均用水量的20％分位数应在[1，1.5）内，设月均用水量的20％分
位数为x，则0.11＋（x－1）×0.30＝0.20，解得x＝1.3.
所以月均用水量的20％分位数为1.3（吨）.
【规律方法】
由频率分布直方图求百分位数的思路
（1）确定第p百分位数所在的区间[a，b）；
（2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa％，fb％，则第p
百分位数为a＋ ×（b－a）.
训练3　为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？
解：由题意知在[80，100）上的频率为0.4，在[100，110）上的频率为
0.3，在[110，120）上的频率为0.2，可知第50百分位数一定落在区间
[100，110）上，
法一　则100＋10× ＝100＋ ≈103.3；
第75百分位数一定落在区间[110，120）上，
则110＋10× ＝110＋ ＝112.5.
法二　设第50百分位数为m，第75百分位数为n，
则0.4＋（m－100）×0.03＝0.5，解得m≈103.3；
0.7＋（n－110）×0.02＝0.75，解得n＝112.5.
综上可知，第50百分位数和第70百分位数的估计值分别为103.3 cm，112.5
cm.
1. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，
79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位
数是（　　）
A. 90 B. 90.5
C. 91 D. 91.5
解析：　把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，
81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80％＝12，所以这15人
成绩的第80百分位数是 ＝90.5.
√
2. 〔多选〕已知100个数据的75％分位数是9.3，则下列说法正确的是
（　　）
A. 这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3
B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均
数
D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平
均数
解析： 　通过定义知A正确；因为100×75％＝75为整数，所以第75个
数据和第76个数据的平均数为75％分位数，是9.3，则C正确.
√
√
3. 一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百
分位数为 .
　
解析：样本数据低于10的频率为（0.08＋0.02）×4＝0.40，样本数据低
于14的频率为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在
[10，14）内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋ ×4＝ .
4. 如图是某市2025年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，
这7天的日最高气温的10％分位数为 ，日最低气温的80％分位数
为 .
24 ℃　
16 ℃　
解析：由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，
24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10％＝0.7，不是整
数，所以这7天日最高气温的10％分位数是第1个数据，为24 ℃.把日最低
气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个
数据，所以7×80％＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80％分位
数是第6个数据，为16 ℃.
课堂小结
1.理清单
（1）百分位数的定义；
（2）由样本数据求百分位数；
（3）由统计图表估计百分位数.
2.应体会
由统计图表求百分位数时要注意方程思想的应用.
3.避易错
求第p百分位数时，应先将数据从小到大排列.
课时作业
04
PART
1. 数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30％分位数为
（　　）
A. 8.4 B. 8.5
C. 8.6 D. 8.3
解析：　因为8×30％＝2.4，故30％分位数是由小到大排列后的第三项
数据8.4.
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2. 高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单位：
分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有
（　　）
A. 200 B. 220
C. 240 D. 260
解析：　由1 000×80％＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以
大于或等于75分的学生至少有200人.故选A.
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3. 按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，
70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m＝
（　　）
A. 40 B. 45
C. 48 D. 62
解析：　因为9×25％＝2.25，所以第一四分位数为25，因为9×75％＝
6.75，所以第三四分位为m，则25＋m＝73，所以m＝48.
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4. 某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的
有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1
人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（　　）
A. 82.5 B. 85
C. 90 D. 92.5
解析：　根据题意，20×70％＝14，这个学习小组成员该次数学测试成
绩的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为 ＝92.5.
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5. 已知按从小到大的顺序排列的一组数据：3，6，a，b，12，若其60％
分位数为8，则下列情况可能的是（　　）
A. a＝7，b＝9 B. a＝7，b＝10
C. a＝8，b＝9 D. a＝8，b＝10
解析：　∵5×60％＝3，∴60％分位数为第3项和第4项数据的平均数，
∴ ＝8，∴a＋b＝16.只有A选项满足此条件.
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6. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，
将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），
[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，
如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3
∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数为（　　）
A. 16 B. 16.5
C. 17 D. 17.4
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解析：　设成绩的第70百分位数为x，因为 ＝0.55，
＝0.85，所以x∈[16，17），所以0.55＋（x－16）× ＝0.70，
解得x＝16.5.
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7. 〔多选〕某校高二（13）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图
所示，则下列说法正确的是（　　）
A. 没有人的成绩在30～40分这组内
B. 第50百分位数位于60～70分这组内
C. 第25百分位数位于40～50分这组内
D. 第75百分位数位于70～80分这组内
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解析：由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×50％＝20，取第20，21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×25％＝10，取第10，11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×75％＝30，取第30，31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选A、B、C.
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8. 在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李
成绩的百分位数为75，则他们两人中成绩较好的是 .
解析：因为小李成绩的百分位数为75，所以约有75名学生的成绩比小李
低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小
李成绩较好.
小李　
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9. 已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18
个数据是7.8，则第19个数据是 .
解析：由于30×60％＝18，设第19个数据为x，则 ＝8.2，解得x＝
8.6，即第19个数据是8.6.
8.6　
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10. （2025·宁波月考）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男
女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，
记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，
90]，并整理得到频率分布直方图：
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
解：根据频率分布直方图可知，样本
中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）
×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160.
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（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间
[40，50）内的人数；
解：根据题意，样本中分数不小于50
的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10
＝0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100－
100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400× ＝20.
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（3）根据该大学规定，把15％的学生划定为不及格，利用（2）中的数
据，确定本次测试的及格分数线.
解：由（2）可知，分数小于50的频率为 ＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1
＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，
60）内，由50＋10× ＝55，则本次考试的及格分数线为55分.
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11. 已知一组数据按从小到大的顺序排列：11，12，15，x，17，y，22，
26，经过计算，该组数据的50％分位数是16，75％分位数是20，则x＋y＝
（　　）
A. 48 B. 38
解析：　因为50％×8＝4，所以50％分位数是 ＝16，解得x＝15.因
为75％×8＝6，所以75％分位数为 ＝20，解得y＝18.所以x＋y＝15
＋18＝33.
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C. 36 D. 33
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12. 〔多选〕甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　）
A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩
的平均数
B. 甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C. 甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D. 甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
√
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解析： 　由题图可得， ＝ ＝6， ＝ ＝6，A项
错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是 ＝7.5，乙的成绩的第80
百分位数是 ＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙
的成绩的极差也为4，D项正确.
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13. 某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，
8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则
整数m（1≤m≤10）的值可以是
（写出一个满足条件的值即可）.
解析：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为
6，7，7，8，8，9，10，因为7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个
数，即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m的第25百分位数为7，而
8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m
（1≤m≤10）的值可以是7或8或9或10.
7（填7，8，9，10中任意一个均
可）　
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14. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民
节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过
x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现通过简单随机抽样获得
了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照[0，4），
[4，8），…，[16，20]分成5组，制
成了如图所示的频率分布直方图.
（1）设该市共有20万居民用户，
试估计全市居民用户月均用水量
不高于12（t）的用户数；
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解：由频率分布直方图可得（a＋0.06＋0.11＋a＋0.02）×4＝1，解得a＝0.03.
居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为（0.03＋0.06＋0.11）×4＝0.80，所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12（t）的用户数为20×0.80＝16（万）.
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（2）若该市政府希望使85％的居民用户月均用水量不超过标准x（t），
试估计x的值（精确到0.01）；
解：由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过12（t）的频率为0.80.
月均用水量不超过16（t）的频率为0.92.则85％的居民用户月均用水量不超过的标准x∈[12，16），故0.80＋0.03（x－12）＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67.
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（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：
级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t）
第一阶梯 x≤14 1.4
第二阶梯 14＜x≤20 2.1
第三阶梯 x＞20 2.8
小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量.
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解：因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋（20－14）×2.1＝32.2.所以
小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费，未达到第三阶梯收费.
设小明家上个月的用水量为m（t），由28＝14×1.4＋（m－14）×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18（t）.
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THANKS
演示完毕 感谢观看