9.2.3　总体集中趋势的估计

(共59张PPT)
9.2.3　总体集中趋势的估计
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）（数据分析、数学运算）.
2.理解集中趋势参数的统计含义（数学运算、数学建模）.
课标要求
　　在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势.
情景导入
知识点一　众数、中位数、平均数
01
知识点二　总体集中趋势的估计
02
知识点三　利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
03
目录
课时作业
04
知识点一
众数、中位数、平均数
01
PART
问题1　现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，
对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10
乙：4，6，6，6，8，9，12，13
丙：3，3，4，7，9，10，11，12
三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说
明为什么吗？
提示：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：
众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.
【知识梳理】
1. 众数：一组数据中出现 最多的数.
2. 中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在
位置的数（或中间两个数的 ）叫做这组数据的中位数.
3. 平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ＝
叫做这n个数的平均数.
次数　
中
间　
平均数　
（x1＋x2＋…＋
xn）　
　　提醒：平均数、中位数、众数之间的区别：
（1）一组数据中的平均数、中位数都是唯一的；
（2）众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中
的数；
（3）众数可以有一个，也可以有多个，也可以没有.如果在一组数据中有
两个或两个以上的数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都
多，那么这几个数据都是这组数据的众数.
【例1】　〔多选〕PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法正确的是（　　）
A. 这10天中PM2.5日均值的众数为33
B. 这10天中PM2.5日均值的中位数是32
C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D. 这10天中PM2.5日均值前4天的平均数大于后4天的平均数
√
√
解析： 　由题中折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数
为 ＝32，平均数为 ×（36＋26＋17＋23＋33＋128＋42＋31＋30＋
33）＝39.9，中位数小于平均数，故A、B正确，C错误；前4天的平均数
为 ＝25.5，后4天的平均数为 ＝34，故D错误.
【规律方法】
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小
到大（或从大到小）的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数
而定；众数是看出现次数最多的数.
训练1　〔多选〕某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每
个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：
63　38　25　42　56　48　53　39　28　47
45　52　59　48　41　62　48　50　52　27
则这组数据的（　　）
A. 众数是48 B. 中位数是48
C. 平均数是46 D. 5％分位数是25
√
√
解析： 　这组数据中48出现了3次，出现次数最多，因此众数是48，A
正确；从小到大排列这20个数据为25，27，28，38，39，41，42，45，
47，48，48，48，50，52，52，53，56，59，62，63，第10位数和第11位
数均为48，两者的平均数也是48，因此中位数是48，B正确；这组数据的
平均数是（63＋38＋25＋42＋56＋48＋53＋39＋28＋47＋45＋52＋59＋48
＋41＋62＋48＋50＋52＋27）× ＝46.15，故C错误；20×5％＝1是整
数，5％分位数应取从小到大第1位与第2位的平均值，即25与27的平均值
26，D错误.故选A、B.
知识点二
总体集中趋势的估计
02
PART
问题2　什么样的问题可以用平均数描述？什么样的问题可以用中位数描
述？什么样的问题可以用众数描述？
提示：一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋
势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性
别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.
【例2】　（链接教材P206 例5）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行
晨练，两群市民的年龄（单位：岁）如下：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计
量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
解： 甲群市民年龄的平均数为 ＝15（岁），
中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，
因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计
量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：乙群市民年龄的平均数为 ＝15（岁），
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，
所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性
较差.
【规律方法】
众数、中位数、平均数的意义
（1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，
其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样
本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数
据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大；
（2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，
当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
训练2　据了解，某公司的33名职工月工资（单位：元）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理
人数 1 1 2 1
工资 11 000 10 000 9 000 8 000
职务 经理 管理员 职员
人数 5 3 20
工资 6 500 5 500 4 000
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数（精确到元）；
解： 平均数是 ＝4 000＋ （7 000＋6 000＋5 000×2＋4 000＋
2 500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋1 333＝5 333（元）.
中位数是4 000元，众数是4 000元.
（2）假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少（精确到元）？
解： 平均数是 ＝4 000＋ （26 000＋16 000＋5 000×2＋4 000＋2
500×5＋1 500×3＋0×20）≈4 000＋2 212＝6 212（元）.
中位数是4 000元，众数是4 000元.
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题
谈一谈你的看法.
解：在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能准确反映这个公司员工的工资水平.
03
PART
知识点三
利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
问题3　我们知道平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小
关系和数据分布的形态有关.从下面的三幅图中，你能发现平均数和中位
数的大小存在什么关系吗？
提示：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状
是对称的（如图1），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方
图在右边“拖尾”（如图2），那么平均数大于中位数；如果直方图在左
边“拖尾”（如图3），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相
比，平均数总是在“长尾巴”那边.
【例3】　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成
绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后，画
出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n（结果保留一位小
数）；
解：（1）众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以
众数m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4＜0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7＞0.5，所以中位数n＝70＋
≈73.3.
解：众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以
众数m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4＜0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7＞0.5，所以中位数n＝70＋
≈73.3.
解：依题意，60及以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为
（0.015＋0.03＋0.025＋0.005）×10＝0.75，所以估计这次考试的物理
成绩的及格率是75％.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋
75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试的物理成绩的平均
分是71分.
（2）估计这次考试的物理成绩的及格率（60分及以上为及格）和平均分.
【规律方法】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
（1）众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数；
（2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个
面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数；
（3）平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方
图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
训练3　〔多选〕（2025·济宁月考）随着生活水平的不断提高，我国居
民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从
某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到频率分布直方图
（如图），其中右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3.则下列说法正确
的是（　　）
A. 身高在[130，140）范围内的频率为0.18
B. 身高的众数的估计值为115 cm
C. 身高的中位数的估计值为125 cm
D. 身高的平均数的估计值为121.8 cm
√
√
√
解析：∵前三组的频率分别为0.04，0.08，0.34，∴后三组的频率和为1－（0.04＋0.08＋0.34）＝0.54.∵右侧三组小长方形面积满足2S2＝S1＋S3，设[130，140）的频率为x，∴3x＝0.54，可得x＝0.18，而[140，150]的频率为0.06，则[120，130）的频率为0.3，A正确；由直方图知：频率最高的区间为[110，120），∴身高的众数的估计值为115 cm，B正确；设中位数为a，∵前三组的频率和为0.46，第四组的频率为0.3，∴中位数a在区间[120，130）内，由0.46＋（a－120）×0.03＝0.5得a＝120＋ ≈121.3 cm，C错误；由题意：身高的平均数为95×0.04＋105×0.08＋115×0.34＋125×0.3＋135×0.18＋145×0.06＝121.8 cm，D正确.故选A、B、D.
1. 有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，
小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需
要知道13名同学成绩的（　　）
A. 平均数 B. 众数
C. 中位数 D. 极差
解析：　把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决
赛，即最中间的一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排
列时，最中间一个数即是中位数.故选C.
√
2. 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分
的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均
数、众数、中位数分别是（　　）
A. 85，85，85 B. 87，85，86
C. 87，85，85 D. 87，85，90
解析：　从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，
90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.故选C.
√
3. 〔多选〕已知一组数据为－2，6，8，x，12，且这组数据的众数为6，
那么下列说法正确的是（　　）
A. 数据的中位数是6 B. 数据的平均数是6
C. x＝6 D. x＝8
解析： 　众数是指出现次数最多的数据，所以x＝6，将这组数据按从
小到大的顺序排列：－2，6，6，8，12，中位数是指处于中间位置的数，
即为6，平均数为 ＝6.故选A、B、C.
√
√
√
4. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩（单位：分）进行
整理后分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右
的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，
0.05.求：
（1）高一参赛学生成绩的众数；
解： 用频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标作为众数的近
似值，得成绩的众数为65分.
（2）高一参赛学生成绩的中位数.
解： ∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，且
0.3＋0.4＞0.5，∴可设第二个小矩形底边的一部分长为x，由0.3＋
x×0.04＝0.5，解得x＝5，∴成绩的中位数为60＋5＝65（分）.
课堂小结
1.理清单
（1）众数、中位数、平均数；
（2）总体集中趋势的估计；
（3）利用频率分布直方图估计总体的集中趋势.
2.应体会
利用频率分布直方图估计总体的集中趋势要注意数形结合思想的应用.
3.避易错
求中位数时要先对数据进行排序.
课时作业
04
PART
1. 某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如表：
鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
日销量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（　　）
A. 平均数 B. 众数
解析：　鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号
为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数.
C. 中位数 D. 极差
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√
2. 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－
3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组
数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝
1.故选A.
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3. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记
录如表：
等待时间 [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25]
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝（　　）
A. 6.5 B. 7.5
解析：　由题意得， ＝ ×（2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋
22.5×1）＝9.5.
√
C. 8.5 D. 9.5
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4. 从某中学高三年级甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取
得的成绩（满分：100分）如下：
甲：79　78　80　x　85　92　96
乙：72　81　81　y　91　91　96
其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成绩的中位数都是85，则x＋y＝
（　　）
A. 152 B. 168
C. 190 D. 170
解析：　由数据知，乙班学生成绩的中位数是y＝85.又甲班学生成绩的
平均分为85，即79＋78＋80＋x＋85＋92＋96＝85×7，解得x＝85，所以
x＋y＝170.故选D.
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5. 如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方
图，记由该直方图得到的数学考试成绩的
众数、中位数和平均数分别为a，b，c，
则（　　）
A. b＞c＞a B. a＞b＞c
C. ＞b D. ＞c
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解析：　由频率分布直方图可知：众数a＝ ＝75；中位数应落在
[70，80）内，则有0.004×10＋0.018×10＋0.040×（b－70）＝0.5，解
得b＝77；平均数c＝0.004×10× ＋0.018×10× ＋
0.040×10× ＋0.032×10× ＋0.006×10× ＝2.2＋11.7
＋30＋27.2＋5.7＝76.8，所以b＞c＞a.故选A.
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6. 〔多选〕小华所在的班级共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身
高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，则
下列说法正确的是（　　）
A. 1.65米是该班学生身高的平均水平
B. 班上比小华高的学生人数不会超过25
C. 这组身高数据的中位数不一定是1.65米
D. 这组身高数据的众数不一定是1.65米
解析：　由平均数所反映的意义知A选项正确；由中位数与平均数的
关系确定C选项正确；由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数
受一组数据中的极端值的影响，故B选项错误.故选A、C、D.
√
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7. 〔多选〕（2025·临沂月考）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（　　）
A. 甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数
B. 甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数
C. 甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数
D. 甲运动员测试成绩的第90百分位数等于乙运动员测试成绩的第90百分
位数
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解析： 　甲运动员测试成绩：3次7环，8次8环，5次9环，4次10环.所以
中位数为8，众数为8，平均数为 ＝8.5，第90百分位数为
10.乙运动员测试成绩：4次7环，7次8环，4次9环，5次10环.所以中位数
为8，众数为8，平均数为 ＝8.5，第90百分位数为10.故
选A、D.
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8. （2025·新乡月考）一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该
数据的众数是中位数的 倍，则该数据的平均数为 .
解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷ ＝3，把这组数
据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则 ＝3，解得x＝4，所以这组
数据的平均数为 ＝ ×（1＋2＋2＋4＋5＋10）＝4.
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9. 某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如
下：88，89，89，93，92，9●，92，91，94.计分员在去掉一个最高分和
一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数的个位
数字无法看清.若计分员计算无误，则该数应该是 .
解析：设该数的个位数字为x，则这个数为90＋x，由题意，知最低分为
88.若90＋x为最高分，则平均分为 ≈91.4≠91，故最
高分为94，则去掉最高分94和最低分88，平均分为
＝91，解得x＝1，故该数为91.
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10. 某校高一年级举行了一次数学竞赛，为了解本次竞赛学生的成绩情
况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本
（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（如图所示），已知得
分在[50，60），[90，100]内的频数分别为8，2.
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，
y的值；
解：由题意可知，样本容量n＝ ＝50，
y＝ ＝0.004，x＝0.1－0.016－0.040－0.010－0.004＝0.030.
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（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.
解：由题中频率分布直方图可知，本次
竞赛学生成绩的众数约为75.
设中位数为m，∵（0.016＋0.030）×10＜
0.5＜（0.016＋0.030＋0.040）×10，则
m∈[70，80），
∴（0.016＋0.030）×10＋（m－70）×0.040＝0.5，
解得m＝71，即本次竞赛学生成绩的中位数约为71.
本次竞赛学生成绩的平均数约为55×0.16＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.1
＋95×0.04＝70.6.
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11. 已知数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2025年的年收入，设这200
个数据的平均数为x，中位数为y，众数为z，如果再加上该市首富的年收
入x201，对于这201个数据，下列说法中正确的是（　　）
A. x一定变大，y一定变大，z可能不变
B. x可能不变，y可能不变，z一定不变
C. x可能不变，y一定变大，z可能不变
D. x一定变大，y可能不变，z一定不变
√
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解析：　因为数据x1，x2，…，x200是某市普通职工2025年的年收
入，而x201为该市首富的年收入，则x201会远大于x1，x2，…，x200，故
年收入的平均数x一定变大，但中位数y可能不变，也可能稍微变大，
众数z一定不变.
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12. “小康县”的经济评价标准为：①年人均收入不低于7 000元；②年人
均食品支出（单位：元）不高于年人均收入的35％.某县有40万人，年人
均收入如表所示，年人均食品支出如图所示，则该县（　　）
年人均收入/元 0 2 000 4 000 6 000
人数/万人 6 3 5 5
年人均收入/元 8 000 10 000 12 000 16 000
人数/万人 6 7 5 3
A. 是小康县
B. 达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C. 达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D. 两个标准都未达到，不是小康县
√
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解析：　由图表可知年人均收入为（2 000×3＋4 000×5＋6 000×5＋8
000×6＋10 000×7＋12 000×5＋16 000×3）÷40＝7 050（元），达到了
标准①；年人均食品支出为（1 400×3＋2 000×5＋2 400×13＋3 000×10
＋3 600×9）÷40＝2 695（元），则年人均食品支出占年人均收入的
×100％≈38.2％＞35％，未达到标准②，所以该县不是小康县.
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13. （2025·绍兴月考）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据
分别是4，4，7，4，8，10，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2
倍，则丢失数据的所有可能值组成的集合为 .
解析：设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为 ，众数是4，因为
这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若x≤4，则中位数为4，此
时 ＋4＝2×4，解得x＝－9；若4＜x＜7，则中位数为x，此时 ＋
4＝2x，解得x＝5；若x≥7，则中位数为7，此时 ＋4＝2×7，解得x
＝33.综上可知，丢失数据的所有可能的取值为－9，5，33，其构成的集
合为{－9，5，33}.
{－9，5，33}　
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14. 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示.
（1）请填写表格：
平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲
乙
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解：由题图可知，甲打靶的成绩为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.乙打靶的成绩为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
甲的平均数是 ×（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7，中位数是 ＝7.5，命中9环及9环以上的次数是3.
乙的平均数是 ×（9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋7）＝7，中位数
是 ＝7，命中9环及9环以上的次数是1.
填表如下：
平均数 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 7.5 3
乙 7 7 1
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（2）从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？
③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？
解：①由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲的成绩较好.
②由（1）知，甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲的成绩较好.
③从题中的折线图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙在7环上下波动，故甲更有潜力.
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演示完毕 感谢观看