章末整合提升 体系构建 素养提升

(共34张PPT)
章末整合提升 体系构建 素养提升
体系构建
素养提升
一、随机抽样
抽样方法的选取原则：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签
法；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体
差异较显著时，可采用分层随机抽样，但是要明确是否按比例分配.
【例1】　（1）某学校在校学生有3 000人，为了增强学生的体质，学校举
行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、
高三年级参加跑步的人数分别为a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，全校
参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次比赛的满意程度，按比
例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本进行调查，
则应从高二年级参加跑步的学生中抽取（　D　）
A. 15人 B. 30人
C. 45人 D. 60人
D
解析： 由题意，可知全校参加跑步的人数为3 000× ＝1 800，所以a
＋b＋c＝1 800.因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以b＝1 800× ＝600.
因为按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，
所以应从高二年级参加跑步的学生中抽取的人数为600× ＝60.
（2）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶中的添加剂是否超标，现从
800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛
奶按000，001，…，799进行编号.若从随机数表第7行第8列的数开始向右
读，则最先抽取的5袋牛奶的编号为 .（下
面摘取了某随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
331，572，455，068，047　
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析： 找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的数是
331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是
877，它大于799，故舍去，第五个数是047.
【反思感悟】
抽样方法的比较
简单随机抽样 分层随机抽样
共同点 在抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等
各自特点 从总体中逐个抽取；在抽样中易出现“极端”的样本 将总体分成几层，分层进行抽取；在抽样中，不易出现“极端”的样本
相互联系 分层随机抽样中，在各层抽样时，采用简单随机抽样
适用范围 总体的个体数较少 总体由差异明显的几部分组成
通过比较这两种抽样方法可以看出，在这两种抽样方法中，简单随机抽样
是基础.无论哪种抽样方法，在抽取样本的过程中，都会应用至少一次简
单随机抽样（抽签法或随机数法）.
二、总体取值规律的估计
根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直
方图、频率折线图等对总体情况作出估计.
【例2】　（1）〔多选〕空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，
AQI指数的值越小，表明空气质量越好，AQI指数不超过50，空气质量为
“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于
100，空气质量为“污染”.如图是某市2025年空气质量指数（AQI）的月
折线图.下列关于该市2025年空气质量的叙述中，正确的是（　　）
A. 全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B. 每月都至少有一天空气质量为优
C. 2月，8月，9月和12月均出现污染天气
D. 空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
解析：对于A，根据AQI指数月折线图可知，全年的平均AQI指数都小于100，故全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良，故A正确；对于B，每月中AQI指数的最小值都不超过50，故B正确；对于C，2月，8月，9月和12月的AQI指数的最大值都超过了100，故C正确；对于D，从折线图只能知道，2月AQI指数的最大值最大，不能说明2月的空
气质量为“污染”的天数最多，故D不正确.
√
√
√
（2）（2025·济源月考）某电子商务公司对10 000名网络购物者2025年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.
①求直方图中a的值；
②在这些购物者中，求消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数.
解：①由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
②消费金额在区间[0.3，0.5）内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故
在[0.5，0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5，0.9]
内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
【反思感悟】
1. 绘制频率分布直方图时需注意的两点
（1）制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表
是否正确；
（2）频率分布直方图的纵坐标是 ，而不是频率.
2. 与频率分布直方图计算有关的两个关系式
（1） ×组距＝频率；
（2） ＝频率，此关系式的变形为 ＝样本容量，样本容量×
频率＝频数.
三、总体百分位数的估计
一组数据的第p百分位数是估计该组数据取值规律的依据.用样本数据的第
p百分位数估计总体的第p百分位数可能存在偏差，但样本容量越大，偏差
会越小.另外，百分位数只是研究一组数据取值规律的一个统计量.
【例3】　（1）下表为某市2025年月平均降水量：
月份 1 2 3 4 5 6
月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6
月份 7 8 9 10 11 12
月平均降水量/cm 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
则该市2025年月平均降水量的四分位数分别
为 ， ， ；
5.2　
5.6　
6.1　
解析： 将12个月的月平均降水量的数据由小到大排列得4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，那么①i＝12×0.25＝3，∴第25百分位数为 ＝5.2；②i＝12×0.50＝6，∴第50百分位数为 ＝5.6；③i＝12×0.75＝9，∴第75百分位数为 ＝6.1.
（2）将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为
整数）整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80％分
位数是 .（结果保留两位小数）
124.44　
解析： 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例
为（0.01＋0.015＋0.015＋0.03）×10×100％＝70％，分数在130分以下
的学生所占的比例为（0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5）×10×100
％＝92.5％，因此80％分位数一定位于[120，130）内.因为120＋
×10≈124.44，所以此班的模拟考试成绩的80％分位数约为
124.44.
【反思感悟】
1. 求一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按从小到大排列原始数据；
第2步：计算i＝n×p％；
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数
据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.
2. 由频率分布直方图求第p百分位数的方法
确定要求的第p百分位数所在分组[A，B），由频率分布直方图可知，样
本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，所以第p百分位数＝A＋组距
× .
四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体（考教衔接）
为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中
位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总
体的离散程度.
教材原题　（教材P216习题4题）数据x1，x2，…，xn的方差和标准差分别
为 ，sx，数据y1，y2，…，yn的方差和标准差分别为 ，sy.若y1＝ax1
＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b成立，a，b为常数，证明： ＝
a2 ，sy＝｜a｜sx.
变式1　真题检验　具有线性关系的数据的平均数及方差
〔多选〕（2021·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这
组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，
n），c为非零常数，则（　　）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
√
√
解析： 　设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差
分别为 ，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、
中位数、标准差、极差分别为 ＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C、
D正确，故选C、D.
变式2　真题检验　平均数、方差的判断
〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中
x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
√
√
解析： 　若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数
为 ，1，2，3，4，5，8的平均数为 ，两组数据的平均数不相等，故A
错误；不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数等于
x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，
2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差
大于0，故C错误；由对选项B的分析可知，x2，x3，x4，x5的极差为x5－
x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D
正确.故选B、D.
变式3　统计图表中的平均数、方差的应用
某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这
两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如表
所示.
A型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
B型汽车
出租天数 3 4 5 6 7
车辆数 10 10 15 10 5
（1）试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的
方差的大小关系（只需写出结果）；
解： 由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的
方差较大.
（2）如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需
要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种
车，并说明你的理由.
解： 50辆A型汽车出租天数的平均数为
＝ ＝4.62，
50辆B型汽车出租天数的平均数为
＝ ＝4.8，
方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某
个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应
该购买B型汽车.
方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某
个星期内出租天数的平均数为4.8，平均数相差不大，而B型汽车出租天数
的方差较大，所以应该购买A型汽车.
THANKS
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