6.2.1　向量的加法运算

(共61张PPT)
6.2.1　向量的加法运算
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的概念（数学抽象、直观想象）.
2.理解向量加法的几何意义，掌握平面向量的加法运算及运算律（直观想象、数学运算）.
课标要求
唐僧当年取经的路线是从东土大唐出发，先绕到新疆，再往天竺，若孙悟空单独前往，可以直接飞往西天，两种走法的位移相同吗？如果把位移看成向量，可引入向量的运算，下面我们探究平面向量的运算.
情景导入
知识点一　向量加法的定义及三角形法则
01
知识点二　向量加法的平行四边形法则
02
知识点三　向量加法的运算律
03
目录
提能点　向量加法的实际应用
04
课时作业
05
知识点一
向量加法的定义及三角形法则
01
PART
问题1　如图所示，
小王上午从家（点A）到达了公司（点B），下午从公司（点B）到达了舅舅家（点C）.
（1）分别用向量表示出小王上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
提示： ； ； .
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
提示：位移 可以看成是位移 与 合成的，即 可以看作是 与
的和.
【知识梳理】
1. 向量加法的定义
（1）定义：求两个向量 的运算，叫做向量的加法；
（2）对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
和　
2. 三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作 ＝a， ＝b，则向
量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .这种求向量
和的方法，称为向量加法的 法则.
　　提醒：（1）两向量的和仍是向量；（2）运用向量加法的三角形法则
作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
三角形　
【例1】　如图所示，
（1）a＋b＝ ；
解析： a＋b＝ ＋ ＝c.
（2）c＋d＝ ；
解析： c＋d＝ ＋ ＝f.
（3）a＋b＋d＝ .
解析： a＋b＋d＝ ＋ ＋ ＝ ＝f.
c　
f　
f　
【规律方法】
1. 求向量和的三角形法则
在平面内任取一点，以该点为起点，将两向量平移到首尾相接，从该起点
到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.
2. 推广
多个向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，其和为由第一个向量
的起点指向最后一个向量的终点的向量，即 ＋ ＋…＋ ＝
.
　　提醒：若 ＋ ＋…＋ ＝0，则该图形为封闭图形.
训练1　点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则 ＋ ＋
＝（　　）
A. B.
C. D. 0
√
知识点二
向量加法的平行四边形法则
02
PART
问题2　如图，平行四边形ABCD.
（1）向量 与 是什么关系？
提示： ＝ .
（2）向量 ＋ 与 相等吗？
提示：相等.
【知识梳理】
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作
OACB，则以O为起点的向量 （OC是 OACB的对角线）就是向量
a与b的和.
　　提醒：应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”，且两个向量
不共线.
【例2】　（链接教材P8例1）如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
解：法一（三角形法则）　如图1所示，在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b，则向量 ＝a＋b；再作向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则）　如图2所示，在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则 ＝ ＋ ＝a＋b；再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
【规律方法】
1. 求向量和的平行四边形法则
在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个
向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为起点的对角线所对应的
向量就是这两个向量的和.
2. 三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
适用 条件 两向量共线或不共线均可，特别是一个向量的终点为另一个向量起点的求和 只适用于两向量不共线的情况，特别是两向量起点相同的求和
训练2　（1）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ＋ ＝（　C　）
A. B.
C
解析：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所
示，则 ＋ ＝ ，由 和 的模相等，方向相同，得 ＝ ，即 ＋ ＝ .
C. D.
（2）已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋
｜＝ .
解析： 因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三
角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1　
03
PART
知识点三
向量加法的运算律
问题3　（1）结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则，试探索｜a
＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系；
提示：①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b方向不同，且｜a
＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.
（2）我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足
交换律和结合律呢？你能证明自己的猜想吗？
提示：满足.如图1，作 ＝a， ＝b，以AB，AD为邻边作
ABCD，容易发现 ＝b， ＝a，故 ＝ ＋ ＝a＋b.又
＝ ＋ ＝b＋a，所以a＋b＝b＋a.
如图2，易得（a＋b）＋c＝ ＋
＝ ，且a＋（b＋c）＝ ＋ ＝
，所以（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
【知识梳理】
1. 向量加法的运算律
（1）加法交换律：a＋b＝ ；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝ .
2. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤ ，当且仅当a，b方向相
同时等号成立.
　　提醒：当a，b至少有一个是零向量时等号也成立.
b＋a　
a＋（b＋c）　
｜a｜＋｜b｜　
【例3】　化简：（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝
＋ ＝0.
（3）（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ .
解：（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋ ＝（ ＋ ）＋ ＋
（ ＋ ）＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
【规律方法】
向量加法运算律的应用策略
（1）多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋
b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a
＋c）]＋（b＋e）；
（2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过
向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
训练3　（1）化简： ＋（ ＋ ）＋ ＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析： ＋（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .故
选B.
（2）设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值为 .
解析：由｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，得｜a＋b｜≤8＋12＝20.所
以最大值为20.
B
20　
04
PART
提能点
向量加法的实际应用
【例4】　（链接教材P9例2）在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度
为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进
的方向.
解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min，
｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
变式　若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？
解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 m/min＝ km/h，
则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝ 千米.
【规律方法】
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题；
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量
进行运算，解答向量问题；
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原
问题.
训练4　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B
地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相
对位置.
解：如图所示，设 ， 分别是直升飞机的位移，
则 表示两次位移的合位移，即 ＝ ＋ .
在Rt△ABD中，｜ ｜＝20 km，｜ ｜＝20 km，
则｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝20＋40＝60 km，
在Rt△ACD中，｜ ｜＝ ＝40 km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处.
向量加法三角形法则的推广
在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学队以
4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人在赛场上
能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过
人工智能技术对球场局势进行相应的判断.
在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走
的路线如图1，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢
进一球，这名射手激动地跳起了如图2所示的正多边形舞，跳舞的方式是
从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前
行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，……，最终回到
起点.
成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图3的路线组织传球，又进
了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世
界杯冠军！
1. 当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请
作图说明（假设机器人跳1步为1米）.
提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手的位移为零.
【问题探究】
2. 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？
提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式作图，
则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n
（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝ ，且n≥3，n∈N*.故α
应满足的条件为α＝ ，且n≥3，n∈N*.
【迁移应用】
　甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°
的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2
m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法
求出球的位移向量，并确定此向量模的大小.
解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表
示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为
＋ ＋ ＝ ，故球的最终位移为 ，
依题意知△ABC为正三角形，故｜ ｜＝｜ ｜＝
AC＝2 m.
又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以｜ ｜＝ m.
1. 化简 ＋ ＋ ＝（　　）
A. 0 B. 0
C. D.
解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，故选A.
√
2. 〔多选〕下列等式正确的是（　　）
A. a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b
B. ＋ ＝0
C. ＝ ＋ ＋
D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
解析：　易知A、C正确.B错误，因为 ＋ ＝0；D错误，因为只有
在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，
而其他情况下等式不成立.
√
√
3. 如图所示，在正六边形ABCDEF中， ＋ ＋
＝（　　）
A. 0 B.
C. D.
解析：　由于 ＝ ，故 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
故选D.
√
4. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜＝ ，判断△ABC的形状.
解：以AB，AC为邻边作 ABDC，如图所示.
则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ .
又AB＝AC＝1，且BD＝AC，
∴AB＝BD＝1，
从而△ABD为等腰直角三角形.
因此 ABDC为正方形，
故△ABC为等腰直角三角形.
课堂小结
1.理清单
（1）向量加法的三角形法则及平行四边形法则；
（2）向量三角不等式；
（3）向量加法的运算律；
（4）向量加法的实际应用.
2.应体会
三角形法则和平行四边形法则都可用于求向量的和，体现了数形结合的
思想方法.
3.避易错
当a，b，c没有确定都同向时，｜a＋b＋c｜≠｜a｜＋｜b｜＋｜c｜.
课时作业
05
PART
1. 在四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则向量 ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为在平行四边形ABCD中， ＝ ，所以 ＋ ＝
＋ ＝ .故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则
＋ ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋
＝ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则
向量a＋b表示（　　）
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行（1＋ ）km
解析：　如图，｜a｜＝1 km，｜b｜＝ km，易知tan
α＝ ，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.可
知｜a＋b｜＝2 km.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 〔多选〕设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向量，则
下列结论正确的有（　　）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析： 　由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋
＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所
以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所
以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（　　）
A. ＋ ＝
B. ＋ ＋ ＝
C. ＋ ＋ ＝
D. ＋ ＋ ＝0
√
√
√
解析：由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＝ ，故A正确；由向量加法的三角形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e，则a＋b＋c＋d
＝ .
解析：a＋b＋c＋d＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝e.
e　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 在边长为1的等边三角形ABC中，｜ ＋ ｜＝ ，｜ ＋
｜＝ .
解析：易知｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形
ABDC（图略），则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜× sin 60°＝
2×1× ＝ .
1　
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长
线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，求（在横线上只填一个向
量）：
（1） ＋ ＝ ；
（1）易知 ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ .
解析：由已知可得四边形DFCB为平行四边形.
　
（2） ＋ ＋ ＝ .
　
解析： （2） ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点，化简下列各式：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 若点O是△ABC的外心，且 ＋ ＝ ，则△ABC的内角C等于
（　　）
A. 120° B. 90°
解析：　因为点O是△ABC的外心，则｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，由 ＋ ＝ 结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠ACO＝∠BCO＝60°，所以△ABC的内角C等于120°.故选A.
C. 60° D. 45°
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，E为斜边BC上一动点，则｜ ＋
｜的最小值为（　　）
A. B.
C. 1 D.
解析：　易得｜ ＋ ｜＝｜ ｜，显然当E为斜边BC的中点时，
AE最短，此时AE⊥BC，AE＝ ＝ ，即｜ ＋ ｜的最小值为 .
故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知点G是△ABC的重心，则 ＋ ＋ ＝ .
解析：如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC
的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则 ＋ ＝ ，
＋ ＝0，所以 ＋ ＋ ＝0.
0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图，按下列要求作答.
（1）以A为始点，作出a＋b；
解： 将a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边形法则作出a＋b，如图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）以B为始点，作出c＋d＋e；
解： 先将共线向量c，d的起点同时平移到点B，计算出c＋d，再平移向量e与之首尾相接，利用三角形法则即可作出c＋d＋e，如图.
（3）若图中小正方形边长为1，求｜a＋b｜，｜c＋d＋e｜.
解： 由图中小正方形的边长为1，根据作出的向量利用勾股定理可知，｜a＋b｜＝ ＝ ，｜c＋d＋e｜＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 设P1P2P3…Pn是圆内接正n边形，O为圆心，试用向量证明 ＋
＋…＋ ＝0.
证明：设 ＋ ＋…＋ ＝ ＝a，将正n边形绕圆心O旋转 弧度，
假设此时 旋转到 的位置， 旋转到 的位置，…， 旋转
到 的位置，但正多边形的位置不变，仅各顶点的字母变了，所以它们的和向量不变，a旋转 弧度后没有改变，因此a只能是零向量，所以 ＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看