6.2.2　向量的减法运算

(共52张PPT)
6.2.2　向量的减法运算
1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、理解向量减法的几何意义（数学抽象、直观想象）.
2.掌握平面向量的减法运算及运算法则（直观想象、数学运算）.
课标要求
　　在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比数的减法，如何定义向量的减法法则？今天我们一起来学习.
情景导入
知识点一　向量的减法运算
01
知识点二　向量减法的几何意义
02
提能点　向量加、减法的综合应用
04
目录
课时作业
05
知识点三　向量加、减法的混合运算
03
知识点一
向量的减法运算
01
PART
问题1　（1）互为相反数的两个数有什么性质？类比相反数，能否给出
“相反向量”的定义？
提示：互为相反数的两个数符号不同且绝对值相等，相反向量应为长度相
等但方向相反的向量.
（2）类比两个实数的减法，如何定义向量的减法？
提示：两个向量的差的运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个
向量的相反向量”.
【知识梳理】
1. 相反向量
（1）定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反
向量，记作－a；
（2）性质：①－（－a）＝a；
②零向量的相反向量仍是零向量；
③对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
④如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
　　提醒：相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行
定义，相反向量必为平行向量.
相等　
相反　
2. 向量减法的定义
向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
　　提醒：两向量的差仍是向量.
相反向量　
【例1】　（1） － ＋ － ＝（　D　）
A. B.
C. D. 0
解析： － ＋ － ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋
＋ ＝0.故选D.
D
解析： ＝ ＋ ＝－ － ＝－m－n.故选A.
（2）在△ABC中，O为BC的中点，记 ＝m， ＝n，则 ＝
（　A　）
A. －m－n B. －m＋n
C. m－n D. m＋n
A
【规律方法】
两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以
先作－b，然后用加法a＋（－b）即可.
训练1　〔多选〕下列命题中，正确的是（　　）
A. 相反向量就是方向相反的向量
B. 向量 与 是相反向量
C. 两个向量的差仍是一个向量
D. 相反向量是共线向量
解析：由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选B、C、D.
√
√
√
知识点二
向量减法的几何意义
02
PART
问题2　如果已知 ＝a， ＝b，请利用向量减法与加法的转化规则，
用作图的方法得到a－b.
提示：如图，作 ＝－b，由向量减法与加法的转化规则
可知a－b＝a＋（－b）＝ ＋ ，以OA和OD为邻边
作平行四边形OACD，则 ＋ ＝ ，且AC与OD平行
且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与
OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以 ＝ ＝a－b.
【知识梳理】
已知向量a，b，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a
－b.即a－b 可以表示为从 的终点指向 的终点的向
量，这就是向量减法的几何意义.
　　提醒：作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终
点，指向被减”.
向量b　
向量a　
【例2】　（链接教材P12例3）如图，已知向量a，b，c不共线，求作向
量a＋b－c.
解：法一　如图1所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，再作 ＝c，则 ＝a＋b－c.
法二　如图2所示，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b，则 ＝
a＋b，再作 ＝c，连接OC，则 ＝a＋b－c.
【规律方法】
作两向量的差向量的步骤
训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：由向量减法的三角形法则，
令a＝ ，b＝ ，则a－b＝ － ＝ ，
令c＝ ，所以a－b－c＝ － ＝ .如图中
即为a－b－c.
知识点三
向量加、减法的混合运算
03
PART
【例3】　化简：（1） ＋ － － ；
解： ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋
＝ .
（2）（ ＋ ＋ ）－（ － － ）.
解： （ ＋ ＋ ）－（ － － ）
＝ ＋ － ＋
＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝0.
【规律方法】
1. 向量减法运算的常用方法
2. 向量加、减法化简的两种形式
（1）首尾相连且为和；
（2）起点相同且为差.
　　提醒：做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
训练3　（1）如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且 ＝ ，则
化简 ＋ － － 的结果为（　A　）
A. 0 B.
C. D.
解析： ＋ － － ＝（ － ）＋（ － ）＝
＋ ＝ － ＝0.
A
（2）在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则 ＋ －
＝ .
解析： ＋ － ＝ － ＝ .
　
04
PART
提能点
向量加、减法的综合应用
【例4】　（链接教材P12例4）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B
是该平行四边形外一点，且 ＝a， ＝b， ＝c，试用向量a，
b，c表示向量 ， ， .
解：由平行四边形的性质可知 ＝ ＝c，
由向量的减法可知 ＝ － ＝b－a，
由向量的加法可知 ＝ ＋ ＝b－a＋c.
【规律方法】
用已知向量表示其他向量的一般步骤
（1）先观察各个向量在图形中的位置；
（2）寻找（或作出）相应的平行四边形或三角形；
（3）运用法则找关系；
（4）化简结果.
　　提醒：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和或差，
即 ＝ ＋ 或 ＝ － （M，N均是同一平面内的任意点）.
训练4　如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若 ＝
a， ＝b， ＝c，则 ＝ .（用a，b，c表示）
解析：依题意，在△OAD中， ＝ ＋ ＝c－b；在△OAB中，
＝ ＋ ＝c－b＋a，所以 ＝a－b＋c.
a－b＋c　
1. 在△ABC中， ＝a， ＝b，则 ＝（　　）
A. a＋b B. －a－b
C. a－b D. b－a
解析：如图，∵ ＝ ＋ ＝a＋b，
∴ ＝－ ＝－a－b.
√
2. － ＋ ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　原式＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
√
3. 若菱形ABCD的边长为2，则｜ － ＋ ｜＝ .
解析：｜ － ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜＝2.
2　
4. 如图，已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d，试用a，b，c，d
表示以下向量：
（1） ；
解： ） ＝ － ＝c－a.
（2） ；
解： ＝ － ＝d－a.
（3） .
解： ＝ － ＝d－b.
课堂小结
1.理清单
（1）向量减法的定义及几何意义；
（2）向量加、减法的混合运算；
（3）向量加、减法的综合应用.
2.应体会
向量的减法可以转化为向量的加法来进行，体现转化思想，三角形法则
仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想.
3.避易错
求两向量的差时，将两向量移至共起点，连接两向量的终点，差向量的
方向指向被减向量的终点.
课时作业
05
PART
1. 已知空间中三个不同的点A，B，C，则下列等式成立的是（　　）
A. ＋ ＝ B. － ＝
C. ＋ ＝ D. － ＝
解析：　由平面向量的加法可知A、C选项错误；由平面向量的减法可得
－ ＝ ，B对，D错误.故选B.
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2. 已知正六边形ABCDEF，则 ＋ － ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　如图，由正六边形的特征可知 ＝ ，
＝ ，所以 ＋ － ＝ ＋ － ＝ ＝
.
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3. 如图，在四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝
（　　）
A. a－b＋c B. b－（a＋c）
C. a＋b＋c D. b－a＋c
解析： ＝ － ＝ ＋ － ＝ － ＋ ＝a－b＋c.
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4. 在△ABC中，｜ ｜＝｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，则△ABC是
（　　）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　 － ＝ ， ＋ ＝ ，由｜ ｜＝｜ － ｜
＝｜ ＋ ｜可得，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，∴△ABC是等边三
角形.故选A.
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5. 〔多选〕下列结果为零向量的是（　　）
A. ＋（ － ） B. － ＋ －
C. － ＋ D. ＋ ＋ －
√
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√
解析： 对于A， ＋（ － ）＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ ＝ ≠0，故选项A不正确；对于B， － ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选项B正确；对于C， － ＋ ＝ ＋ ＝0，故选项C正确；对于D， ＋ ＋ － ＝ ＋ － ＝ － ＝0，故选项D正确.
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6. 〔多选〕对于菱形ABCD，下列各式正确的是（　　）
A. ＝
B. ｜ ｜＝｜ ｜
C. ｜ － ｜＝｜ ＋ ｜
D. ｜ ＋ ｜＝｜ － ｜
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解析： 向量 与 的方向不同，但它们的模相等，所以B正确，A错误；因为｜ － ｜＝｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜，所以｜ － ｜＝｜ ＋ ｜，所以C正确；因为｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜，｜ －
｜＝｜ ｜，所以D正确.故选B、C、D.
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7. 如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则 － ＋ －
＋ ＝ .
解析： － ＋ － ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0.
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8. 若a，b为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜
＝ ，｜a－b｜＝ .
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0，又a＝－
b，所以｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b共线，所以｜a－b｜＝2.
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9. 已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，作 ＝a，
＝a＋b，则∠AOB＝ .
解析：构造如图所示的平行四边形OABC， ＝a，
＝a＋b，则 ＝b， ＝a－b，又｜a｜＝｜b｜
＝｜a－b｜，则△AOC为正三角形，故∠COA＝
60°，平行四边形OABC为菱形，故OB平分∠COA，则
∠AOB＝30°.
30°　
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10. 如图，在各小题中，已知a，b，分别求作a－b.
解：将a，b的起点移到
同一点，再首尾相接，方
向指向被减向量，如图，
＝a－b.
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11. 设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走 3 km”，则b－a＋b所表
示的意义为（　　）
A. 向东南走6 km B. 向东南走3 km
C. 向西南走6 km D. 向西南走3 km
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解析：　如图，分别作出 ＝a， ＝2b，则利用
向量加法的交换律可得b－a＋b＝（b＋b）－a，故
＝（b＋b）－a.易知△OAB为等腰直角三角形，故
∠OAB＝45°，且｜ ｜＝6 ，于是b－a＋b所表
示的意义为向西南走6 km.故选C.
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12. 〔多选〕非零共线向量a，b的差为a－b，下列命题为真的是
（　　）
A. 若a，b反向，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜
B. 若a，b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a－b与a同向，且｜a－b｜＝｜
a｜－｜b｜
C. 若a，b同向，且｜b｜＞｜a｜，则a－b与a反向，且｜a－b｜＝｜
b｜－｜a｜
D. 若｜a｜＝｜b｜，则a－b＝0
√
√
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解析： 　由符合条件的两向量差的几何意义知，对于A，如图1，A正
确；对于选项B，如图2，B正确；对于选项C，如图3，C正确；对于选项
D，当｜a｜＝｜b｜且a，b反向时，a－b≠0，D错误.
　 　
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13. 已知｜ ｜＝7，｜ ｜＝9，则｜ － ｜的取值范围为
.
解析：∵｜｜ ｜－｜ ｜｜≤｜ － ｜≤｜ ｜＋｜ ｜
且｜ ｜＝9，｜ ｜＝7，∴2≤｜ － ｜≤16.∴｜ － ｜
的取值范围为[2，16].
[2，
16]　
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14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中
点，G为AC与BD的交点.
（1）若｜ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜，则四边形ABCD是什么特殊的平
行四边形？
解： ｜ ｜＝｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜，故平行四边形ABCD
是菱形.
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（2）化简 － － ，并在图中作出化简后的向量.
解： 因为E为AB的中点，所以 ＝ .
又F为BC的中点，所以由三角形中位线定理知EF∥AC，
EF＝ AC，故 ＝ .
所以 － － ＝ － － ＝ －（ ＋
）＝ － ＝ .
作出向量 ，如图所示.
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15. 如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：
＝ ＋ ＋ .
证明：如图，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，
连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC.
又AH⊥BC，CH⊥AB，
∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形.
∴ ＝ .又 ＝ － ＝ ＋ ，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ .
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演示完毕 感谢观看