6.2.3　向量的数乘运算

(共58张PPT)
6.2.3　向量的数乘运算
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义（数学抽象、直观想象）.
2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5＋5＋5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a＋a＋a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算.
情景导入
知识点一　向量的数乘运算
01
知识点二　向量的线性运算
02
提能点　用已知向量表示未知向量
04
目录
课时作业
05
知识点三　向量共线定理
03
知识点一
向量的数乘运算
01
PART
问题1　已知非零向量a，作出a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）.
它们的长度和方向与向量a分别具有怎样的关系？
提示：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，与a的方向相同，（－a）＋
（－a）＋（－a）的长度是a的长度的3倍，与a的方向相反.
【知识梳理】
1. 定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算
叫做向量的数乘，记作 .
2. 规定：（1）｜λa｜＝ ；
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a
的方向 ；当λ＝0时，λa＝ ；（－1）a＝ .
　　提醒：数乘向量仍是向量，实数λ与向量不能相加.
向量　
λa　
｜λ｜｜a｜　
相同　
相反　
0　
－a　
【例1】　〔多选〕已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是
（　　）
A. 2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B. －2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C. －2a与2a是一对相反向量
D. a－b与－（b－a）是一对相反向量
√
√
√
解析：因为2＞0，所以2a与a的方向相同，且｜2a｜＝2｜a｜，所以A正确；因为5＞0，所以5a与a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜，又－2＜0，所以－2a与a的方向相反，且｜－2a｜＝2｜a｜，所以－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 ，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为－（b－a）与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－（b－a）为相等向量，所以D不正确.
【规律方法】
1. ｜λ｜表示向量长度变化的倍数.
2. λ的符号决定λa与向量a的方向之间的关系.
训练1　（1）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是
（　D　）
A. a与λa的方向相同
B. a与－λa的方向相反
C. ｜－λa｜＝｜－λ｜·a
D. ｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜
解析： 依题意，λ＞0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，
但是λ＜0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，故A、B错误；由
数乘运算的长度的定义可知｜－λa｜＝｜－λ｜·｜a｜，故C错误，D正
确.故选D.
D
（2）若点C在线段AB上，且 ＝ ，则（　D　）
A. ＝ B. ＝－
C. ＝ D. ＝－
解析： 因为点C在线段AB上，所以 ， 同向， ， 反向，
故B、C错误；又｜ ｜＝ ｜ ｜，所以A错误；又 ， 反向
且｜ ｜＝ ｜ ｜，所以 ＝－ ，故D正确.故选D.
D
知识点二
向量的线性运算
02
PART
问题2　类比实数的乘法满足的运算律，请猜想向量的数乘有哪些运算律？
提示：结合律，分配律.
【知识梳理】
1. 定义：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
2. 向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
（1）λ（μa）＝ ；
（2）（λ＋μ）a＝ ；
（3）λ（a＋b）＝ .
特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－
λb.
　　提醒：向量的线性运算结果仍是向量.
（λμ）a　
λa＋μa　
λa＋λb　
【例2】　（链接教材P14例5）（1）若a＝2b＋c，则化简3（a＋2b）－
2（3b＋c）－2（a＋b）等于（　C　）
A. －a B. －b
C. －c D. 以上都不对
解析： 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－
2b－2c＝－c.故选C.
（2）若3（x＋a）＋2（x－2a）－4（x－a＋b）＝0，则x＝
.
解析： 由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋
3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
C
4b－
3a　
【规律方法】
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代
数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同
类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；
（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，
合并同类项，系数化为1等步骤求解.
训练2　（1）化简 ［ （2a＋8b）－（4a－2b）］的结果是（　　）
A. 2a－b B. 2b－a
C. b－a D. a－b
√
解析： 原式＝ （a＋4b－4a＋2b）＝ （－3a＋6b）＝2b－a.
解析：由3x－2y＝a，①
－4x＋3y＝b，②
①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3（3a＋2b）－2y＝a，即y＝
4a＋3b.
（2）已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则
向量x＝ 　 　，y＝ 　 　.（用a，b表示）
3a＋2b
4a＋3b
知识点三
向量共线定理
03
PART
问题3　如果b＝λa（a≠0），那么向量a，b是否共线？反过来，若向量
b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa（a≠0）？
提示：共线，存在.
【知识梳理】
向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 实数λ，使
.
　　提醒：（1）向量共线定理中规定a≠0，当a＝0时，λ未必存在；
（2）λ的值是唯一存在的.
唯一一个　
b
＝λa　
【例3】　（链接教材P15例7、P16例8）设a，b是不共线的两个非零
向量.
（1）若 ＝2a－b， ＝3a＋b， ＝a－3b，求证：A，B，C三
点共线；
解： 证明：∵ ＝ － ＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋
2b， ＝ － ＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－
2 ，
∴ 与 共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解： ∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），
即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
【规律方法】
1. 利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求参数，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相
等求解.
2. 证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得
＝λ （或 ＝λ 等）即可.
　　提醒：若向量 ， ， 的终点A，B，C共线，则存在实数x，
y，且x＋y＝1，使得 ＝x ＋y ，反之也成立.
训练3　（1）已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则
a＋b与c＝6e1－2e2的关系是（　B　）
A. 不共线 B. 共线
C. 相等 D. 无法确定
解析： ∵a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，∴a＋b＝3e1－e2＝ c，因此
a＋b与c＝6e1－2e2的关系是共线，故选B.
B
（2）已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta， a－ tb共线，则实
数t＝ .
解析： ∵b－ta与 a－ tb共线，∴存在实数λ，使得b－ta＝λ（ a
－ tb），即（ λ＋t）a＋（－ λt－1）b＝0.∵a与b不共线，
∴ 解得t＝± .
± 　
04
PART
提能点
用已知向量表示未知向量
【例4】　（链接教材P14例6）如图，在平行四边形OADB中，OD与AB
交于点C，M，N分别是AB，OD上的点，且 ＝ ， ＝ ，
设 ＝a， ＝b，试用a，b表示 ， ， .
解：由题意，可知 ＝ ＝ ＝ （ － ）＝ （a－b），所
以 ＝ ＋ ＝b＋ （a－b）＝ a＋ b.
又 ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ （ ＋ ）＝ （a＋
b）＝ a＋ b.
所以 ＝ － ＝ a＋ b－（ a＋ b）＝ a－ b.
【规律方法】
用已知向量表示未知向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行
四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向
量的方程.
训练4　已知5x＋2y＝a，3x－y＝b，用向量a，b表示x，y，则x
＝ 　 a＋ b　，y＝ 　 a－ b　.
解析：把已知中的两个等式看成关于x，y的方程，联立得
解得
a＋ b　
a－ b　
1. 若a＝－ b（b≠0），则（　　）
A. a和b方向相同，｜a｜＝2｜b｜
B. a和b方向相同，｜b｜＝2｜a｜
C. a和b方向相反，｜a｜＝2｜b｜
D. a和b方向相反，｜b｜＝2｜a｜
解析：　∵a＝－ b（b≠0），－ ＜0，∴a和b方向相反，且｜a｜
＝｜－ b｜＝ ｜b｜，∴｜b｜＝2｜a｜.故选D.
√
2. 已知a＝4d，b＝5d，c＝－3d，则2a－3b＋c＝（　　）
A. 10d B. －10d
C. 20d D. －20d
解析：　2a－3b＋c＝2×4d－3×5d－3d＝8d－15d－3d＝－10d.
√
3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则 ＋ ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　在矩形ABCD中，AB CD，故 ＝ ，又∵E为CD的中
点，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
√
4. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋
4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值.
解：依题意， ＝e1＋2e2，
故 ＝ ＋ ＋ ＝7e1＋（k＋6）e2.
已知A，B，D三点共线，可设 ＝λ ，
则7e1＋（k＋6）e2＝λ（e1＋ke2），即（7－λ）e1＝（λk－k－6）e2，
所以 解得k＝1.
课堂小结
1.理清单
（1）向量的数乘及运算律；
（2）向量共线定理；
（3）向量共线定理的应用.
2.应体会
借助向量共线定理，解决三点共线及求参数问题，体现了方程思想.
3.避易错
利用向量共线定理易忽略零向量这一特殊情况.
课时作业
05
PART
1. 化简：6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝（　　）
A. 6a＋2b＋8c B. 6a－14b
C. －2a－14b D. 6a＋2b
解析：　6（a－b＋c）－4（a－2b＋c）－2（－2a＋c）＝6a－6b
＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.
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2. 设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使 ＋ ＝
0成立的是（　　）
A. a＝－2b B. a＝2b
C. a∥b D. a∥b且｜a｜＝｜b｜
解析：　由 ＋ ＝0，得 ＝－ ，即a与b的方向相
反，排除B、C、D，故选A.
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3. 如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若 ＝a， ＝b，则 ＝
（　　）
A. a－b B. a＋b
C. a＋ b D. a－ b
解析：　因为E是BC的中点，所以 ＝ ＝－ ＝－ b，所以
＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－ b.
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4. 在梯形ABCD中， ＝4 ， ＋ ＝x ＋y ，则x－y＝
（　　）
A. 5 B. 6
C. －5 D. －6
解析：　因为 ＝4 ，所以 ＋ ＝（ ＋ ）＋4 ＝ －
5 ，所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B.
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5. 〔多选〕已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可
以使a，b共线的是（　　）
A. 2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B. 存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0
C. 已知正五边形ABCDE，其中 ＝a， ＝b
D. 已知梯形ABCD，其中 ＝a， ＝b
√
√
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解析： 　选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝ e，b＝
－ e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－
b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为
梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选
A、B.
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6. 〔多选〕已知P为△ABC所在平面内一点，且 ＋2 ＋3 ＝0，若
E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（　　）
A. 向量 与 可能平行
B. 点P在线段EF的延长线上
C. 点P在线段EF上
D. PE∶PF＝2∶1
√
√
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解析： 　因为P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的
中点，所以 ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 ，又 ＋2 ＋3 ＝
0即（ ＋ ）＋2（ ＋ ）＝0，所以2 ＋4 ＝0，即 ＝
2 ，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，故B错误，C、D正
确；易知P，A，C三点不共线，则向量 与 不可能平行，故A错
误.故选C、D.
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7. 已知 ＝ ，若 ＝λ ，则λ＝ 　－ 　.
解析：因为 ＝ ，所以－ ＝ （ ＋ ），即 ＝－
＝λ ，所以λ＝－ .
－ 　
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8. 如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则 ＝ .（用 ， 表示）
－ 　
解析：利用向量的三角形法则，可得 ＝ － ， ＝ ＋ ，
∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝
－ ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝ ＋ － .又
∵ ＝ ，∴ ＝ － .
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9. 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若 ＝x ＋
y ，则x＋y＝ 　 　.
解析：法一　由于A，B，P三点共线，所以向量 ， 在同一直线
上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 ＝λ ，即 － ＝λ
（ － ），所以 ＝（1－λ） ＋λ ，故x＝1－λ，y＝λ，即x
＋y＝1.
1
法二　由三点共线的性质定理可知，x＋y＝1.
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10. （1）化简： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]；
解： [2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝ （4a＋8b－20a＋8b）
＝ （－16a＋16b）＝－4a＋4b.
（2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.
解： 因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c
＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
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11. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O. 若2 ＋3 ＝2
＋3 ，则四边形ABCD一定是（　　）
A. 矩形 B. 梯形
C. 平行四边形 D. 菱形
解析：　∵2 ＋3 ＝2 ＋3 ，∴2（ － ）＝3（ －
），∴2 ＝3 ，∴四边形ABCD一定是梯形.故选B.
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12. 在△ABC中， ＝ ，E为AD中点，则 ＝（　　）
A. ＋ B. －
C. － D. ＋
解析：　如图，因为 ＝ ，E为AD中点，所以
＝ － ＝ － ＝ － （ ＋ ）＝
－ ［ ＋ （ － ）］＝ － （ ＋
）＝ － .故选B.
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13. 已知M为△ABC的边AB的中点，N为△ABC内一点，且 ＝ ＋
，则 ＝ 　 　.
解析：如图所示，因为 ＝ ＋ ，所以 ＝
，所以MN∥BC. 又M为边AB的中点，所以点A到
MN的距离等于点N到BC的距离，所以 ＝ ＝ .
　
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14. 已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且 ＝ke1－4e2， ＝－e1
＋ke2， ＝e1＋2e2.
（1）若 ， 方向相反，求k的值；
解： 由题意知， ∥ ，则存在λ∈R，使得 ＝λ ，即ke1－
4e2＝λ（－e1＋ke2），整理得（k＋λ）e1＝（kλ＋4）e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得 解得 或
又 ， 方向相反，则λ＝－2，k＝2，故k的值为2.
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（2）若A，C，D三点共线，求k的值.
解： 由题意得， ＝ ＋ ＝（k＋1）e1－2e2.
由A，C，D三点共线得，存在μ∈R，使得 ＝μ ，即（k＋1）e1－
2e2＝μ（－e1＋ke2），整理得（k＋μ＋1）e1＝（kμ＋2）e2.
由e1，e2是不共线的向量，
得 解得 或
综上，k＝1或k＝－2.
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15. 如图，在三角形OPQ中，M，N分别是边OP，OQ的中点，点R在直
线MN上，且 ＝x ＋y （x，y∈R），求代数式
的最小值.
解：因为点R，M，N共线，所以 ＝λ （λ∈R），则 ＝λ ＋
（1－λ） ，
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因为M，N分别是边OP，OQ的中点，所以 ＝λ ＋（1－λ） ＝
λ ＋ （1－λ） ，所以x＋y＝ λ＋ （1－λ）＝ ，即y＝ －x，
所以 ＝
＝ ＝ ≥ ，
故当且仅当x＝ 时， 取得最小值，最小值为 .
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