6.2.4第一课时　向量的夹角、数量积的定义及投影向量

(共55张PPT)
6.2.4　向量的数量积
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积（数学抽象、数学运算）.
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义（数学抽象、直观想象）.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系（逻辑推理）.
课标要求
　　前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
情景导入
第一课时
向量的夹角、数量积的定义及投影向量
知识点一　两向量的夹角
01
知识点二　两向量的数量积
02
知识点三　投影向量
03
目录
课时作业
04
知识点一
两向量的夹角
01
PART
问题1　物理上已学习了物体在力F的作用下发生了位移s，那么F所做的
功为W＝｜F｜｜s｜ cos θ.在计算公式中，θ的几何意义是什么？
提示：θ是向量F与向量s的夹角.
【知识梳理】
1. 夹角：已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一
点，作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角
θ的取值范围是 .a，b的夹角记作＜a，b＞.
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
非零向量　
∠AOB＝θ　
0≤θ≤π　
同向　
反向　
2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
　　提醒：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是
[0，π]，而两直线夹角的范围为 .
　
a⊥b　
解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则 ＝a＋b， ＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a
＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
【例1】　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的
夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
【规律方法】
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作
两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为
θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
训练1　如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，
AC的中点，写出下列各组向量的夹角.
（1） 与 ；
解： 与 的夹角是∠EDF＝60°.
（2） 与 .
解： 因为 ＝ ，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即
∠EDA＝120°.
知识点二
两向量的数量积
02
PART
【知识梳理】
1. 向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量
叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ，即
.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
　　提醒：（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可
负、可为0，这个数量的大小与两向量的长度及其夹角有关.
｜a｜｜b｜ cos
θ　
a·b　
a·b＝｜
a｜｜b｜ cos θ　
2. 向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，
则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b ；
（3）当a∥b时，a·b＝ 特别地，a2＝a·a＝｜a｜
2或｜a｜＝ ；
（4）a·b ｜a｜｜b｜；
（5） cos θ＝ .
a·b＝0　
≤　
【例2】　（1）（链接教材P17例9）若｜m｜＝4，｜n｜＝6，m与n的
夹角θ为120°，则m·n＝（　D　）
A. 12 B. 12
C. －12 D. －12
解析： m·n＝｜m｜｜n｜ cos θ＝4×6× cos 120°＝24×（－ ）＝
－12.故选D.
D
（2）已知正三角形ABC的边长为1，则 · ＝ ， ·
＝ .
解析： ∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos
60°＝1×1× ＝ .∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜｜
｜ cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
　
－ 　
【规律方法】
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点
必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；该定义式中涉及四
个量，可知三求一.
训练2　（1）设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为
（　B　）
A. B.
C. D. π
解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0，π]，
∴θ＝ .
B
（2）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝3，｜ ｜＝4，｜ ｜
＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝（　D　）
A. －7 B. 7
C. 25 D. －25
解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°－A）＝－20
cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－25.故选D.
D
03
PART
知识点三
投影向量
【问题2】　如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段
OD就是线段OA在OB上的投影，试用｜OA｜和θ表示｜OD｜.
提示：｜OD｜＝｜OA｜ cos θ.
【知识梳理】
1. 定义：
如图，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑如下的变
换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为
A1，B1，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b ， 叫
做向量a在向量b上的 .
投影　
投影向量　
2. 公式：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在
向量b上的投影向量是 .
　　提醒：（1）向量a在向量b上的投影向量是一个向量，它与向量b共
线，其大小为｜｜a｜ cos θ｜，其中θ为向量a与b的夹角；（2）a在b上
的投影向量也可表示为｜a｜ cos ＜a，b＞ 或 ·b.
｜a｜ cos θ e　
【例3】　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的
单位向量为e.
（1）求a·b；
解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝5×4× cos 120°＝－10.
（2）求a在b上的投影向量.
解： a在b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝－ e.
【规律方法】
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos θ e（θ为
向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜ cos θ也称为a
在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤ 时，｜a｜ cos θ为a在b上投影向量
的模，当 ＜θ≤π时，｜a｜ cos θ为a在b上投影向量模的相反数.
训练3　（1）等边三角形ABC的边长为2，则 在 上的投影向量为
（　A　）
A. － B.
C. 2 D. －2
解析： 因为△ABC是边长为2的等边三角形，且 cos ＜ ， ＞＝
－ ，所以向量 在向量 上的投影向量为｜ ｜ cos ＜ ， ＞
× ＝－1× ＝－ .故选A.
A
（2）已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且b在a上的投影向量为－ a，则｜a
＋b｜＝ 　 .
解析： 由题意可得 ·a＝－ a，又｜a｜＝3，所以a·b＝－
6，又｜b｜＝4，所以｜a＋b｜＝ ＝
＝ ＝ .
　
1. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　如图，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为
∠ABC＝120°.
√
2. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝
（　　）
A. 3 B. －3
C. －3 D. 3
解析：　由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝ ×2
×（－ ）＝－3.
√
3. 〔多选〕对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是（　　）
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 向量a与向量b夹角的范围是[0，π）
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
解析： 　a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的
范围是[0，π]，所以B错误；由
数量积的性质知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所
以｜a｜＝ ，所以D正确.
√
√
4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量
a在向量e上的投影向量是 　 　.
解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量
是｜a｜· cos 45°·e＝3 e.
3 e
课堂小结
1.理清单
（1）两向量的夹角；
（2）向量数量积的定义；
（3）向量数量积的性质；
（4）投影向量.
2.应体会
计算向量的数量积及投影向量，二者都离不开向量的夹角，而解决向量
的夹角问题时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法.
3.避易错
（1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点；
（2）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不同.
课时作业
04
PART
1. 若｜a｜＝3，｜b｜＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝（　　）
A. －3 B. －6
C. 6 D. 2
解析：　a·b＝｜a｜｜b｜ cos 135°＝3×4×（－ ）＝－6 .故
选B.
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2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面
成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　）
A. 100 J B. 50 J
C. 50 J D. 200 J
解析：　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s
＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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3. 对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　）
A. a·b≥｜a｜｜b｜ B. a·b≤｜a｜｜b｜
C. a·b＞｜a｜｜b｜ D. a·b＜｜a｜｜b｜
解析：　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， cos θ∈[－1，
1]，则a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ≤｜a｜｜b｜.故选B.
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4. 已知向量｜a｜＝2，b在a上的投影向量为－2a，则a·b＝（　　）
A. 4 B. 8
C. －8 D. －4
解析：　根据b在a上的投影向量为－2a，得 · ＝－2a，即
a·b＝－2｜a｜2＝－2×4＝－8.故选C.
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5. 〔多选〕设a为非零向量，下列有关向量 的描述正确的是
（　　）
A. ｜ ｜＝1 B. ∥a
C. ＝a D. ·a＝｜a｜
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解析： 　因为 表示与向量a同方向的单位向量，所以 ＝
1， ∥a，即A、B正确；当a不是单位向量时， ≠a，所以C错
误；因为 ·a＝｜ ｜｜a｜ cos 0°＝ ×｜a｜＝｜
a｜，所以D正确.
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6. 〔多选〕在△ABC中，下列说法正确的是（　　）
A. 在 上的投影向量可能为0
B. ｜ － ｜＝｜ ｜
C. 若 · ＜0，则△ABC为钝角三角形
D. 若△ABC是等边三角形，则 ， 的夹角为60°
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解析： 　对于A，△ABC为直角三角形且∠ABC＝90°时， 在
上的投影向量为0，故A正确；对于B，｜ － ｜＝｜ ｜
＝｜ ｜，故B正确；对于C， · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＜
0，所以 cos A＜0，所以A为钝角，则△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若△ABC是等边三角形，则 ， 的夹角为120°，故D错
误.故选A、B、C.
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7. 若向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a
＋a·b＝ .
解析：a·a＋a·b＝12＋1×1× cos 120°＝ .
　
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8. 已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为
4e，则｜b｜＝ .
解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜· cos θ＝16，
又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜· cos θ e＝4e，∴｜a｜ cos θ＝
4，∴｜b｜＝4.
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9. 已知圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，则 ·
＝ .
解析：因为圆O的半径为R，A，B是其圆周上的两个三等分点，所以｜
｜＝｜ ｜＝R，＜ ， ＞＝ ，＜ ， ＞＝π－ ＝
，｜ ｜＝ R，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＜ ，
＞＝ R2 cos ＝－ R2.
－ R2　
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量.
（1）求a与b的夹角θ；
解： 由a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，
得 cos θ＝ ＝ ＝－ .
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
（2）求a在b上的投影向量.
解： a在b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝－ e.
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11. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.
在如图所示的正五角星ABCDE中，AB＝6，O是该正五角星的中心，则
· ＝（　　）
A. －18 B. －12
C. 12 D. 18
√
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解析：　过O作OH⊥AB，垂足为H，如图所示，易知
H为AB的中点，故 · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos
∠OAB＝｜ ｜·｜ ｜· ＝ ｜ ｜2＝18.
故选D.
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12. 〔多选〕在△ABC中，边长分别为a，b，c，外接圆半径为1，则下
列结论中正确的是（　　）
A. 若G是重心，则 ＋ ＋ ＝0
B. 若H是垂心，则 · ＋ · ＋ · ＝0
C. 若I是外心，则 ·（ ＋ ＋ ）＝ （a2＋b2＋c2）
D. 若O是内心，则 · － · ＝
√
√
√
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解析： 　A、B显然正确；对于C， ·（ ＋
＋ ）＝ ·（ ＋ － ＋ ）＝
2 · ＝b2，若 ·（ ＋ ＋ ）＝ （a2
＋b2＋c2）成立，则△ABC为直角三角形，否则不成
立，所以C不一定正确；对于D，设AD＝x，BD＝y，CE＝z，则 解得x＝ ，如图， · － · ＝｜ ｜c－｜ ｜b＝｜ ｜（c－b）＝ .故A、B、D正确.
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13. 已知在△ABC中，AB＝AC＝4， · ＝8，则△ABC的形状
是 ， · ＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAC，即8＝4×4 cos ∠BAC，
于是 cos ∠BAC＝ ，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又
AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos
120°＝－8.
等边三角形　
－8　
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14. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且
OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向量 ；
解：由已知可得 ＝ ，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则 ＝ ＋ ，所以 ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，那
么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ .
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，
则 · ＝ cos 60°＝ .所以 · 的取值范围为［ ， ］.
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15. 设M，P，Q为平面内三点，求证｜ · ｜≤｜ ｜｜
｜，并确定等号成立的条件.
证明：令向量 ， 的夹角为θ.
∵M，P，Q为平面内三点，∴0°≤θ≤180°，∴－1≤ cos θ≤1，
又 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ，
∴－｜ ｜｜ ｜≤ · ≤｜ ｜｜ ｜，
∴｜ · ｜≤｜ ｜｜ ｜，
当且仅当 cos θ＝±1即θ＝0°或180°时，｜ · ｜＝｜ ｜｜ ｜.
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